8. Системы дифференциальных уравнений

Введем основные понятия, связанные с системами обыкновенных дифференциальных уравнений.

Нормальной системой n дифференциальных уравнений первого порядка называется совокупность уравнений вида

dy1

= f (x; y ; y ; ; y ),

dx

1

1

2

n

dy2

= f2 (x; y1; y2 ;

; yn ),

(1)

dx

. . .

dyn

=

f

n

(x; y ;

y

;

; y

n

),

1

2

где функции

dx

определены в некоторой (n +1) - мерной

fk (x; y1; y2 ; ; yn ) (k =1, 2, , n)

области Ω;

yk

= yk (x) – искомые функции независимой переменной x.

Порядком нормальной системы называется число входящий в нее уравнений.

Система (1) по определению является системой n -го порядка.

Решением системы (1) в интервале (a; b) называется совокупность

y1 =ϕ1(x), y2

=ϕ2 (x), , yn

=ϕn (x) ,

(2)

функций непрерывно дифференцируемых в интервале (a; b) и обращающих вместе со

своими производными каждое уравнение данной системы в тождество.

ϕk′(x) ≡ fk (x; ϕ1(x); ϕ2 (x); ; ϕn (x))(k =1, 2, , n) x (a; b) .

Задача Коши для системы (1) состоит в следующем: среди всех решений системы

найти такое решение

= yn (x) ,

(3)

y1 = y1(x), y2

= y2 (x), , yn

котороеудовлетворяет условиям

y

= y0 , y

2

= y0 , , y

n

= y0

при x

= x ,

(4)

1

1

2

n

0

где y0

, y0 , ,

y0

– заданные числа,

называемые начальными значениями искомых

1

2

n

функций, или начальными значениями решения (3).

Число

x0

называется

начальным

значением

независимой

переменной x;

числа

x

, y0

, y0 , ,

y0 ,

вместе взятые, –

начальными данными решения

(3), а условия

(4) –

0

1

2

n

начальными условиями этого решения.

Начальные условия можно записать так:

y

k

(x )

= y0

(k =1, 2, , n) .

(5)

0

k

Имеет место

Теорема (о существовании и единственности решения задачи Коши). Если функции

f	k	(k =1, 2, , n) непрерывны	в окрестности точки (x			; y0	; y0	; ; y0 ) Ω и имеют непре-
					0	1	2	n
рывные частные производные				∂fk	(k =1, 2, , n) , то всегда найдется некоторый интеграл с
				∂yk

центром x0 , в котором существует единственное решение системы (1) удовлетворяющее начальным условиям (4).

49

Общим решением системы (1) называется совокупность n функций

y		=ϕ (x; C		; C			; ; C		);
1		1	1			2		n
y2		=ϕ2 (x; C1; C2						; ; Cn );			(6)
. . . . . . . . . .
y	n	=ϕ	(x; C		;	C		; ; C		),
		n	1			2		n

Эти функции зависят от n произвольных постоянных величин C1, C2 , , Cn и удовле-

творяют следующим условиям:

1) функции ϕi , (i =1, 2, , n) определены в некоторой области изменения переменных x, C1, C2 , , Cn и имеют непрерывные частные производные ∂∂ϕxi ;

2)совокупность функций ϕi является решением системы (1) при любых значениях Ci ,

3)для любых начальных условий (4) из области Ω, где выполняются условия теоремы Коши, всегда найдутся такие значения произвольных постоянных C10 , C20 , , Cn0 , что

будут справедливы равенства yi0 =ϕi (x0 , C10 , C20 , , Cn0 ) .

Частным решением системы (1) называется решение, полученное из общего решения при некоторых частных (фиксированных) значениях произвольных постоянных.

Одним из методов решения системы (1) является сведение ее к решению одного или нескольких дифференциальных уравнений высших порядков (метод исключения).

