Турищев Л.С. (сост.) Строительная механика. Часть 3. Основы динамики и устойчивости сооружений, Новополоцк ПГУ 2010

делителя системы путем замены его i-того столбца столбцом свободных членов таких уравнений. При нахождении значений ai , в соответствии с

видом правой части (16.40), возможны три случая.

В первом случае величины, стоящие в правой части (16.40), удовлетворяют соотношениям

i 0,

0 ,

и, следовательно, все амплитуды принимают конечные значения ai 0 i 1,...,n .

Такое решение амплитудных уравнений соответствует обычному режиму установившихся вынужденных колебаний системы с конечным числом степеней свободы.

Во втором случае величины, стоящие в правой части (16.40), удовлетворяют соотношениям

i 0, 0,

и, следовательно, все амплитуды принимают бесконечные значения ai i 1,...,n .

Такое решение амплитудных уравнений соответствует наступлению резонанса при вынужденных колебаниях системы с конечным числом степеней свободы.

Если сравнить определители систем амплитудных уравнений (16.35), (16.39) задачи о вынужденных колебаниях с соответствующими им определителями систем амплитудных уравнений (16.10), (16.13) задачи о свободных колебаниях, то можно заметить, что они в точности совпадают при. И поскольку собственные частоты системы с конечным числом степеней свободы были найдены из условия 0 , то можно сказать, что резонанс при вынужденных колебаниях наступает при совпадении частоты возмущающей силы с любой из собственных частот, и, следовательно, число возможных резонансов равно числу степеней свободы системы.

Третий случай является противоположностью второму. Он возможен, когда при определенных значениях некоторые определители i обращаются в нуль

i 0

i 1,...,m;

m n ,

но при этом 0. Тогда часть амплитуд оказывается равными нулю, что свидетельствует об отсутствии колебаний у части масс системы. Такое решение амплитудных уравнений соответствует явлению антирезонанса при вынужденных колебаниях системы с конечным числом степеней свободы.

61

16.3.4. Определение амплитудных значений динамических внутренних усилий

Рассмотрим определение амплитуд динамических внутренних усилий, которые соответствуют обычному режиму установившихся вынужденных колебаний системы с конечным числом степеней свободы. В результате решения амплитудных уравнений как в прямой, так и в обратной форме, может быть получен набор амплитуд a1,...,an , который определяет

форму вынужденных колебаний.

В случае нахождения амплитуд с использованием прямой формы амплитудных уравнений (16.35) их решению должно предшествовать определение коэффициентов rjk j,k 1,...,n и свободных членов

RjHi j 1,...,n .

Определение коэффициентов rjk основывается на рассмотрении еди-

ничных состояний в основной системе метода перемещений (рис. 16.3). Для образования этих состояний по направлению движения масс при колебаниях системы последовательно прикладываются соответствующие перемещения, равные единице. В результате рассмотрения таких состояний находятся единичные изгибающие моменты mk и поперечные силы qk и строятся их эпюры.

Определение свободных членов RjHi основывается на рассмотрении

грузового состояния в основной системе метода перемещений. Для образования этого состояния к основной системе прикладывается амплитуда возмущающей силы Hi. В результате рассмотрения такого состояния находятся грузовые изгибающие моменты M Hi и поперечные силы QHi и стоятся

их эпюры.

Тогда для определения амплитуд динамических изгибающих моментов и поперечных сил в соответствии с принципом суперпозиции можно

записать следующие формулы:
M m1a1	... mnan MHi	(16.41)
и
Q q1a1	... qnan QHi .	(16.42)

Определение продольных сил, как и при статическом расчете, осуществляется из условий равновесия узлов системы.

В случае нахождения амплитуд с использованием обратной формы амплитудных уравнений (16.39) их решению должно предшествовать оп-

62

ределение коэффициентов jk		j,k 1,...,n и свободных членов
jHi	j 1,...,n .

