Осн. лит.: 1, § 5-7, [34-48], § 8-9, [49-71], 12.
Доп. лит.: 6, 25.
Контрольные вопросы:
1. Перечислите основные свойства скалярного и векторного произведений. Расстояние от точки до прямой.
2. Что называется смешанным произведением?
3. Условие параллельности двух прямых.
4. Угол между плоскостью и прямой
5. Условияпараллельностии перпендикулярности плоскостей.
6. Расстояние от точки до плоскости.
Модуль -2. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной
Лекция 4. Введение в анализ. Функция и предел функции. Непрерывность. Основные свойства функций. Пределы. Бесконечно малые функции.
Определение. Функциейfс областью определения D и областью значений Е называется некоторое отображение из D в Е, т. е. соответствие, при котором каждому элементусопоставляется единственный элемент.
Элементы xDназываются значениями аргумента, а элементыyE– значениями функций. МножествоDназывается областью определения функции, множествоEвсех значений функции – областью значений этой функции.
Функция, заданная формулой y=f(х), правая часть которой не содержитy, называется явной функцией. Функцияy=f(х), удовлетворяющая уравнению видаF(x,y(x))=0, называется функцией, заданной неявно, или неявной функцией.
В случае, когда каждому yEпо некоторому закону соответствует только одно значениеxD, получаем функциюx=φ(y), заданную на множествеEсо значениями в множествеD. Функциюx=φ(y) называют обратной функцией по отношению к функцииy=f(х).
Способы задания.
а) Табличный.Функция может быть задана в виде таблицы.
б) Графический. Графиком функцииназывается множество точек (х,у) плоскоститаких, что и. График даёт наглядное представление о характере поведения функции.
в) Аналитический. Аналитическимспособом, т. е. с помощью одной формулы можно задавать только элементарные функции. Это самый универсальный способ задания функции, из которого можно получить и таблицу и график.
Для функции ограниченность означает выполнение неравенствапри всехиз области определения.
Предел функции
Определение. Число А называетсяпределомфункциипри, если для каждогонайдётся такое0, что для всехвыполняется неравенство, т. е..
Обозначается или. Дадим определения пределов функции при.
Пусть функция определена в некоторой окрестности точкиа, кроме быть может, этой точки (рис. 1).
Определение. Число А называется пределом слева функциипри, если. (Обозначаетсяили).
Определение. Число А называется пределом справа функциипри, если. (Обозначаетсяили).
Рис.1
Теорема.существует в том и только в том случае, когда существуют пределы, и они равны между собой.
Пример. .
В этом примере рассматривается только , поэтому.
.
не существует, поскольку.
Определение. Число А называется пределом функциипри, если для каждого0 найдётся такое число N , что при любомвыполняется, т. е.
. (Обозначается).
Определение. Число А называется пределом функциипри, если. (Обозначается.
Определение. Число А называется пределом функциипри, если. (Обозначается).
Теорема. Пределсуществует в том и только в том случае, когда существуюти они равны между собой.
Примеры: (предел существует);
(предел не существует).
Свойства функций, имеющих предел.Рассматриваемые ниже свойства справедливы для всех видов пределов функций. Однако для краткости будем формулировать их для одного предела (при): 1) Предел постоянной функции равен этой постоянной, т.е. . 2) Если предел функции существует, то он единствен.
Бесконечно малые функции
Определение.Функцияназывается бесконечно малой(б. м.) при, еслиили
Пример.Функцияявляется б.м. прии не является таковой при.
Теорема.Пустьб.м. при, аограничена в некоторой окрестности точки а, тогдаявляется б. м. при.
Пример.
Вычислим: .
При величина х является б. м., а функцияограничена, так как. Следовательно, искомый предел, как предел б. м., равен нулю.
Теорема.Пределравен числу А в том и только в том случае, когдаявляется б.м. при.
Пример.означает, чтоявляется б. м. при.
Аналогично при .
Основные теоремы о пределах. Пустьи- функции, для которых существуют пределы при(или при): , . Сформулируем основные теоремы о пределах.
Функция не может иметь более одного предела.
Если и,то предел алгебраической суммысуществует и равен АВ.
Если и, то существуети равен.
4. Если иисуществуют, то существуети равен.
Первый замечательный предел .
Пример. .
Второй замечательный предел
.
Здесь е 2,718282… – иррациональное число.
Пример.Вычислим предел:
Определение.Бесконечно малыеприназываются эквивалентными, если. Обозначение .
Это отношение эквивалентности удовлетворяет трём свойствам
;
;
Если и, то.
Теорема.Пустьесть б. м. при, тогда:
|
|
Непрерывность функции
Определение.Функцияназываетсянепрерывнойв точке, если выполняются три условия: 1) существует; 2) существует; 3).
Функция называется непрерывной в точкеслева (справа), если выполняются три условия: 1)
2)или
3)или
Очевидно, что функция является непрерывной в точке в том и только в том случае, когда она непрерывна в этой точке слева и справа.
Следствие.Любая элементарная функция непрерывна во всех внутренних точках своей области определения, а в граничных точках отрезков области определения непрерывна справа или слева.