- •Общие понятия теории о.Д.У., примеры моделей динамических процессов Общие понятия:
- •Примеры задач:
- •Уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные, в полных дифференциалах
- •Уравнения Бернулли и Риккати
- •Уравнения, не разрешенные относительно производной. Задача коши
- •Теорема Коши о голоморфном решении
- •1) Построение формального решения
- •2) Сходимость
- •Метод малого параметра.
- •Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Линейные системы д.У. Общие свойства
- •Линейные системы с постоянными коэффициентами
Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
Вид ai (const) ∈ R или C
ОДНОРОДНЫЕ f(x)=0
Общ решение: Лин Комби с постоянными коэф-ми фундам сист решений
Поиск решения:
L(D) – лин диф-ый оператор
L(D)y(x) = 0
Составим характеристическое ур-ие след.образом
y(n) = λ(n) , y(n-1) = λ(n-1) , y = 1 =>
Находим корни λ1… λn
Случай 1) Все λ – различные действит корни. Тогда решение записывается в виде:
y(x) = C1*eλ1x + C2*eλ2x + …+ Cn*eλnx
Случай 2) Корни кратные и R(действит)
λ1, λ2 … λm с кратностью k1, k2… km
Общ реш: y(x)= eλ1x * (C1+C2x+C3x2 +…. +Сk1 xk1-1)+ …+ eλmx *(Cn-km+Cn-km+1x+…+Cnxkm-1)
Случай 3) λ1, λ2 = α1 ± iβ1 (вещест и мнимая) α1,β1 ∈ R
λ3, λ4 = α2 ± iβ2
eiφ = cosφ + isinφ
Формулы Эйлера sin y = cos y =
y(x) = eα1x*(C1cosβ1x+ C2sinβ1x) + eα2x*(C3cosβ2x+ C4sinβ2x) + …
В ходе решения применяем формулу Муавра: z=|z| *(cosφ+isinφ) => z1/n = |z |1/n *(cos + ) где k = 0,1,2..n-1
НЕОДНОРОДНЫЕ f(x) ≠ 0
Случай 1) Метод вариации произвольной постоянной
Сначала решаем однородное ур-ие
yo = eλ1xC1 …. или yo = С1Y1(x)+ С2Y2(x)+…+ СnYn(x), где Y1…n= ex(C1cosβ1x+ C2sinβ2x)
Пусть С1… Cn = C1(x)…C1(n)
Составляем систему
+ далее находим все константы методом Крамера
W= | | W1= … Wn= || C1’=W1/W … Cn’=Wn/W C1= ∫(W1/W)...Cn=∫(Wn/W) Случай 2) Метод неопределенных коэф
Найти общее: y = yo + (реш однор + реш частн)
f(x) = Pn(x)*eαx Pn – полином или f(x) = eαx (Pn(x)cosβx + Qm(x)sinβx)
- решаем однородное характ-е ур-ие
- разбиваем f(x) на слагаемые и решаем каждое слаг-ое
(f(x) = f1(x) + f2(x) (x)+ (x) = + )
- = xSAn(x) eαx – находим общ вид постановки и находим коэф при подобных слагаемых
S – кол-во λi (кратность компл числа каждого корня хар ур-ия)
n – макс степень мн-на, т.е макс степень одного из полиномов в f(x)
λ1…n = α λ1…n = α+iβ
λk = α => резонансный случай S = кол-во λi
λk не= α => нерезонансный случай S=0
Подставляем в ур-ие и находим коэф-ты многочлена.
y = yo + Σ
Линейные системы д.У. Общие свойства
Система линейных дифференцируемых уравнений - система вида
В векторной форме:
X = = F(t) =
Если , то система линейная однородная, иначе - линейная неоднородная.
Линейный дифференциальный оператор:
Свойства :
Решением называется вектор-функция x = φ(t), которая дифференцируема на некотором промежутке ⟨α, β⟩ ⊆ I и при подстановке в векторное ОДУ дает тождество по t. Производная решения непрерывна.
Для любых начальных данных ∈ I, = ∈ решение задачи Коши ( ) существует и единственно на интервал I.
В общем случае все переменные Комплексная система сводится к вещественной порядка 2n
x = u + vi , u = Rex : I → Rn, v = Im x : I → Rn
= + i = (ARe + iAIm)(u + iv) + fRe + ifIm ⇒
=>, общие результаты теории вещественных линейных систем ОДУ переносятся на комплекснозначный случай.
Линейные системы с постоянными коэффициентами
Пусть A = const . Займемся вначале построением фундаментальной матрицы однородной линейной системы
x-матрица в виде одного столбца.
Пусть корни λj характеристического полинома χ(λ) = |λE − A| матрицы A различны. Ищем нетривиальное решение в форме:
Подставляем.
Это алгебраическая задача поиска собственных чисел и собственных векторов. Получаем
|λE − A| - мы ищем нетривиальное решение.
Чтобы - решение, то
= L( ) – характеристический полином
Получаем, что - собственное число А, а b - собственный вектор А.
- Пусть в характеристическом полиноме n различных корней
φ1 =
При t=0 получается линейная комбинация векторов . Различным собственным числам соответствует ЛНЗ собственный вектор. - независимы и все
Общим решением является вектор-функция ( )
или для решения можно воспользоваться методом исключения:
x’(t) = AX(t) + f(t) – в матричном виде
Однород. x’(i) =AX(t)
Метод исключения:
x1, x2 – некоторые функции от t
=>
– лин ур-ие 2 порядка
x1 = 0
ур-ие высш поряд однор с постоянн коэф
λ2 –()λ - ()=0
x1 = C1e λ1t+C2e λ2t => , x2-найти