Определение коэффициентов jk основывается на рассмотрении

единичных состояний в безынерционной системе (рис. 16.4). Для образования этих состояний по направлению сил инерции последовательно прикладываются силы, равные единице. В результате рассмотрения таких состояний находятся единичные изгибающие моменты mk, поперечные силы qk, продольные силы nk и строятся их эпюры.

Определение свободных членов jHi основывается на рассмотрении

грузового состояния в безынерционной системе. Для образования этого состояния к системе прикладывается амплитуда возмущающей силы Hi. В результате рассмотрения такого состояния находятся грузовые изгибающие моменты M Hi , поперечные силы QHi , продольные силы NHi и стоят-

ся их эпюры.

Тогда для определения амплитуд динамических изгибающих моментов, поперечных сил и продольных сил в соответствии с принципом суперпозиции можно записать следующие формулы:

M m1I1	... mnIn MHi ,	(16.43)
Q q1I1	... qnIn QHi ,	(16.44)
N n1I1 ... nnIn NHi .		(16.45)

Для определения входящих в (16.43) – (16.45) амплитуд сил инерции можно использовать соотношения (16.4). В случае установившегося процесса вынужденных колебаний перемещения масс, стоящие в левой части (16.4), связаны с соответствующими им силами инерции выражениями

y j	1	I j t ,	(16.46)
	mj 2

и, следовательно, для самих сил инерции справедлив гармонический закон изменения

I j I j sin t (16.47)j 1,...,n .

Тогда с учетом (16.37), (16.46), (16.47) соотношения (16.4) превра-

щаются в систему линейных неоднородных алгебраических уравнений относительно амплитуд сил инерции

63

	11		1			1nIn 1H		;
			m 2	I1
							i
			1
..................................................								(16.48)
						1
n 1 I 1			...	nn m 2			In nHi .
						n

16.4. Резюме

С целью упрощения в приближенных динамических расчетах реальные конструкции часто заменяются системами с конечным числом степеней свободы. Строительные конструкции как системы с конечным числом степеней свободы состоят из упругого безмассового скелета конструкции и присоединенных к нему дискретных масс.

Для получения дифференциальных уравнений колебаний систем с конечным числом степеней свободы используются три способа – основной, прямой и обратный. При динамических расчетах строительных конструкций, как правило, используются прямой и обратный способы.

Свободные колебания систем с конечным числом степеней свободы характеризуются спектром собственных частот и спектром собственных форм. Спектр собственных частот и спектр собственных форм являются важными характеристиками строительных конструкций. Каждой конструкции присущи свои спектры собственных частот и собственных форм. Поэтому эти два вида спектров характеризуют индивидуальный динамический портрет строительной конструкции.

Установившийся процесс вынужденных колебаний систем с конечным числом степеней свободы, в зависимости от значений частоты изменения динамической нагрузки, характеризуется тремя случаями: обычный, резонансный и антирезонансный режимы колебаний.

16.5. Материалы для самоконтроля

Проверьте, как Вы усвоили следующие понятия, определения, алгоритмы и формулы:

–реальные конструкции как системы с конечным числом степеней свободы;

–прямой способ становления уравнений колебаний;

64

–основная система прямого способа;

–прямая форма дифференциальных уравнений колебаний;

–обратный способ составления уравнений колебаний;

–основная система обратного способа;

–обратная форма дифференциальных уравнений колебаний;

–принцип Даламбера;

–метод кинетостатики;

–система уравнений свободных колебаний в прямой форме;

–матричная запись уравнений в прямой форме;

–система уравнений свободных колебаний в обратной форме;

–матричная запись уравнений в обратной форме;

–система однородных дифференциальных уравнений;

–частные решения однородных дифференциальных уравнений;

–амплитудные уравнения свободных колебаний в прямой форме;

–матричная запись амплитудных уравнений в прямой форме;

–амплитудные уравнения свободных колебаний в обратной форме;