Все сказанное выше верно и для частного случая системы (1) – системы линейных дифференциальных уравнений, которая имеет вид

y′	= a	(x)y	+a (x)y		2	+ +a	(x)y	n	+ f (x),
1	11	1	12			1n			1
y2′	= a21(x)y1 +a22			(x)y2		+ +a2n (x)yn + f2				(x),	(7)
. . . . . . . . . . . . . . . .
				(x)y2 + +ann (x)yn + fn (x),
yn′ = an1(x)y1 +an2
где функции aij (x), fi (x) (i, j =1, 2, , n)				обычно предполагаются непрерывными в некото-
ром интервале (a; b) . Если все функции				fi (x) ≡ 0 , то система (7) называется однородной, в

противном случае – неоднородной. Если aij (x) = const , то система называется линейной с

постоянными коэффициентами. Существуют методы, позволяющие проинтегрировать такую систему. Рассмотрим два из них.

I. Характеристическое уравнение

a11 −λ	a12		a1n
a21	a22 −λ		a2n	= 0 ,	(8)
an1	an2	ann −λ

где aij = const . Раскрывая определитель, приходим к алгебраическому уравнению степени n

относительно λ с вещественными постоянными коэффициентами. Это уравнение имеет n корней (с учетом их кратности). При этом возможны следующие случаи.

1. Корни характеристического уравнения (8) – вещественные и различные. Обозначим

их через λ1, λ2 , , λn . Известно, что каждому корню λi (i =1, 2, , n)							соответствует частное
решение вида
y(i) =α(i)eλi x , y(i) =α(i)eλi x , , y(i)					=α(i)eλi x	,	(9)
1	1	2	2	n	n

50

где коэффициенты α1(i) , α2(i) , , αn(i)				определяются из			системы			линейных алгебраических
уравнений:
		(i)			(i)				(i)	= 0,
(a11	−λi )α1		+	a12α2		+ +		a1nαn
	a21α1(i) +(a22 −λi )α2(i) + +							a2nα2((i) = 0,			(10)
. . . . . . . . . . . . . .
	a	α(i) +		a	α(i)	+ +(a	nn	−λ )α(i) = 0.
		n1 1			n2 2			i	n

Все частные решения вида (9) образуют фундаментальную систему решений.

Общее решение однородной системы с постоянными коэффициентами, получаемой из системы (7) при ai j = const, fi (x) ≡ 0, представляет собой следующую совокупность функций,

являющихся линейной комбинацией решений (9):

y1	= ∑n Ci y1(i) =C1α1(1)eλ1x +C2α1(2)eλ2 x + +Cnα1(n)eλn x ,
	i=1
	n	=C1α21(1)eλ1x +C2α2(2)eλ2 x + +Cnα2(n)eλn x ,
y2	= ∑Ci y2(i)		(11)
	i=1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	n
yn	= ∑Ci yn(i)	=C1αn(1)eλ1x +C2αn(2)eλ2 x + +Cnαn(n)eλn x ,
	i=1

где Ci – произвольные постоянные величины.

y′

=

3y −

y

2

+

y

,

1

1

3

Пример 9.1. Найти общее решение системы y2′ = − y1 +5y2 −

y3 ,

y1 −

y2 +

3y3.

y3′ =

▲ Характеристическое уравнение данной системы

3 −λ

−1

1

(1.1)

−1

5 −λ

−1

= 0

1

−1

3 −λ

имеет различные вещественные корни: λ1 = 2, λ2 =3, λ3 = 6 . Для каждого из них составляем систему вида (10):

α1(1)

−

α2(1)

+α3(1)

= 0,

− α2(2) +α3(2)

= 0,

−

3α1(3)

−α2(3)

+ α3`(3)

= 0,

−ε3(1)

= 0,

= 0,

= 0,

(1.2)

−α1(1) +3α2(1)

−α1(2) +2α2(2) −α3(2)

− α1(3) −α2(3) − α3(3)

(1)

−

(1)

(1)

= 0,

(2)

(2)

= 0,

(3)

(3)

(3)

= 0.

α1

α2

+α3

α1

−α2

α1

−α2

−3α3

Так как определители этих систем, согласно формуле (1.1), равны нулю, то каждая из них имеет бесчисленное множество решений. В данном случае можно выбрать те решения,

для которых α1(1) =α1(2) =α1(3) =1.

