Для определения области сходимости степенного ряда

необходимо:

1) вычислить радиус сходимости по формуле (7.11);

2) исследовать сходимость ряда ;

3) записать область сходимости по результатам предыдущих пунктов.

▲ Т.к. , то

.

Значит, степенной ряд сходится , т.е. в интервале .

Если , получаем ряд .

Положим ; эта функция положительная, непрерывная и убывает. Тогда несобственный интеграл

т.е. расходится, а значит, данный ряд также расходится.

Если получаем знакочередующийся ряд

.

Так как члены данного знакочередующегося ряда монотонно убывают

, и ,

то, согласно признаку Лейбница, ряд сходится. Так как ряд, составленный из абсолютных членов данного ряда, т.е. ряд , расходится, то исследуемый ряд сходится условно (неабсолютно). Таким образом, область сходимости исследуемого степенного ряда . ▼

Пример 3. Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на интервале выражением имеющую период .

▲ Как сама функция, так и ее первая производная кусочно-монотонная и ограниченная на . Значит, функцию можно разложить в ряд Фурье вида (7.12). В нашем случае . Подсчитаем коэффициенты Фурье:

;

.

Итак, в каждой точке непрерывности функции имеем:

.

В точках разрыва функции ряд сходится к значению  среднему арифметическому предельных значений функции слева и справа. ▼

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение сходящегося и расходящегося ряда.

2. Сформулируйте необходимый признак сходимости ряда.

3. Сформулируйте признак сравнения рядов с положительными членами.

4. Сформулируйте признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами.

5. Сформулируйте признак Коши сходимости рядов с положительными членами.

6. Сформулируйте интегральный признак сходимости.

7. Дайте определение абсолютно сходящегося ряда.

8. Сформулируйте признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.

9. Сформулируйте теорему Абеля о сходимости степенных рядов.

После изучения темы ”Дифференциальные уравнения“ выполните контрольную работу 7.

Контрольная работа 8 Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Литература

1, л. XV; 2, гл. 8, 9; [3], гл. X; [4], гл. 11,12; 5, гл. VII; 6 10; 8.

Основные теоретические сведения

1. Если переменной x дать некоторое приращение , а y оставить постоянной, то функция получит приращение , называемое частным приращением функции z по переменной x:

(8.1)

Аналогично, если переменная y получает приращение , а x остается постоянной, то частное приращение функции z по переменной y

. (8.2)

Если существуют пределы

, (8.3)

, (8.4)

то они называются частными производными первого порядка функции по переменным x и y соответственно.

Аналогично определяются частные производные функций любого числа независимых переменных. Так как частная производная по любой переменной является производной по этой переменной, найденной при условии, что остальные переменные  постоянные, то все правила и формулы дифференцирования функций одной переменной применимы для нахождения частных производных функций любого числа переменных.

2. Полным приращением функции называется разность

. (8.5)

Главная часть полного приращения функции , линейно зависящая от приращений независимых переменных и , называется полным дифференциалом функции и обозначается . Если функция имеет непрерывные частные производные, то полный дифференциал существует и равен

, (8.6)

где  произвольные приращения независимых переменных, называемые их дифференциалами.

3. Применение дифференциала функции к приближенным вычислениям значений функции основано на приближенном равенстве или

. (8.7)

4. Если уравнение гладкой поверхности задано в неявном виде и , то уравнение касательной плоскости в точке имеет вид

, (8.8)

а уравнение нормали

. (8.9)

5. Функция имеет в точке локальный максимум (минимум), равный , если существует такая δ - окрестность этой точки, что для всех отличных от точек из этой окрестности имеет место неравенство .

Необходимые условия существования локального экстремума: если функция в точке имеет локальный экстремум, то в этой точке обе частные производные, если они существуют, равны нулю или хотя бы одна из них в этой точке не существует (критические точки функции ).

Достаточные условия существования локального экстремума.

Пусть , тогда:

1) если , то имеет в точке локальный экстремум (  локальный максимум,  локальный минимум);

2) если , экстремума в точке нет;

3) если , функция может иметь, а может не иметь локальный экстремум.

6. Дифференцируемая функция в ограниченной замкнутой области достигает своего наибольшего (наименьшего) значения либо в критической точке, лежащей внутри области, либо на границе этой области. Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области необходимо найти все критические точки, лежащие внутри данной области и на ее границе, вычислить значения функции в этих точках, а также во всех остальных точках границы, а затем путем сравнения полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее из них.

7. Число называется производной скалярного поля (функции ) в точке M по направлению l и обозначается символом . Производная по направлению является скоростью изменения функции по направлению l в точке M. Если в прямоугольной системе координат , то

. (8.10)

Градиентом скалярного поля в точке M называется вектор

.