–матричная запись амплитудных уравнений в обратной форме;

–частотное уравнение;

–собственные частоты свободных колебаний;

–спектр собственных частот;

–собственные формы свободных колебаний;

–свойства собственных форм;

–закон сохранения механической энергии;

–система уравнений вынужденных колебаний в прямой форме;

–матричная запись уравнений в прямой форме;

–система уравнений вынужденных колебаний в обратной форме;

–матричная запись уравнений в обратной форме;

–система неоднородных дифференциальных уравнений;

–частные решения неоднородных дифференциальных уравнений;

–амплитудные уравнениявынужденных колебаний впрямой форме;

–матричная запись амплитудных уравнений в прямой форме;

–амплитудные уравнения вынужденных колебаний в обратной

форме;

–матричная запись амплитудных уравнений в обратной форме;

–резонанс систем с конечным числом степеней свободы;

–антирезонанс систем с конечным числом степеней свободы;

65

–формулы для определения динамических внутренних усилий прямым способом;

–формулы для определения динамических внутренних усилий обратным способом.

Проверьте, как Вы умеете:

–определять полное и неполное число степеней свободы;

–образовывать основную систему прямого и обратного способа;

–составлять уравнения колебаний в прямой и обратной форме;

–получать амплитудные уравнения в прямой и обратной форме;

–определять коэффициенты и свободные члены амплитудных урав-

нений.

Проверьте, сможете ли Вы вывести и решить:

–уравнения свободных колебаний в прямой форме;

–уравнения свободных колебаний в обратной форме;

–уравнения вынужденных колебаний в прямой форме;

–уравнения вынужденных колебаний в обратной форме.

Проверьте, сможете ли Вы вывести:

–формулу для вычисления k-той собственной частоты энергетическим методом;

–формулы для определения динамических внутренних усилий прямым и обратным способом.

Проверьте, сможете ли Вы доказать:

–свойства собственных форм свободных колебаний.

66

М-17. КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ

17.0. Введение в модуль

Основными целями модуля являются:

получение дифференциальных уравнений свободных колебаний балок как систем с бесконечным числом степеней свободы;

определение числовых характеристик свободных колебаний балок;

получение уравнений свободных и вынужденных колебаний плоских рамных систем как систем с бесконечным числом степеней свободы;

определение числовых характеристик свободных колебаний плоских рамных систем;

определение числовых характеристик установившегося процесса вынужденных колебаний плоских рамных систем.

Структураизучаемогомодуля включаетследующие учебныеэлементы: 1. Свободные колебания балок.

2. Колебания плоских рамных систем.

3. Приближенные методы определения собственных частот.

При изучении учебных элементов рекомендуется использование сле-

дующей литературы: [1, c. 189 – 196, 200 – 206]; [3, c. 507 – 508]; [4, c. 486 – 490]; [5, c. 101 – 104, 127 – 130, 204 – 221].

17.1. Свободные колебания балок

Для точного решения задачи о колебаниях реальных балок необходимо их рассматривать как упругие системы с непрерывно распределенными по длине массами. В соответствии с этим любая реальная балка всегда является системой с бесконечным числом степеней свободы.

67

Iz const, m const .

17.1.1. Дифференциальное уравнение свободных колебаний

Рассматриваются свободные поперечные колебания упругой балки постоянного симметричного поперечного сечения с равномерно распределенной массой

(17.1)

Здесь m – масса на единицу длины балки; E – модуль упругости материала балки; Iz – момент инерции поперечного сечения балки относительно оси, проходящей через центр тяжести поперечного сечения перпендикулярно плоскости колебаний. Закрепления концов балки считаются произвольны-

ми (рис. 17.1).

Колебания рассматриваются без учета сил сопротивления. Поперечное смещение центра тяжести произвольного сечения балки от положения его статического равновесия описывается функцией двух переменных y x,t , где x – расстояние вдоль оси балки от начала координат; t – время. Возникающие при колебаниях балки изгибающие моменты и поперечные силы также описываются функциями двух переменных M x,t и Q x,t .

