Турищев Л.С. (сост.) Строительная механика. Часть 3. Основы динамики и устойчивости сооружений, Новополоцк ПГУ 2010
.pdf
пренебрежения размерами оборудования присоединенные дискретные массы считаются точечными массами или материальными точками. В противном случае присоединенные дискретные массы считаются жесткими дисками или массами с конечными размерами.
Точечная масса при колебаниях в плоскости имеет две степени свободы, так как ее положение определяется двумя независимыми перемещениями (рис. 14.8, а).
Рис. 14.8
Масса с конечными размерами при колебаниях в плоскости имеет три степени свободы, так как ее положение определяется тремя независимыми перемещениями (рис. 14.8, б).
Поскольку при инженерных расчетах реальных сооружений могут вводиться некоторые упрощающие допущения, то подсчитываемое число степеней дискретных масс может уменьшаться. Так для рассмотренного примера с учетом допущения Виллио точечная масса при колебаниях в плоскости имеет одну степень свободы (рис. 14.9, а), а масса с конечными размерами в этом случае имеет две степени свободы (рис. 14.9, б).
Рис. 14.9
Таким образом, число степеней свободы колеблющихся дискретных масс сооружения является конечным и зависит от вводимых допущений при динамическом расчете. Поэтому различают полное число степеней свободы (без учета допущений) и неполное число степеней свободы (с учетом допущений) колеблющихся дискретных масс сооружения.
21
Поскольку в реальных сооружениях собственная масса элементов непрерывно распределена по их объему, то колебания реальных сооружений описывается бесконечным числом независимых перемещений. Поэтому реальные сооружения, строго говоря, всегда являются системами с бесконечным числом степеней свободы.
14.5. Цели и задачи динамики сооружений
Основной задачей динамики сооружений является определение при действии переменных во времени внешних воздействий силовых и кинематических характеристик колебаний несущих конструкций – внутренних усилий, перемещений, скоростей, ускорений.
Динамический расчет несущих конструкций зданий и сооружений может преследовать следующие цели:
–обеспечение несущей способности конструкций при совместном действии статических и динамических нагрузок;
–обеспечение жесткости конструкций, соответствующей безопасному уровню воздействия колебаний на людей;
–обеспечение жесткости конструкций, исключающей недопустимое влияние колебаний на производственные процессы, осуществляемые в зданиях и сооружениях.
Поскольку эксплуатационные динамические нагрузки в реальных зданиях и сооружениях, как правило, невелики, то динамический расчет несущих конструкций, рассчитанных на статические нагрузки, проводится для проверки допустимости внутренних усилий и перемещений при совместном действии статических и динамических нагрузок.
Для обеспечения несущей способности конструкций при совместном действии статических и динамических нагрузок производится их расчет на прочность (выносливость) и устойчивость. При расчете на прочность (выносливость) определяются суммарные внутренние усилия от статических и динамических нагрузок и сравниваются с предельными внутренними усилиями, воспринимаемыми сечением по пределу прочности (пределу выносливости) конструкционного материала. При расчете на устойчивость к расчетной статической нагрузке прибавляется расчетная динамическая нагрузка, и дальнейший расчет производится по формулам статики сооружений.
Для обеспечения жесткости конструкций, соответствующей безопасному уровню воздействия колебаний на людей, определяется амплитуда колебаний и сравнивается с величиной допускаемой амплитуды. Величина допускаемой амплитуды зависит от частоты, скорости и ускорения колебаний.
22
Для обеспечения жесткости конструкций, исключающей недопустимое влияние колебаний на производственные процессы, осуществляемые в зданиях и сооружениях, как и в предыдущем случае, определяется амплитуда колебаний и сравнивается с величиной допускаемой амплитуды. Величина допускаемой амплитуды зависит от класса технологического оборудования и приборов по чувствительности к колебаниям.
14.6. Резюме
Область строительной механики, в которой разрабатываются принципы и методы расчета конструкций сооружений на действие динамических нагрузок, называется динамикой сооружений.
Динамическая нагрузка характеризуется существенными изменениями величины, направления или места ее приложения, и эти изменения происходят в сравнительно короткие промежутки времени.
Действие динамической нагрузки на сооружение сопровождается возникновением колебаний сооружения.
По закону изменения во времени колебания конструкций подразделяются на периодические и непериодические.
По характеру причин, вызывающих и поддерживающих колебания конструкций, они подразделяются на свободные колебания, вынужденные колебания, параметрические колебания и автоколебания.
Среди всего многообразия динамических нагрузок, действующих на здания и сооружения и вызывающих их колебания, можно выделить следующие наиболее распространенные типы нагрузок – вибрационная или неподвижная периодическая нагрузка; импульсная нагрузка; ударная нагрузка; подвижная нагрузка; сейсмическая нагрузка; ветровая нагрузка.
К числу отличий динамики сооружений от статики следует отнести необходимость учета сил инерции и сил сопротивления колебаниям.