Тогда получим следующие решения систем (1.2):

если λ1 = 2 , то α1(1) =1, α2(1) = 0, α3(1) = −1; если λ2 =3, то α1(2) =1, α2(2) =1, α3(2) =1;

если λ3 = 6 , то α1(3) =1, α2(3) = −2, α3(3) =1.

Это приводит к следующей фундаментальной системе решений:

y1(1) = e2x , y2(1) = 0, y3(1) = −e2x ;

51

y(2)

= e3x , y(2)

= e3x , y(2)

= e3x ;

1

2

3

y(3)

= e6x , y(3)

= −2e6x , y

(3) = e6x .

1

2

3

Линейная комбинация этих решений с учетом совокупности функций (11) дает общее

2x

3x

6x

,

y1 = C1e

+C2e

+ C3e

решение исходной системы: y2

=

C2e3x

−2C3e6x ,

▼

y

3

= −C e2x

+C

e3x

+ C

e6x .

1

2

3

2. Корни λ1, λ2 , , λn характеристического уравнения (8) – различные, но среди них имеются комплексные. Известно, что в этом случае каждой паре комплексно-сопряженных

корней λ1,2 =α ±iβ	характеристического уравнения (8)								соответствует пара частных реше-
ний:				y(j1)			=α(j1)e(α+iβ) x ,				(12)
				y(j		2)	=α(j	2)e(α−iβ) x ,			(13)
где j =1, 2, , n ; коэффициенты α(j1) , α(j					2)		определяются из системы (10) соответственно для
корней λ = λ =α +iβ		и λ = λ	2	=α −iβ .		Коэффициенты			α(1)	, α(2)	оказываются, как правило,
1									j	j

комплексными числами, а соответствующие им функции y(j1) , y(j2) – комплексными функциями. Выделяя мнимую и вещественную части функций y(j1) и y(j2) и пользуясь тем, что для линейных

уравнений с вещественными коэффициентами и мнимая и вещественная части решения являются решениями, получаем пару частных вещественных решений однородной системы.

Пример 9.2. Найти общее решение системы

y′

= −7 y + y

,

(2.1)

1

1

2

y2′ = −2y1 −5y2.

▲ Характеристическое уравнение

−7 −λ

1

= λ2 +12λ +37 = 0

системы (2.1) имеет

−2

−5 −λ

корни λ1,2 = −6 ±i . Согласно формулам (10) , получаем:

(−7

−λ)α1 +

α2 = 0,

−2α1

+(−5 −λ)α2 = 0.

Корню λ = −6 +i

соответствует система для вычисления α(1)

, α(1)

:

1

1

2

(1)

(1)

+

(1)

= 0,

(1)

+

(1)

=

0,

=1,

(−7

−λ1)α1

α2

(−1

−i)α1

α2

α1

(1)

(1)

(1)

(1)

+(−5

= 0

+

=

0

(1)

=1+i.

−2α1

−λ1)α2

−2α1

(1−i)α2

α2

Согласно формуле (12), получаем частное решение:

y(1)	=α(1)e(α+iβ) x = e(α+iβ) x = e(−6−i) x = e−6x (cos x +i sin x) ,
1	1
y2(1) =α2(1)e(α+iβ) x = (1+i)e9−6+i) x = e−6x (cos x −sin x +i(cos x +sin x)).		(2.2)

(Здесь мы воспользовались формулой Эйлера: r(α+iβ) x = eαx (cos βx +i sin βx) .) Взяв в от-

дельности вещественные и мнимые части в решении (2.2), получим два решения в вещественной форме, образующих фундаментальную систему решений системы (2.1):

y(1)

= e−6x cos x, y(1)

= e−6x (cos x −sin x),

1

2

(2.3)

(1)

= e−6x sin x,

(1)

= e−6x (cos x +sin x).

y

y

1

2

Тогда общее решение системы (2.1) имеет вид:

(1)

(1)

= e

−6x

(C1 cos x +C2 sin x),

y1 =C1 y1

+C2 y1

(2.4)

(1)

(1)

−6x

(C1(cos x −sin x) +C2 (cos x +sin x)).

