- •Российский государственный гидрометеорологический университет Факультет заочного обучения
- •195196, Г.Санкт-Петербург, Малоохтинский пр. Д.98, тел.444-41-32 фзо
- •Контрольная работа №_6,7,8,9______
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения Контрольная работа 6
- •Теория рядов Контрольная работа 7
- •Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Контрольная работа 8
- •Общая схема построения интегралов. Теория поля Контрольная работа 9
Теория рядов Контрольная работа 7
Задание . Исследовать сходимость числового ряда .
Решение.
Для исследования данного ряда применим предельный признак сравнения. Выберем для исходного ряда эквивалентный
.
Ряд является сходящимся обобщенно-гармоническим рядом, так как степень .
По предельному признаку получаем
.
В результате применения предельного признака получили число 1, отличное от 0 и не стремящееся к бесконечности. Следовательно, ряды и действительно являются эквивалентными и сходящимися.
Ряд сходится по предельному признаку.
Ответ: ряд сходится.
Задание II. Найти область сходимости степенного ряда .
Решение.
Применим признак Даламбера:
.
Отсюда следует, что при , ряд сходится абсолютно, при ряд расходится. Таким образом, интервал – интервал сходимости данного ряда. Исследуем на сходимость в граничных точках этого интервала, т.е. в точках и .
При получим ряд
.
Этот ряд является обобщенно-гармоническим рядом с . Такой ряд расходится.
При получим знакочередующийся ряд
.
Выясним, сходится ли полученный знакочередующийся ряд, используя признак Лейбница.
Очевидно, неравенство
выполняется для всех
Кроме того,
.
Итак, для знакочередующегося ряда выполнены оба условия признака Лейбница. Значит, данный ряд сходится. Этот ряд является условно сходящимся, так как ряд , составленный из абсолютных величин данного ряда расходится.
Окончательно получим, область сходимости исходного ряда – промежуток .
Ответ: область сходимости ряда – промежуток .
Задание III. Разложить данную функцию в ряд Фурье в интервале .
Решение.
Тригонометрический ряд Фурье имеет вид:
,
где коэффициенты Фурье рассчитываются по следующим формулам:
; ;
.
Найдем эти коэффициенты:
;
;
.
Запишем полученное разложение:
.
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Контрольная работа 8
Задание . Дана функция . Показать, что .
Решение.
Найдем частные производные:
;
.
Подставим найденные производные в тождество:
;
;
.
Тождество выполняется.
Задание II. Дана функция и две точки и . Требуется:
1) вычислить приближенное значение функции в точке B, исходя из значения функции в точке A и заменив приращение функции при переходе от точки A к точке B дифференциалом;
2) вычислить абсолютную погрешность, которая получается при замене полного приращения функции ее полным дифференциалом;
3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности в точке .
Решение.
1) Приближенное значение z1 в точке В найдём по формуле линеаризации:
z1(B) = z0 + dz, где z0 = z(1, 2) = .
Найдём приращения аргументов
Δ x = x – x0 = 1,08 – 1 = 0,08; Δ y = y – y0 = 1,94 – 2 = – 0,06.
Найдём значения частных производных функции в точке А:
; .
Найдём значение дифференциала
.
Приближённое значение функции в точке В равно .
2) Абсолютная погрешность вычисления равна:
,
где
3) Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке имеет вид:
.
Определим значения частных производных первого порядка в точке .
; ;
; .
Подставим полученные значения в формулу. Уравнение касательной плоскости:
;
;
.
Задание III. Найти наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области , заданной системой неравенств . Сделать чертеж.
Решение.
Построим область .
1. Исследуем функцию на локальный экстремум внутри области (заштрихованная область на чертеже):
Получили координаты стационарной точки , которая лежит в пределах области .
При поиске наибольшего наименьшего значений функции в области необязательно находить характер точек экстремума, т.е. достаточные условия можно опускать. Надо найти значения функции во всех стационарных точках и среди них выбирать наибольшее и наименьшее.
.
2. Исследуем функцию на границе области .
а) Уравнение отрезка – , . Подставляем это уравнение в функцию :
.
Дифференцируем
,
отсюда находим
.
Получили координаты точки . Вычислим значение функции в этой точке:
.
б) Уравнение прямой – , . Подставляем это уравнение в функцию :
.
Дифференцируем
,
отсюда находим
.
Полученное значение .
в) Уравнение прямой – , . Подставляем это уравнение в функцию :
.
Дифференцируем
,
отсюда находим
.
Рассмотрим точку :
.
г) Уравнение прямой – , . Подставляем это уравнение в функцию :
.
Дифференцируем
,
отсюда находим
.
Рассмотрим точку :
.
3. Сравнивая полученные величины ; ; ; , приходим к выводу: наибольшее значение функции в области , т.е. , а наименьшее значение, т.е. .
Задание IV. Дана функция и точки и .
Вычислить:
1) производную этой функции в точке по направлению вектора ;
2) .
Решение.
2) Градиент функции в точке вычисляется по формуле:
.
Определим значения частных производных первого порядка в точке :
;
;
;
;
;
.
Тогда градиент функции будет иметь вид:
.
1) Производную по направлению в заданной точке по направлению вектора будем искать по формуле:
.
Найдем координаты вектора и его направляющие косинусы, учитывая координаты точек и :
, ;
;
;
.
Следовательно, производная по направлению
.