Под числом степеней свободы деформируемой системы понимают число независимых перемещений, которые при колебаниях определяют положения всех масс системы.
Основной задачей динамики сооружений является определение при действии переменных во времени внешних воздействий силовых и кинематических характеристик колебаний несущих конструкций.
23
14.7. Материалы для самоконтроля
Проверьте, как Вы усвоили следующие понятия, определения, алгоритмы и формулы:
–динамическая нагрузка;
–динамика сооружений;
–колебательное движение;
–типы колебательного движения;
–период, цикл, частота, размах, амплитуда колебаний;
–виды динамической нагрузки;
–диссипативные силы;
–силы внутреннего сопротивления;
–силы внешнего сопротивления;
–внутреннее трение в конструкции;
–коэффициент поглощения конструкции;
–число степеней свободы деформируемой системы;
–полное и неполное число степеней свободы;
–основная задача динамики сооружений;
–цели динамического расчета конструкций.
Проверьте, как Вы умеете определять в стержневых системах:
–коэффициенты жесткости и податливости;
–полное и неполное число динамических степеней свободы.
24
М-15. КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
15.0. Введение в модуль
Основными целями модуля являются:
знакомство с расчетными схемами строительных конструкций как систем с одной степенью свободы;
получение дифференциальных уравнений свободных и вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы;
рассмотрение характеристик свободных и вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы;
анализ влияния сил сопротивления на характеристики свободных
ивынужденных колебаний системы с одной степенью свободы.
Структураизучаемогомодуля включаетследующие учебныеэлементы:
1.Строительные конструкции как системы с одной степенью свободы.
2.Дифференциальное уравнение колебаний конструкций как систем
содной степенью свободы.
3.Свободные колебания системы с одной степенью свободы.
4.Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы.
5.Колебания системы с одной степенью свободы, вызванные смещением опоры.
При изучении учебных элементов рекомендуется использование сле-
дующей литературы: [1, c. 19 – 30]; [3, c. 506 – 524]; [4, c. 451 – 454, 460 – 462]; [5, c. 10 – 26].
15.1.Строительные конструкции как системы
содной степенью свободы
Строительная конструкция считается системой с одной степенью свободы, если ее геометрическое положение при колебаниях будет одно-
25
значно определяться изменением во времени одного параметра – некоторого линейного или углового перемещения конструкции.
При проверочном динамическом расчете любая строительная конструкция (балки, пластинки, рамы и др.) с размещенным оборудованием большого веса, по сравнению с которым собственным весом конструкции можно пренебречь, может рассматриваться как система с одной степенью свободы (рис. 15.1).
Рис. 15.1
Кроме того, при таких расчетах в качестве систем с одной степенью свободы могут рассматриваться строительные конструкции с учетом собственной распределенной массы и несколькими присоединенными массами, которые заменяются эквивалентной точечной массой, присоединенной в некотором сечении конструкции. Эквивалентная точечная масса может определяться из условия равенства потенциальной энергии деформации, равенства статических прогибов и других условий эквивалентности двух систем. Принятые условия эквивалентности влияют на степень точности
динамического расчета.
М Динамическая расчетная схема строительных конструкций как системы с одной степенью свободы имеет вид, изображенный на рис. 15.2, и характеризуется двумя
спараметрами: величиной эквивалентной массы М и коэффициентом жесткости конструкции с.
Коэффициент жесткости конструкции характери-
зует способность конструкции сопротивляться перемещениям в месте присоединения массы. Численно он равен величине силы, которую нужно приложить к конструкции по направлению перемещения эквивалентной
массы при колебаниях, чтобы получить перемещение равное 1.
Однако обычно коэффициент жесткости определяют через коэффициент податливости δ:
c 1 .
26
Коэффициент податливости характеризует способность конструкции получать перемещения. Численно он равен единичному перемещению, которое возникает в конструкции по направлению перемещения эквивалентной массы при колебаниях (рис. 15.3).
Рис.15.3
15.2. Дифференциальное уравнение колебаний конструкции как системы с одной степенью свободы
Пусть имеется конструкция, которая под действием приложенной к ней неподвижной периодической нагрузки H t совершает колебания. Кон-
струкция рассматривается как система с одной степенью свободы (рис. 15.4).
Динамические перемещения массы y t при
колебаниях системы определяются относительно положения статического равновесия.
Для получения дифференциального уравнения, описывающего колебания такой системы, применим принцип освобождаемости от связей и рассмотрим присоединенную массу как свободную материальную точку. Силы, действующие на массу в произвольный момент времени при колебаниях системы, показаны нарис. 15.5.
В число таких сил входят динамическая нагрузка H(t), вес массы Mg, сила сопротивления колебаниям F y, y,t и реакция конструкции R, возникающая при
колебаниях в месте присоединения массы. Реакция конструкции при колебаниях состоит из двух частей – статической и динамической и определяется по формуле
R c ст y .