Из равенства (8.10) следует, что

, (8.11)

откуда , т.к. . Здесь  угол между векторами l ₀ и в точке M.

Очевидно, что принимает наибольшее значение , т.е. в направлении в данной точке. Иначе говоря, вектор в данной точке указывает направление наибольшего роста поля u (функции u) в этой точке, а есть скорость роста функции u в этом направлении.

Пример 1. Найти частные производные функции .

▲ Считая функцию u функцией только одной переменной x, а переменные y и x рассматривая как постоянные (см. формулу (8.3)), находим . Аналогично, считая u функцией только y, а затем только z, получаем . ▼

Пример 2. Найти полное приращение и полный дифференциал функции в точке . Вычислить приближенное значение функции в точке , исходя из значения функции в точке и, заменив приращение функции при переходе от точки к точке дифференциалом. Вычислить абсолютную погрешность, которая получается при замене полного приращения функции ее полным дифференциалом.

▲ Найдем полное приращение и полный дифференциал данной функции

в некоторой точке при произвольных значениях и . По определению (8.5)

.

После преобразований получим

.

Согласно определению, выражение , линейное относительно и , есть полный дифференциал .

Абсолютная погрешность, которая получается при замене полного приращения ее полным дифференциалом .

Найдем теперь полное приращение , полный дифференциал и абсолютную погрешность при заданных числовых значениях. При и , имеем

,

,

,

.

Вычислим приближенно значение функции в точке . Находим значение данной функции в точке .

Значения и найдены выше. Найдем частные производные данной функции: . Тогда

;

.

Воспользовавшись теперь формулой (8.7), получим

. ▼

Пример 3. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке, для которой .

▲ Прежде всего, определим аппликату точки касания из условия, что точка лежит на поверхности. Подставив в данное уравнение поверхности , получим . Следовательно, точкой касания является точка . Перепишем уравнение в виде . Находим частные производные и их значения в точке :

;

.

Подставив найденные значения частных производных и координаты точки в уравнения (8.8) и (8.9), получим уравнение касательной плоскости

, или ,

и уравнения нормали . ▼

Пример 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

в области, ограниченной линиями , .

▲ Находим критическую точку из следующей системы:

откуда . Получили точку , в которой .

Исследуем данную функцию на границе области.

На прямой линии имеем , и задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на отрезке 

Находим . Получили точку локального минимума , в которой .

На концах отрезка .

Аналогично на прямой линии имеем:

, , т.е.  точка локального минимума, в которой . В точке .

На отрезке прямой имеем, исключив y из z в соответствии с уравнениями , , отсюда находим критическую точку , в которой .

Сравнивая все полученные значения z, заключаем, что достигается в точках,  а  в критической точке . ▼

Пример 5. Найти производную функции в точке по направлению от точки A к .

▲ Частные производные функции u в точке A:

.

Единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором равен

.

Тогда по формуле (8.10) получим . ▼

Пример 6. Найти градиент скалярного поля в точке .

▲ Согласно определению градиента, имеем

. ▼

Вопросы для самопроверки

1. Что называется функцией двух переменных, ее областью определения? Дайте геометрическое истолкование этих понятий.

2. Что называется функцией трех переменных, ее областью определений? Как можно геометрически истолковать область определения функции трех переменных?

3. Что называется поверхностью уровня и линией уровня? Какие поверхности являются поверхностями уровня функции ? Постройте линии уровня функции .

4. Что называется пределом функции двух переменных в точке? В каком случае эта функция называется непрерывной в точке, в области?

5. Что такое полное приращение функции в точке ?

6. Выразите приращение функции в точке через приращения аргументов?

7. Что называется точкой разрыва функции двух переменных?

8. Что называется частным приращением функции в данной точке? Как получить частное приращение функции из ее полного приращения? Запишите частные приращения функции в точке .

9. Как определяются частные производные? Сформулируйте правила нахождения частных производных функции нескольких переменных. В чем состоит геометрический смысл частных производных функции двух переменных?

10. Когда функция называется дифференцируемой в данной точке? Что называется полным дифференциалом этой функции в данной точке? В чем состоит правило применения полного дифференциала для вычисления приближенного значения функции, близкого к известному значению?

11. В чем состоит геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных?

12. Напишите формулу вычисления полной производной сложной функции , где . Как записать эту формулу в случае ?

13. Дайте определение частных производных высших порядков. Сформулируйте теорему о равенстве смешанных частных производных функций двух переменных.

14. Что называется производной функции в данной точке по направлению вектора l? Напишите формулу ее вычисления.

15. Что называется градиентом скалярного поля в данной точке? Как выражается производная по направлению через градиент и единичный вектор? Сформулируйте известные вам свойства градиента.