=C1 y2

+C2 y2

= e

y2

52

Заметим, что использование второго корня λ2 = −6 −i излишне, так как получим те же

решения (2.1) – (2.4). Этот факт верен для любых систем однородных линейных дифференциальных уравнений. ▼

3. Среди корней λ1, λ2 , , λn характеристического уравнения (8) имеются кратные. В

этом случае поступаем следующим образом. Пусть λ – корень кратности k характеристического уравнения (8).

Тогда решение системы (7) (для которой aij = const, fi (x) ≡ 0 (i, j =1, 2, , n) ), соответствующее этому k -кратному корню, ищем в виде:

y = (α	10	+α	11	x +α	12	x2 + +α	1k −1	xk −1)eλx ,
1
y2 = (α20 +α21x +α22 x2 + +α2k −1xk −1)eλx ,
. . . . . . . .						. . . . . . . . .			(14)
yn = (αn0 +αn1x +αn2 x2 + +αnk −1xk −1)eλx .
Числа α1 j (i =1, 2, , n; j = 0,1, , k −1) находим так: подставляем функции yi									из (14) и

их производные yi′ в исходную систему (7) при указанных ограничениях на aij и fi (x) , а за-

тем (после сокращения на на eλx ≠ 0 ) приравниваем коэффициенты при одинаковых степе-

нях x в левых и правых частях полученных равенств. В результате проведенной процедуры из всех чисел λi k всегда остаются в качестве свободных параметров, которые принимаются

за произвольные постоянные величины.

Решения из фундаментальной системы, соответствующие простым (некратным) корням характеристического уравнения (8), определяются так, как было показано в случаях 1 и 2.

Пример 9.3. Найти общее решение системы

y′

=

y

2

+ y

,

1

3

y2′ = y1 + y2 − y3 ,

(3.1)

y2 + y3.

▲ Характеристическое уравнение

y3′ =

−λ

1

1

= −λ(λ −1)2

(3.2)

1

1−λ

−1

= 0

0

1

1−λ

системы (3.1) имеет двукратный λ1,2 =1 и однократный λ3

= 0 корни. Согласно формуле (14),

двукратному корню λ1,2

=1 соответствует решение вида

y(1,2) =

(α

10

+α

11

x)ex ,

y(1,2)

=

(α

20

+α

21

x)ex ,

y(1,2) =

(α

30

+α

31

x)ex .

(3.3)

1

2

3

Коэффициенты αij (i =1, 2, 3, j = 0,1)

определяются из системы, полученной подстанов-

кой выражений для y1, y2 , y3 , y1′, y2′, y3′

в исходную систему (3.1).

После сокращения на ex ≠ 0 имеем

α11 +α10 =α20 +α30 ,

=α21 +α31,

α11

α21 +α20 =α10 +α20 −α30 ,

`=α11 +α21 −α31,

α21

=α21 +α31,

α31

+α30 =α20 +α30.

α31

53

из этой системы находим, что α20						=α31 =α11, α30					=α10 , α21 = 0. Числа α10иα11											можно считать
произвольными параметрами. Обозначим их										черезC1 иC2 соответственно.												Тогда решение
(3.3) запишется в виде
		y(1,2) =	(C +C				x)ex , y(1,2)			=C ex		, y(1,2)			= (C +C			x)ex .							(3.4)
		1			1	2			2		1	3				1	2
Корню λ3 = 0 , согласно формуле (9), соответствует решение
	y(3) =α(3)e0x		=α(3) , y(3) =α						(3)e0x		=α(3) , y			(3)	=α(3)e0x		=α(3)			,					(3.5)
	1	1			1			2	2		2			3		3			3
																			(3)			(3)	= 0,
																		α2			+α3
где числа α(3)	, α(3) ,	α(3) определяются из системы (см. систему (10)): α(3)																			+α(3)		−α	(3) =	0,
1	2	3																	1			2		3
																			(3)			(3)	= 0.
																		α2			+α3
Ее решение:		α1(3) = 2C3 , α2(3)				= −C3 , α3(3) =C3 . Следовательно,												соответствующее корню
λ = 0 решение вида (3.5) исходной системы (3.1) имеет вид y(3)																	= 2C			, y(3)		= −C		, y(3)	=C	3	,
3																1			3		2		3	3
где C3 – произвольная постоянная величина.
Общее решение исходной системы записывается в виде
						(1,2)		(3)	= (C1 +C2 x)e				x	+2C3 ,
		y1 = y1						+ y1
		y2			= y2(1,2) + y2(3)				=C1ex −C3 ,							▼
		y		3	= y(1,2)			+ y(3)	= (C +C			x)ex +C				.
						3		3		1	2				3

