ИЭ / 9 сем (станции+реле) / Литература / Шнеерсон
.PDF(2.10)
На основе выражения (2.10) возможно получение ряда алго ритмов, определяющих вектор Il.(n1) = U(n1)ejq,(nТJ, соответст
вующий дискретизированному сигналу и(п1) = U(sinroonT + <р).
Используя n-ю и(п1) и предыдущую и(пТ-1) выборку, принимаем в первом приближении:
и(t)=и(пТ); u'(t)=.т!..[u(nT)-u(nT-T)]. (2.11)
В этом случае, учитывая, что ro0T = ffioT0/N = 2тr,/N, подстав
ляя значения u(t) и из (2.11) в (2.10) получим_:
(2.12)
Выражение (2.12) определяет алгоритм вычисления вектора I.l(n1) = Их(п1) + UyCn1) по текущим мгновенным значениям
и(п1). Отметим, что даже при синусоидальном сигнале данный алгоритм не является точным, вследствие приближенного вы числения производной сигнала в выражении (2.11) по двум вы боркам при про ежутке времени Т.
Используя, например, три текущих выборки
и(пТ)=и(пТ-Т); u'(t) = u(nT)- nT-ZT), |
(2.13) |
с учетом (2.10) можно получить уточненный алгоритм А2:
Q(пТ)=-47t и(пТ)+ jи(пТ-Т)--41t (пТ-2Т). |
(2.14) |
Порядком алгоритма назовем число используемых в нем сдви гов последовательностей. В частности, соотношение (2.12) оп ределяет алгоритм первого порядка, так как при вычислениях используется последовательность и(пТ -1), являющаяся сдвигом
u(n1) на один период дискретизации Т. Выражение (2.14) опре деляет с учетом этого алгоритм второго порядка. С учетом обо значений рис. 2.8 алгоритм первого порядка по выражению
51
и(пТ)
и(пТ) !1о |
!l(пТ) |
и,,(пТ) и1(пТ)
а) |
6) |
в) |
Рис. 2.9. Струхтурные схемы мгоритмов при операциях с комплексными (а, б) и действительными (в) последовательностями
N
а =-·
21t'
|
. |
|
N |
а, |
=1· |
а2 |
=--. |
= |
' |
- |
41t |
2.2.4. Алzориmм двух выборок
.[[(t)
52
+<р).
И
I . |
I |
|
<р),
sш00omr1
|
|
|
|
= |
0 |
+ <р) |
= |
0 |
+ <р], |
|
'Р) |
|
|
|
<р |
= О) |
|
|
И, |
(см. 2.6,б).
Л<р= arctg- - arctg-.
=
+
u(nT)
и(пТ)
|
Ux(nТ) |
Uy(nТ) |
а) |
6) |
|
Рис. 2.10. Структура алгоритма двух выборок для последовательностей комплексных (а) и действительных (6) чисел
т.е. для определения квадрата амплитуды синусоидального сиг нала достаточно сложения квадратов двух выборок, взятых че рез N/4 циклов. Структура алгоритма (2.16) для последователь ности комплексных чисел приведена на рис. 2.10,а, а для двух последовательностей действительных чиселна рис.2.10,б, где
при f3 = ro0mT имеем ао = аах + ja0y = ei /sinf3 = ctgf3 + j; а1 =
= а1х = -1/sinf3; z-m - блок задержки последовательностей на m циклов дискретизации.
Оrметим, что при периоде дискретизации Т О (N оо) алго
ритм двух выборок переходит в алгоритм (2.10) выборки и произ водной.
Другим практически важным приложением алгоритма двух выборок является расчет вектора сопротивления z.. Выражения
для входного сопротивления на основе алгоритма двух выборок, взятых через m циклов, аналогичны (2.16). Обозначив и(пТ
- тТ) = и1 ; и(пТ) = и2; i(nTтТ) = i1; i(пТ) = i2 , из (2.16) по
лучим:
Z = -
У..(пТ |
) = |
и i |
и |
||||
|
2 |
- |
1 |
||||
I(nT) |
|
|
iie |
Ф |
-i |
|
=R+jX;
Р |
= |
|
mТ; |
|
|
|
|
|
|
||
|
Щэ |
( |
|
|
|
|
|
(2.18) |
|||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
• |
||||
R= и i1 |
- |
и1i +½i1 )cosf3+u2i2 |
|
||||||||
|
|
|
|
· |
2 |
|
· . |
|
А ·2 |
' |
|
|
|
|
|
11 |
-21112 cos..,+12 |
|
|
||||
Х |
(u1ii |
-u2i1 )sinf3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
if-2i1ii cosf3 |
iJ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
54
в частном случае при m = N/4 (f} = 1t/2) имеем из (2.18):
Щi1 +U2½. |
Щi2 -u2 i1 |
|
|
|
if +i . |
if + ' |
Алгоритмы по выражениям (2.12), (2.14), (2.16) являются на иболее распространенными примерами класса алгоритмов, поз воляющего на основе выборок сигналов и(t), i (t) определить па раметры соответствующих векторов тока l(пТ) и напряжения U(пТ). Рассмотренные алгоритмы являются быстродействующи
ми (теоретически результат может быть получен за время пери ода дискретизации Т между двумя выборками). Однако при от личии сигналов от синусоидальных эти алгоритмы имеют низ кую точность. Поэтому при их практическом применении целе сообразна предварительная цифровая фильтрация сигналов. Ча
стотные характеристики данных алгоритмов рассмотрены в гл. 3.