16. Что называется максимумом (минимумом) функции двух переменных? Сформулируйте необходимые и достаточные условия экстремума функции двух переменных.

17. Сформулируйте правила нахождения экстремумов функции двух переменных.

18. Выведите правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой области.

После изучения темы ”Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных“ выполните контрольную работу 8.

Контрольная работа 9

Общая схема построения интегралов

Теория поля

Литература

1, гл. XXVI-XXVIII; 2, т. 2, гл. 14, 15; 3, гл. XII; 4, гл. 13; [5], ч. II, гл. 1, 2; [6], 13-15.

Основные теоретические сведения

1. Если область G, правильная относительно оси Oy (см. “Неопределенный и определенный интеграл, п.6”), проектируется на ось Ox в отрезок , то ее граница разбивается на две линии: нижнюю границу области, задаваемую уравнением , и верхнюю, задаваемую уравнением . Тогда область G определяется системой неравенств

а двойной интеграл вычисляется по правилу (внутреннее интегрирование ведется по переменной y, а внешнее – по переменной x)

. (9.1)

Если область G, правильная относительно оси Ox, проектируется на ось Oy в отрезок , то ее граница разбивается на две линии: левую границу области, задаваемую уравнением , и правую, задаваемую уравнением . В этом случае область G определяется системой неравенств

а двойной интеграл вычисляется по правилу (внутреннее интегрирование ведется по переменной x, а внешнее – по переменной y)

. (9.2)

Выражения, стоящие в правых частях равенств (9.1), (9.2), называются повторными (или двукратными) интегралами. Переход от равенств (9.1) к (9.2) и обратно называется изменением порядка интегрирования.

2. Пусть в двойном интеграле прямоугольные координаты x, y преобразуются к новым (криволинейным) координатам u, v, которые связаны с x, y соотношениями

. (9.3)

Если между областями G и , лежащими в плоскостях и , установлено соотношениями (9.3) взаимно однозначное отображение, причем функции (9.3) имеют непрерывные частные производные первого порядка в области и якобиан преобразования в области не обращается в нуль, т. е.

,

то имеет место следующая формула замены переменных в двойном интеграле:

, (9.4)

где выражение называется элементом площади в криволинейных координатах.

В полярных координатах формулы (9.3) имеют вид

. (9.5)

Формулы (9.5) связывают прямоугольные координаты x, y с полярными координатами при условии, что полюс помещен в начало координат и полярная ось направлена вдоль оси Ox. В этом случае якобиан преобразования . Следовательно, , и поэтому формула (9.4) принимает вид

. (9.6)

3. При вычислении тройных интегралов особую роль играет понятие правильной трехмерной области, которое вводится по аналогии с правильной двумерной областью. Область Ω, ограниченная снизу и сверху однозначными и непрерывными поверхностями ,  правильная относительно оси Oz. Она обладает следующими свойствами:

1) всякая прямая, параллельная оси Oz и проведенная через внутреннюю точку области Ω (т. е. не лежащую на границе области), пересекает границу области ровно в двух точках;

2) проекция G области Ω на плоскость Oxy представляет собой правильную область относительно оси Ox или оси Ox.

Для правильной области Ω относительно оси Oxy справедливы неравенства

и следующая формула для вычисления тройного интеграла:

. (9.7)

Таким образом, при вычислении тройного интеграла в случае правильной простейшей области Ω сначала интегрируют функцию по одной из переменных (например, z) при условии, что оставшиеся две переменные принимают любые постоянные значения в области интегрирования. Затем результат интегрируют по второй переменной (например, y) при любом постоянном значении третьей переменной в Ω и, наконец, выполняют интегрирование по третьей переменной (например, x) в максимальном диапазоне ее изменения в области Ω.

4. Пусть в тройном интеграле прямоугольные координаты x, y, z преобразуются к новым координатам u, v, w, которые связаны с x, y, z соотношениями

, (9.8)

которые однозначно разрешимы относительно u, v, w:

. (9.9)

Если функции (9.8) имеют в области (  область в пространстве , в которую отображается область Ω пространства с помощью формул (9.9)) непрерывные частные производные 1-го порядка и якобиан преобразования

в области не обращается в нуль, то ограниченная замкнутая область Ω пространства взаимно однозначно отображается на область пространства и для тройного интеграла имеет место следующая формула замены переменных:

. (9.10)

В цилиндрических координатах имеем:

(9.11)

В сферических координатах получаем:

(9.12)

5. Вычисление криволинейного интеграла второго рода (по координатам) от векторной функции , определенной на кривой l, сводится к одной из приведенных ниже формул.