Если система – неоднородная, то, зная общее решение вида (11) соответствующей однородной системе, можно найти общее решение неоднородной исходной системы методом

вариации произвольных постоянных величин C1, C2 , , Cn в решении (11). Доказано, что

общее решение неоднородной системы всегда можно записать в виде (11).

Для этого заменяют произвольные постоянные величины C1, C2 , , Cn соответственно функциями C1(x), C2 (x), , Cn (x) (эти функции включают в себя аддитивно произвольные постоянные C1, C2 , , Cn ). Эти функции определяются с помощью данной неоднородной системы: в нее подставляют y1, y2 , , yn , y1′, y2′, , yn′ , получают линейную систему n алгебраических уравнений относительно C1′(x), C2′(x), , Cn′(x) , решение которой всегда существует и

представимо в виде

C1′(x) =ϕ1(x), C2′(x) =ϕ2 (x), , Cn′(x) =ϕn (x) ,

где ϕi (x) (i =1, 2, , n) – известные функции.

Интегрируя эти равенства,	находим Ci (x) = ∫ϕi (x)dx +Ci , где Ci						– произвольные по-
стоянные. Подставляя в решение (11) вместоCi					= const найденные значения Ci (x) , получаем
общее решение неоднородной системы уравнений.
Пример 9.4. Решить задачу Коши
y′ =	4y	−5y		+4x +1, y (0) =1,			(4.1)
1	1		2			1
y2′ =	y1 −2y2 + x,				y2 (0) = 2.
▲ Прежде всего, найдем общее решение соответствующей однородной системы
		y′		= 4y	−5y	,	(4.2)
			1	1	2
		y2′ = y1 −2y2.

Корни ее характеристического уравнения: λ1 = −1, λ2 =3, а общее решение ищем в виде (см. случай 1):

54

y =C e−x +5C

e3x ,

1

1

2

(4.3)

y

=C e−x +C

e3x .

2

1

2

Считаем, что в решении (4.3) C1 иC2 являются неизвестными функциями C1(x) иC2 (x)

(в этом суть метода вариации C1(x) иC2 (x) !).

Потребуем, чтобы y1 и y2

были решением исходной системы (4.1). Находим:

y1′ =C1′(x)e−x −C1(x)e−x +5C2′(x)e3x +15C2 (x)e3x ,

y2′ =C1′(x)e−x −C1(x)e−x +C2′(x)e2 (x)e3x .

Подставляем выражения

для y1, y2 , y1′,

y2′

в систему (4.1). Приводя подобные члены,

получаем систему:

′

(x)e

−x

′

3x

= 4x +1,

C1

+5C2 (x)e

′

′

(x)e

−x

(x)e

3x

= x,

C1

+ C2

откуда C1′(x) =

1

(x −1)ex , C2′(x) =

1

(3x +1)e−3x .

4

4

Проинтегрировав последние равенства, имеем:

(3x +2)e−3x

C (x) =

1

(x −2)ex +C , C

2

(x) = −

1

+C

2

.

4

1

1

12

Подставляя C1(x) иC2 (x)

в равенства (4.3) вместо C1 иC2 ,

получаем общее решение

неоднородной исходной системы (4.1):

e3x

y

=C e−x +5C

+

1

(x −2) −

5

(3x +2) ,

1

1

2

4

12

y2 =C1e−x +C2e3x + 14 (x −2) −121 (3x +2) .

Используя начальные условия, получаем систему для определения C1 иC2 :

1 =C1 +5C2 − 12 − 56 ,

2 =C1 +C2 − 12 − 16 ,

откуда C1 = 114 , C2 = −121 .