2.2.5. Алгоритмы на основе дифференциального уравнения линии
Для любой R,L-цепи, в том числе и воздушной линии, в об щем случае для любого момента времени справедливо диффе ренциальное уравнение
х |
(2.19) |
U= Ri +-l,•/ |
где и, i-мгновенные значения тока и напряжения; X/OOr,- ин дуКТивноqъ линии; i' - производная тока.
Если и1; i1, i{ и и2, i2, i2 - значения величин на входе ЦИО
соответственно в любые два момента времени, то, решив на ос нове (2.19) системуi:. двух уравнений, имеем составляющие со
противления = + jX на входе ЦИО:
(2.20)
Достоинством данного алгоритма является независимость ре зультатов от формы сигнала, т.е. от апериодических составляю щих в токе и напряже.нии, возникающих при КЗ на воздушной
55
линии, описываемой уравнением (2.19), недостатками - малая |
|||||||
точность вследствие использования только двух выборок сигна |
|||||||
ла, неправильное измерение при наличии дуги в месте повреж |
|||||||
дения, подверженность влиянию помех. |
|
||||||
Для практического применения данного алгоритма необходи |
|||||||
ма предварительная цифровая фильтрация сигналов () и i (см. |
|||||||
гл.З). При этом операции цифровой фильтрации фильтрации мо |
|||||||
гут производиться непосредственно с составляющими уравне |
|||||||
ний. В частности, почленное интегрирование уравнения (2.19) |
|||||||
в пределах от t |
до t |
), |
+ Лt |
+, |
и от t |
до t + Лt соответствует сле |
|
(, |
|
|
2 |
2 |
,, |
||
дующей системе с двумя неизвеСТНЪIМИ |
[11]: |
которая может быть представлена в виде:
Решение этой системы имеет вид:
(2.21)
,(,).+П ,2 |
mt9 |
ДлП ,,П |
|
|
|
i |
.6П.Дл596 |
i |
:П |
|
|
|
|
i-Пm |
m |
|
|
||||
m |
- |
|
t |
|
i |
.Л |
i |
ЗП В i ] |
9 |
[П |
.ОД:П |
m m1m |
|
|
|
||||||
Данную группу алгоритмов ЦИО характеризует наличие филь |
||||||||||
трующих свойств в самих преобразованиях, заключающихся в |
||||||||||
выделении из сигналов составляющих взаимно ортогональных |
||||||||||
функций (тригонометрических с разложением в ряд Фурье, пря |
||||||||||
моугольных Уолmа, трапецеидальных и т. д.). |
|
|
56
в частности для выделения коэффициентов а и Ь первой гар монической ряда Фурье и0(t) = acosroot + bsinroot функции u(t)
цифровой преобразователь должен реализовать к моменту вре мени t алгоритм:
а= 2 |
t |
|
|
|
|
2 |
t |
|
|
|
f f(t)cosщ,tdt; Ь= |
f f(t)sinщ,tdt, |
|||||||||
Т |
t-T0 |
|
|
|
|
Т |
t-T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где а и Ь - ортогональные составляющие |
вектора E.(t) = |
|||||||||
== FxCt) + jFy(t), |
характеризующего |
синусоидальную составляю |
||||||||
щую u0(t) с частотой roo: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
f. |
(t) |
( |
i f u(() |
-jWofdt. |
|
||||
|
|
= j a- |
О |
|
0 |
e |
|
(2.22) |
||
|
|
|
|
|
|
t-T |
|
|
|
Выражение (2.22) характеризует алгоритм Фурье для идеаль ного случая «гладкой» функции u(t) (N = оо), сопоставляющий
несинусоидальный сигнал u(t) с векторомЕ(t), соответствующим гармонической составляющей частоты ro0 в сигнале u(t).