1) Если кривая AB задана уравнением и при перемещении из точки A в точку B x меняется от a до b, то

. (9.13)

2) Если кривая AB задана уравнением и при перемещении из точки A в точку B y изменяется от c до d, то

. (9.14)

3) Если кривая AB задана параметрическими уравнениями , и при перемещении из точки A в точку B параметр t меняется от значения  до , то

. (9.15)

Вместо криволинейного интеграла по замкнутому контуру можно вычислять двойной интеграл, если воспользоваться формулой Грина

.

Если под знаком криволинейного интеграла стоит полный дифференциал, т. е. , то такой интеграл не зависит от пути интегрирования и его можно вычислить по любому пути, но лучше всего этот интеграл вычислять со звеньями, параллельными осям координат

6. Вычисление поверхностного интеграла второго рода от векторной функции по поверхности S сводится к вычислению двойного интеграла:

, (9.16)

где область G является проекцией поверхности S на плоскость Oxy; ; поверхность S задается функцией . В двойном интеграле переменную z следует заменить . В выражении для n знак «+» или «» ставится в зависимости от выбранной ориентации (стороны) поверхности S.

7. В общем случае полем величины  называется область  трехмерного пространства, с каждой точкой которого в каждый момент времени связано определенное значение . Если величина  скалярная (температура, давление и т. д.), то поле называется скалярным. Если  есть вектор (сила, скорость и т. д.), то соответствующее поле называется векторным.

Векторное поле характеризуется скалярной величиной  дивергенцией

(9.17)

и векторной величиной – ротором:

, (9.18)

где частные производные вычислены в точке M.

Слово «дивергенция» означает «расходимость». Дивергенция характеризует плотность источников данного векторного поля в рассматриваемой точке. По знаку дивергенции можно судить о наличии источника или стока векторного поля в рассматриваемой точке M. Так, если , то в точке M – источник, а если , – сток. Если же , то источников и стоков в точке M нет.

Ротор характеризует завихренность поля a в данной точке.

Векторное поле называется соленоидальным в области , если его дивергенция равна нулю в каждой точке области. Так как характеризует плотность источников поля a, то в той области, где поле a соленоидально, нет источников этого поля. Векторное поле называется безвихревым в области , если в каждой ее точке . Векторное поле называется потенциальным в области , если его можно представить в этой области как градиент некоторого скалярного поля : .

Ротор любого потенциального поля равен нулю. Поэтому говорят, что потенциальное поле является безвихревым.

8. Потоком векторного поля через поверхность S в сторону единичного вектора нормали поверхности S называется поверхностный интеграл второго рода (скаляр) .

Если взять другую сторону поверхности (изменить ориентацию), то вектор n ₀ изменит направление на противоположное; поэтому скалярное произведение , а, значит, и поток (поверхностный интеграл ) изменит знак.

Если a  скорость движущейся жидкости, то  представляет собой количество жидкости, протекающей через поверхность S в заданную сторону в единицу времени. Эта величина называется в гидродинамике потоком жидкости через поверхность S. Поэтому и в случае произвольного векторного поля интеграл  называется потоком векторного поля через поверхность S.

Формула ОстроградскогоГаусса устанавливает связь между потоком вектора a через замкнутую поверхность S в направлении внешней нормали и дивергенцией этого вектор

, (9.19)

где   объем, ограниченный поверхностью S. Чтобы поток был отличен от нуля, внутри области  должны быть источники (или стоки) поля. Из формулы ОстроградскогоГаусса следует, что тогда и будет отлична от нуля. Таким образом, характеризует источники поля. Само векторное поле как бы расходится от источников. Отсюда и происходит название «расходимость» или «дивергенция».

9. Циркуляцией векторного поля по замкнутой линии l в заданном направлении называется криволинейный интеграл

, (9.20)

где .

Если взять другое направление обхода кривой (изменить ориентацию), то вектор изменит направление на противоположное, поэтому скалярное произведение , а, значит, и циркуляция (криволинейный интеграл (9.20)) изменит знак.

Если a  вектор силы, то циркуляция Ц представляет собой работу силового векторного поля вдоль кривой l в заданном направлении.

Формула Стокса устанавливает связь между циркуляцией вектора a вдоль любого замкнутого контура l и потоком ротора этого вектора через поверхность S, ограниченную упомянутым контуром

. (9.21)

Направление нормали n должно быть согласовано с направлением обхода контура l.

Чтобы циркуляция была отлична от нуля для малого контура, окружающего некоторую выбранную точку поверхности, поле a должно поворачиваться (иметь завихрение) вблизи этой точки. Из формулы Стокса следует, что тогда и вблизи этой точки будет отличен от нуля. Таким образом, rot характеризует завихрение поля в точке M. Отсюда и происходит название «вихрь» или «ротор».

Пример 1. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле

.