Таким образом, решением задачи Коши будет следующее частное решение:

y1 = 114 e−x −125 e3x + 14 (x −2) −125 (3x +2) ,

y2 = 114 e−x −121 e3x + 14 (x −2) −121 (3x +2) . ▼

4. Второй метод интегрирования системы (7) (метод исключения) состоит в следующем. При выполнении некоторых условий всегда можно исключить все неизвестные функ-

ции, кроме одной, например y1 , и получить для y1(x) одно неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (если в системе (7) aij = const ) порядка n. Решив его, найдем все остальные неизвестные функции y2 (x), y3 (x), , yn (x) с по-

мощью операции дифференцирования. Делается это следующим образом. Дифференцируем по x обе части первого уравнения системы (7) (считая aij = const ), затем вместо y1′, y2′, , yn′

подставляем из значения из системы (7). Получаем

′′	′	′	′	′						(15)
y1	= a11 y1	+a12 y2	+ +a1n yn + f1(x) = L2 (y1, y2 , , yn ) + F2 (x) ,
где L2 (y1, y2 , , yn )	обозначает известную линейную комбинацию с постоянными коэффи-
циентами функций y1, y2 , , yn , а F2 (x) – линейную комбинацию функций
			f1(x), f2 (x), , fn (x) и				′
							f1(x) .
Дифференцируя обе части уравнения (15)					по x ,		опять получаем неоднородное линей-
ное уравнение y1′′′= L3 (y1, y2 , , yn ) + F3 (x) .
Продолжая этот процесс, находим y(n) = L (y , y						2	, , y	n	) + F (x) .
			1	n	1				n

55

В езультате получаем систему n уравнений:

y1′ = a11 y1 +a12 y2 + +a1n yn + f1(x),

y1′′= L2 (y1,

y2 , , yn ) + F2 (x),

. . .

(16)

. . . . . . . . . .

y(n−1)

= L

(y

, y

2

, , y

n

) + F

−1

(x),

1

n−1

1

n

y(n) = L

(y

, y

2

, , y

n

) + F (x).

1

n

1

n

Первые n −1 уравнений системы (16) разрешаем относительно функций y1, y2 , , yn

(это, как правило, возможно).

′

′′

(n−1)

Очевидно, что эти функции выражаются через

x, y1,

:

y1,

y1, , y1

y2 =ϕ2 (x,

y1,

′

′′

(n−1)

),

y1,

y1,

, y1

y3 =ϕ3 (x,

y1,

′

′′

(n−1)

),

y1,

y1, , y1

(17)

. . . . . . . . . . .

yn =ϕn (x,

y1,

′

′′

(n−1)

).

y1,

y1,

, y1

Подставляя выражения для y2 , y3 , ,

yn

из системы (17) в последнее уравнение системы

(16), приходим к неоднородному линейному дифференциальному уравнению n-го порядка с

постоянными коэффициентами	(n)	= F(x, y1	′	′′	(n−1)	) . Общее решение			уравнения
	y1		, y1	, y1, , y1
определяется с помощью известных методов:
	y1 =ψ1(x, C1, C2 , , Cn ) .									(18)
Дифференцируя последнее выражение n −1 разпо x ,					находим производные		′	,	′′	(n−1)	,
							y1		y1, , y1

подставляем их в систему (17) и получаем вместе с функцией (18) общее решение исходной системы:

	y2	=ψ2 (x, C1, C2 , , Cn ),
	y3	=ψ3 (x, C1, C2 , , Cn ),	(19)
	. . . . . . . . .

yn =ψn (x, C1, C2 , , Cn ).

Для решения задачи Коши с учетом системы (18) – (19) и заданных начальных условий находим значения произвольных постоянных C1, C2 , , Cn и подставляем их в систему (18) –

(19).

