19. Устойчивость в цепи с нелинейным элементом и ёмкостью.

Рассмотрим теперь цепь, изображённую на рисунке 19.1, где участок с нелинейным сопротивлением имеет падающую характеристику типа характеристики, показанной на рисунке 18.2.

Рисунок 19.1 – Цепь с нелинейным элементом (дуга) и ёмкостью

Для неё имеем уравнения

Следовательно,

При равновесии u=u_p=const и du/dt=0, т.е.

Пусть напряжение u получает вследствие какой-либо причины в момент t=0 малое приращение η₀. Дальше это приращение η изменяется во времени. Имеем

Ток i есть функция напряжения u, определяемая характеристикой участка с нелинейным сопротивлением, т.е. i=ψ(u). Разлагая i=ψ(u_p+ η) по степеням η и отбрасывая в первом приближении все члены с η в степени выше первой, получаем

где g_д = (di/du)_u=Up – динамическая проводимость участка с нелинейным сопротивлением при u=u_p.

Подставляя в основное уравнение (**) цепи величины i, du/dt и u и вычитая из него уравнение равновесия (***), получаем в этом первом приближении линейное уравнение для η:

где g=1/r. Его характеристическое уравнение Cα+(g+g_д)=0 имеет единственный корень α=-(g+g_д)/C, и решение для η имеет вид

При α <0, т.е. при (g+g_д)>0, отклонение стремится к нулю при возрастании времени. При этом имеем устойчивое состояние.

Нетрудно убедиться, что точкой устойчивого равновесия теперь является точка А (рис. 18.2). Для этой точки (r+r_д)<0, и следовательно, , так как r_д<0. Таким образом, для точки A удовлетворяется условие устойчивого равновесия:

Точка В теперь является точкой неустойчивого равновесия.

Таким образом, устойчивое состояние и в этом случае соответствует отрицательному корню характеристического уравнения, относящегося к линейному в первом приближении уравнению для отклонения η. Можно сказать также, что устойчивое состояние данной цепи характеризуется тем, что сумма динамических проводимостей (g+g_д) положительна.

20. Релаксационные колебания.

Используя нелинейный элемент с характеристикой, имеющей падающий участок (неоновая лампа), можно получить автоколебания при одном накопителе энергии (конденсаторе) – релаксационные колебания.

Рисунок 20.1 – Цепь, в которой могут возникнуть релаксационные колебания

Неоновая лампа с нелинейной характеристикой u=φ(i), изображённой на рисунке 20.2, включена параллельно конденсатору C. Между источником постоянного напряжения U₀ и лампой включено достаточно большое сопротивление r₁. Прямая U₀- i₁r₁ изображена также на рисунке 20.2. Она пересекает характеристику лампы на падающем участке. На опыте последних вопросов можно сказать, что точка пересечения А является точкой неустойчивого равновесия в цепи.

Рисунок 20.2 – График характеристик элементов цепи

При включении цепи в момент t=0 под постоянное напряжение U₀ конденсатор заряжается через сопротивление r₁. Лампа не горит, и ток в ней i=0. Напряжение на конденсаторе (рисунок 20.3) растёт по закону:

Рисунок 20.3 – График зависимости напряжения на конденсаторе от времени

В момент t=t₁ напряжение u на конденсаторе и на лампе достигает значения U₂, при котором лампа вспыхивает. Ток в лампе резко возрастает, и происходит скачкообразный переход состояния лампы от точки В в точку G характеристики. С этого момента ток в лампе поддерживается за счёт разряда конденсатора. Пусть r₂ есть среднее значение сопротивления лампы на участке GH характеристики. Так как r₂ << r₁, то при горении лампы можно не учитывать ток i₁. Полагая r₂=const, получаем закон изменения напряжения на конденсаторе во время горения лампы в виде:

К моменту t=t₂ напряжение упадёт до значения U₁, при котором лампа гаснет. Ток в ней падает практически до нуля, и происходит скачкообразный переход от состояния лампы из точки H в точку A характеристики. Интервал времени t₂-t₁ определяется из выражения

После погасания лампы конденсатор вновь начинает заряжаться от источника напряжения U₀ через сопротивление r₁ по закону

Произвольную постоянную А определяем из условия, что при t=t₂ имеем u=U₁, откуда

К моменту t=t₃ конденсатор зарядится до напряжения U₂, и лампа вновь вспыхнет. Интервал времени t₃-t₂ определяется из уравнения

В дальнейшем процесс периодически повторяется. Период колебаний равен

Релаксационные колебания с успехом могут быть использованы, например, для осуществления линейной развёртки луча катодного осциллографа. Действительно, восходящие ветви кривой u=F(t) (рисунок 20.3) можно получить весьма близкими к прямолинейным, если они представляют собой только начальную часть кривой заряда конденсатора. Это будет иметь место, если U₀ взять достаточно большим, чтобы было

Релаксационные колебания можно получить также в устройствах с другими схемами.

60