При наличии на входе цифрового преобразователя синусои дального сигнала u0(t)= U0sin(root + q>) частоты ro0 из (2.22) по сле преобразований имеем:
2 |
. |
t |
0 |
. |
|
. |
W. 0 |
, |
|
f |
0 -1 |
d |
0 |
|
|||
f_(t)=/ |
|
U sin(щ,t+'lf )e Wot |
t = U e |
|
|
|||
О |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t-T |
|
|
|
|
|
|
т.е. синусоидальный сигнал частоты roo алгоритм Фурье сопос |
||
тавляет с постоянным во времени вектором. Для дискретизиро |
||
ванных сигналов с числом выборок N за период в простейшем |
||
случае ступенчатой интерполяции значен:ия функции и(пТ) при |
||
нимаются постоянными в течение периода дискретизации Т. В |
||
этом |
случае с учетом (2.22)к моменту времени t = пТ при |
|
0 |
= |
имеем: |
В выражении (2.23) на любом шаге расчета используется N выборок величины и(пТ) - от и(пТ-NТ + Т)) до и(пТ). Подста новка в (2.23) значения
57
|
То |
|
о |
|
t |
- -1 |
- |
|
а)
1
о |
t |
t |
|
||
- -1 |
|
|
б)
Рис. 2.11. Ортогональные прямоугольные (а) и трапецеидальные (б) четная
и нечетная фующии
и(пТ) =sin(ro0nT +ч,)"" |
|
\ [iiroo,i |
T |
+1V) |
-e-i((%11 |
T+111> |
2 |
|
] |
||||
|
|
|
|
|
|
при любых N 2 дает Е(пТ) = ei\P, т.е. и в этом случае синусои
дальному дискретизированному сигналу соответствует постоян ный во времени вектор.
Так же, как и при использовании алгоритма Фурье, при дру гих возможных разложениях на ортогональные функции проис ходит фильтрация входного сигнала, обеспечивающая выделе ние из входных сигналов ортогональных составляющих, но уже не синусоидальных, а прямоугольных или трапецеидальных (рис. 2.11).
Алгоритм фильтрации обеспечивается тервале Т0 = NТ входного сигнала и(t) с ортогональными фующиями.
методом свертки на ин четными и нечетными
58
а) |
!f.(пТ) |
|
|
Д |
hт |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
О |
2 |
'т |
Ux(nT) |
||
N-1 |
|||||
|
-------+--- |
||||
|
|
' |
|
Uy(nT) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
gm |
|
|
|
|
|
|
б)
Р |
ис |
|
. 2.12. Структура алгоритма Фурье с комnлексными (а) и |
||
|
действительньши |
б |
|
() коэффициентами |
|
|
Структура алгоритма Фурье с комплексными коэффициента |
||||||||||||||
ми приведена на рис. |
2.12, |
. При этом коммексные коэффици |
||||||||||||||
енты |
а0-ан_1 равны: |
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
а |
==e-frno(N-l)T. |
а |
= |
- |
2 . |
а |
|
e-jШrJT. а |
е |
0 |
-1 |
|
||
|
|
-О |
, |
-1 |
|
|
|
, . . . ' |
- |
N-2 |
- |
' -N-1 - |
|
|
- |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
о |
Обычно используются отдельные фильтры для выявления ор |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектора |
Е(пТ) = |
|||||
гональных составляющих измеряемого |
||||||||||||||||
|
|
( |
пТ) + jFуСпТ), тогда, с учетом выражения (2.23), имеем |
|||||||||||||
== Fх |
59
2 |
п |
+ |
2 |
п |
2.24) |
Е.(nТ)=- |
L u(nT)sinroonT |
|
j- |
L u(nT)cosroonT. |
( |
N n-N+l |
|
N n-N-tl |
|
2.12,6):
h0 = sinro0(n - l)T; h1 = sinro0(n - 2)Т; ...; hN- t = О; g0 = cosro0(n - l)T; g1 = cosro0(n - 2)Т; ...; gN- l = 1.
Их
2.3. Измерительные органы одной электрической величины
2.13,а).
2.13,6).
Как
|
|
|
|
1(п1) |
к |
|
|
|
|
|
|
||
i(n1) |
|
•0 |
|
[I] |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
к |
i(nT) |
|
|
|
l(пТ) |
БФХ |
||
u(n1) |
|
U(n1) |
|
|
{ |
|
|
||||||
|
6) |
||||||||||||
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.13. Структура ЦИО, реагирующих на значение ТОJ<а и напряжения
60