Пример 9.5. Методом исключения найти общее решение системы
	′						x
y1 = 3y1 − y2 + y3 +e								,
											(5.1)
y2′ =				y1 + y2 +	y3 + x,
					4y3
y3′ = 4y1 − y2 +
и частное ее решение, удовлетворяющее начальным условиям:
y (0) =	17	, y	2	(0) = − 46	, y	(0)		=	77	.	(5.2)
1	50			25	3			100

▲ Дифференцируем по x первое уравнение системы (5.1) и подставляем вместо y1′, y2′, y3′ их

выражения из этой системы. В результате имеем

y1′′=3y1′− y2′ + y3′ +ex =3(3y1 − y2 + y3 +ex ) −(y1 + y2 + y3 − x) +44y1 − y2 +4y3ex =

=12y1 −5y2 +6y3 +4ex + x.

Дифференцируем y1′′ по x и опять заменяем y1′, y2′, y3′ их выражениями из системы

(5.1):

56

y1′′′=12y1′−5y2′ +6y3′ +4ex +1 =12(3y1 − y2 + y3 +ex ) −5(y1 + y2 + y3 − x) +6(4y1 − y2 +4y3 ) +4ex +1 =

=55y	−23y	2	+31y	3	+16ex +5x +1.
1
Следовательно, для данного случая система (16) имеет вид
					′		x
					y1 = 3y1 − y2 + y3 + e			,
											(5.3)
					y1′′= 12y1 − 5y2 + 6y3 +4ex + x,
						+31y3 +16e			x	+5x +1.
					y1′′′=55y1 −23y2
Из первых двух уравнений находим y2 и y3 :
					y2 = y1′′−6y1′+6y1 +2ex − x,						(5.4)
					y3 = y1′′−5y1′	+3y1 +ex − x.

Выражения для y2 и y3 подставляем в третье уравнение системы (5.3):

y1′′′=55y1 −23(y1′′−6y1′+6y1 +2ex − x) +31(y1′′−5y1′+3y1 +ex − x) +16ex +5x +1 =

=8y1′′−17 y1′+10y1 +ex −3x +1.

Получили неоднородное линейное уравнение третьего порядка с постоянными коэффициентами:

y1′′′−8y1′′+17 y1′−10y1 = ex −3x +1.	(5.5)
Решаем его известным методом. Составляем характеристическое уравнение

λ3 −8λ2 +17λ −10 = 0 ,

(5.6)

Корни уравнения: λ1 =1,λ2 = 2, λ3 =5 . Общее решение

y1 однородного уравнения, соответ-

ствующего уравнению (5.5), имеет вид y

=C ex

+C

e3x

+C

e5x .

1

1

2

3

Правая часть

уравнения

(5.5)

есть сумма

двух специальных функций вида

P (x)eax , P (x) : f (x)

= f (x)

+ f

2

(x), f (x) = ex , f

2

(x)

= −3x +1.

m

m

1

1

Для функции f (x) = ex

число a =1, т. е. совпадает с корнем λ =1, поэтому

k =1. Для

1

1

функции

f2 (x) = −3x +1 число a = 0 и его нет среди корней характеристического уравнения

(5.6), поэтому k = 0 .

Итак, частное решение yо1 уравнения (5.5) следует искать в виде yо1 = Axex + Bx +C , где

неизвестные числа A, B, C находят с помощью метода неопределенных коэффициентов. Определяем

(yо1)′, (yо1)′′, (yо1)′′′ и вместе с yо1 подставляем их в уравнение (5.5). Имеем:

(yо1)′ = Aex + Axex + B, (yо1)′′ = 2Aex + Axex , (yо1)′′′ =3Aex + Axex ,

3Aex + Axex −8(2Aex + Axex ) +17(Aex + Axex + B) −10(Axex + Bx +C) = ex −3x +1, 4Aex +17B −10Bx −10C = ex −3x +1, 4A =1, −10B = −2, 17B −10C = 0 ,

откуда A = 14 , B = 15 ,C = 1750 .

Таким образом, yо1 = 14 xex + 15 x + 1750 .

Общее решение уравнения (5.5) определяется формулой

y1 = yн1 + yо1 =C1ex +C2e2x +C3e5x + 14 xex + 15 x + 1750 .

Найдем производные y1′, y1′′ и подставим их в равенство (5.4):

y1′ =C1ex +2C2e2x +5C3e5x + 14 xex + 14 ex + 15 ,

y1′′=C1ex +4C2e2x +25C3e5x + 12 ex + 14 xex ,

57