H(t)
M
y(t)
c
Рис. 15.4
F(y, y , t)
R
Mg
H(t)
y
Рис. 15.5
27
Тогда, рассматривая движение присоединенной массы при колебаниях конструкции как движение свободной материальной точки под действием сил, показанных на рис. 15.5, и используя ее дифференциальное уравнение движения, получим
My H t Mg R F y, y,t .
Исключая в правой части уравнения вес массы и статическую часть реакции и перенося в левую часть все слагаемые, связанные с динамическим перемещением, получим
My F y, y,t cy H t . |
(15.1) |
Уравнение (15.1) и является дифференциальным уравнением колебаний конструкции как системы с одной степенью свободы.
15.3.Свободные колебания системы с одной степенью свободы
15.3.1.Дифференциальные уравнения свободных колебаний
Дана система с одной степенью свободы, которая совершает свобод-
ные колебания (рис. 15.6).
|
|
|
Свободные |
колебания вызваны некоторым |
|
|
|
первоначальным |
возмущением исходного состоя- |
M |
|
|
||
|
ния равновесия, характеризуемым начальным сме- |
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
щением |
|
|
|
y(t) |
y 0 y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и начальной скоростью |
|
|
c |
|
||
y 0 |
y0 . |
||
|
|||
|
Данные параметры первоначального возмущения называются начальными условиями задачи.
Свободные колебания системы будем рас- Рис. 15.6 сматривать с учетом и без учета сил сопротивления.
Силы сопротивления колебаниям системы будем описывать в соответствии с гипотезой вязкого трения:
F y, y,t y . |
(15.2) |
Силы, действующие на массу в произвольный момент времени при свободных колебаниях системы без учета и с учетом сил сопротивления, показаны, соответственно, на рис. 15.7, а и 15.7, б.
С учетом схемы сил, показанных на рис. 15.7, а, дифференциальное уравнение колебаний (15.1) конструкции как системы с одной степенью свободы примет вид
y 2 y 0 , |
(15.3) |
28
где 2 Mc – квадрат круговой (собственной) частоты колебаний конст-
рукции. Полученное уравнение (15.3) описывает свободные колебания системы с одной степенью свободы
без учета сил сопротивления. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
F y |
||||||
С учетом схемы сил, показан- |
|
|
|
|
|
||||||
ных на рис. 15.7, б, дифференциаль- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ное уравнение колебаний (15.1) кон- |
R |
|
|
|
R |
|
|||||
струкции как системы с одной сте- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
пенью свободы примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y 2 y 2 y 0 , |
(15.4) |
Mg |
|
|
Mg |
|
|||||
где |
– коэффициент вязкости |
|
|
|
|
|
|||||
y |
|
|
|
y |
|
||||||
2M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
системы. |
Полученное |
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 15.7
(15.4) описывает свободные колебания системы с одной степенью свободы с учетом сил сопротивления.
Дифференциальные уравнения свободных колебаний (15.3) и (15.4) являются обыкновенными однородными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами. Их решения ищутся
в виде суммы двух частных решений и имеют вид |
|
|
|
||
– без учета сил сопротивления |
|
|
|
||
y C1 cos t C2 sin t ; |
|
|
(15.5) |
||
– с учетом сил сопротивления |
|
|
|
||
y e t C1 cos |
|
t C2 sin |
|
t . |
|
2 2 |
2 2 |
(15.6) |
|||
Здесь C1 и C2 – произвольные постоянные, для отыскания которых используются начальные условия задачи.
С учетом значений произвольных постоянных решение уравнения (15.3) окончательно имеет вид
y asin t , |
(15.7) |
||
а решение уравнения (15.4) |
|
|
|
y ae t sin |
|
t . |
|
2 2 |
(15.8) |
||
15.3.2. Анализ решений дифференциальных уравнений
Из (15.7) следует, что свободные колебания системы с одной степенью свободы без учета сил сопротивления являются гармоническими ко-
29
лебаниями (рис. 15.8), и основными числовыми характеристиками таких колебаний являются собственная частота, период и амплитуда.
Рис. 15.8
Собственная частота колебаний может определяться по формулам
|
|
c |
|
|
|
|
M |
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g . |
||
|
ст |
|||
Здесь ст – это перемещение системы в положении статического равнове-
сия, а g – ускорение силы тяжести.
Период колебаний связан с собственной частотой соотношением
T 2 .
И, наконец, амплитуда колебаний определяется по формуле
a y2 |
|
y0 |
2 . |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из (15.8) следует, что свободные колебания системы с одной степенью свободы с учетом сил сопротивления являются затухающими колебаниями и описываются графиком, показанным на рис. 15.9.
Эти колебания не являются гармоническими, так как они описываются непериодическим законом (15.8). Однако их принято называть гармоническими затухающими колебаниями, несмотря на неточность такого названия.
Основными числовыми характеристиками таких колебаний также являются амплитуда
a ae t ,
30