Для получения дифференциального уравнения свободных колебаний балки рассмотрим участок балки длиной dx, обладающий массой mdx. Внутренние усилия, действующие на такой элемент в некоторый момент времени, показаны на рис. 17.2.

Рис. 17.1

Рис. 17.2

Пренебрегая инерцией вращения поперечных сечений, рассмотрим элементарный участок балки как материальную точку и запишем для нее дифференциальное уравнение движения

mdx 2 y Q dx .

t2 x

Для получения выражения производной поперечной силы

пользуем дифференциальное уравнение оси изогнутой балки

(17.2)

Qx ис-

68

EIz 2 y M .

x2

Продифференцировав (17.3) дважды по x, найдем

EIz 4 y Q .

x4 x

(17.3)

(17.4)

Тогда, подставляя (17.4) в (17.2), после сокращения на dx получим уравнение

	EI	4 y	m	2 y		0	,	(17.5)
		z x4		t	2

которое описывает свободные колебания балки. Уравнение (17.5) является линейным однородным дифференциальным уравнением четвертого порядка в частных производных с постоянными коэффициентами гиперболического типа.

17.1.2. Начальные и граничные условия

Свободные колебания балки вызываются некоторым возмущением ее исходного состояния равновесия в начальный момент времени t = 0. Такое возмущение характеризуется функциями

y x,0 y0 x

и

y x,0 v0 x . t

Данные функции, определяющие начальное распределение по оси балки прогибов и скоростей отдельных ее элементов, описывают начальные условия задачи о свободных колебаниях балки, которым должно удовлетворять решение уравнения (17.5).

При выводе уравнения (17.5) закрепления концов балки были приняты произвольными. Однако его решение y x,t , описывающее очертание изогнутой оси колеблющейся балки, зависит от способа закрепления ее концов. Ограничения, накладываемые на искомое решение условиями закрепления балки, и называются граничными условиями задачи о свободных колебаниях балки. На каждом конце балки имеются два граничных условия.

Рассмотрим варианты граничных условий, встречающиеся при стандартных закреплениях концов балки – свободный конец, заделка, шарнирная опора.

69

В сечении на свободном конце отсутствуют изгибающий момент и поперечная сила. Поэтому соответствующие этому закреплению граничные условия имеют вид

	2 y	0;	3 y	0.	(17.6)
	x2		x3

Условия (17.6), налагающие ограничения на изгибающий момент и поперечную силу, называются силовыми или динамическими граничными условиями.

В сечении, примыкающем к заделке, не могут возникать прогиб и угол поворота. Поэтому соответствующие этому закреплению граничные условия имеют вид

y 0;	y	0 .	(17.7)
	x

Условия (17.7), ограничивающие свободу перемещений концов балки, называются геометрическими граничными условиями.

В сечении на шарнирной опоре не может возникать прогиб и отсутствует изгибающий момент. Поэтому соответствующие этому закреплению граничные условия имеют вид

y 0;	2 y	0.	(17.8)
	x2

Условия (17.8), ограничивающие одновременно как часть перемещений, так и часть внутренних усилий, называются смешанными граничными условиями.

17.1.3. Решение дифференциального уравнения

Для решения уравнения (17.5) применяется один из наиболее распространенных методов решения дифференциальных уравнений с частными производными – метод разделения переменных или метод Фурье. В соответствии с эти методом искомое решение y x,t представляется в виде

произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной

y x,t X x T t .

(17.9)

Входящая в (17.9) функция X x описывает закон распределения амплитудных отклонений точек оси балки от равновесного состояния, т.е. форму изгибных колебаний балки. Будем называть ее для краткости амплитудной функцией. Вторая функция T t характеризует закон изменений формы колебаний во времени.

70