Пособие по решению задач (1)

r

r

3

По определению:

ei

q

, Hi

q

, v qi Hiei ,

i 1

i

i

Hi – коэффициенты Ламе. Компоненты ускорения определяются следующим

образом

wi

1

d

v2

v2

,

Hi dt qi

2

qi

2

найдем скорость в данных координатах

e

ach u cos v

e

a sh u sin v e

z e

a sh u cos v e

u

u

x

y

z

x

a ch u sin v e

y

,

H

a

2

sh

2

u

cos

2

v

a

2

ch

2

u sin

2

v a

sh

2

u

cos

2

v

ch

2

u

sin

2

v

,

u

e

a ch u cos v e

a sh u sin v e

z e

a ch u sin v e

v

v

x

y

z

x

a sh u cos v e

y

,

H

a

2

ch

2

u sin

2

v a

2

sh

2

u

cos

2

v a

os

2

v

,

v

H

z

1.

Следовательно, выражение для скорости запишем, как

v a sh

2

u

cos

2

v

ch

2

u sin

2

v

u e

a

ch

2

u sin

2

v

sh

2

u

cos

2

v

v e

u

v

z e

,

z

модуль скорости равен

v

a

2

sh

2

u

sin

2

v

u

2

v

2

z

2

.

Найдем компоненты ускорения

21

	wu										1								d 1						a	2			sh	2	u sin						2	v u						2	v		2	z	2
								2						2										u
					a	sh			u		sin						v
																			dt 2
												1	a			2		sh		2		u sin				2		v u				2		2						2
												2																					v				z
										u
					1						d	1			a		2		sh		2		u	sin			2		v 2 u					1		a		2	u			2	v		2	2 sh u				ch u		.
		2					2																											2
a	sh		u		sin				v
											dt 2

a

d

2

2

2

2

wu

sh

u sin

v u

sh u ch u u

v

,

sh2 u

sin2 v

dt

wv			a
		sh2 u
				sin2 v

d		2		2			2		2
	sh		u sin		v v	sin v cos v u		v			,
dt

w z z.

Ответ:

v

a2

sh2

u

sin2

v

u2 v2

z2 ,

a

d

2

2

2

2

wu

sh

u sin

v u sh u ch u u

v

,

sh2

u

sin2

v

dt

a

d

2

2

2

2

wv

sh

2

u

sin

2

v

sh

u sin

v v

sin v cos v u

v

,

dt

w z z.

б) координаты вытянутого эллипсоида вращения u,v,

x ash u sin v cos ,

v sin ,

y ash u sin

z ach u cos v .

Найдем скорость в данных координатах:

22

e

ash u

sin v cos e

ash u sin v sin e

ach

u cos v e

u

u

x

y

z

ach u sin v cos e

x

ach u sin v sin e

y

ash u cos v e

z

,

H

u

a2

ch2 u sin2

v cos2

ch2

u sin2

v sin2

sh2

u cos2

v

a

sin2

v

sh2

u sin2

v

sh2

u cos2

v

a

sin2

v

sh2

u ,

ev

ash u

sin v cos ex ash u sin v sin ey

ach u cos v ez

v

ash u cos v cos ex

ash u cos v sin ey

ach u sin v ez ,

H

a

2

sh

2

u cos

2

v cos

2

sh

2

u cos

2

v

sin

2

ch

2

u sin

2

v

v

a

sh

2

u

cos

2

v

sin

2

v

sh

2

u sin

2

v

a

sin

2

v

sh

2

u

,

ash

u

sin

v

cos

e

x

ash

u

sin

v

sin

e

y

ach

u

cos

v

e

z

e

ash

u

sin

v

sin

ash

u

sin

v

cos

,

e

x

e

y

H

a2

sh2

u sin2

v sin2

sh2

u sin2 v cos2

ash u sin v ,

v ua

sin2

v

sh2

u eu va

sin2

v sh2

u ev

ash u sin v e .

Модуль скорости равен:

v a

sh

2

u

sin

2

v

u

2

v

2

sh

2

u sin

2

v .

Компоненты ускорения находим подобным образом, что в задаче – а).

w	u
		sh
w
		sh

2

2

a

d

sh

2

u sin

2

v u sh u ch u u

2

v

2

2

sin

2

v

,

u

sin

2

v

dt

a

d

sh

2

u sin

2

v v

sin v cos v u

2

v

2

2

sh

2

u

,

u

sin

2

v

dt

w

a

d

sh2 u sin2 v .

sh u sin v dt

23

Ответ:

v a	sh	2	u	sin	2	v	u	2	v	2	sh	2	u sin	2	v	,

w	u
		sh
w
		sh

2

2

a

d

sh

2

u sin

2

v u sh u ch u u

2

v

2

2

sin

2

v

,

u

sin

2

v

dt

a

d

sh

2

u sin

2

v v

sin v cos v u

2

v

2

2

sh

2

u

,

u

sin

2

v

dt

w

a

d

sh

2

u sin

2

v .

sh u sin v dt

№ 15. Точка (см. рис. 4) движется в плоскости так, что угол между

вектором скорости				и вектором	ускорения постоянен. Угол	между
направлением вектора скорости					v и неподвижной осью изменяются по
заданному закону			t	. Найти скорость и ускорение точки как функции угла

, если в начальный момент

t 0

заданы

v 0 v	,
0

0

0

.

Решение:

Рис.4.

24

В любой момент времени

v	x

v cos

,

v	y

v sin

. Компоненты ускорения

w	x

v	x

v cos vsin

,

w	y

v	y

v sin

v cos

.

Величину

ускорения

w

можно определить, как:

w	w	2	w	2
		x		y

w	v		v
		2	2	2

.

Исходя из естественной формы задания

произведение:			wv vv . Из условия
v w cos	v		v		cos ,
		2	2	2

движения, найдём скалярное

	wv wvcos		,	тогда:

	v					v				v							cos						,
		2						2					2			2						2
v2			cos2												v2					2 cos2
	1																													,
				v		2					2		2	ctan				2	,
							v
				v		dv
									ctan											d ,
						v
				v	0
											0
	v v						exp																					.
						0												0		ctan
Ускорение найдем из формулы:								v w cos															:

dv		dv d		v	ctan					exp
dt		d	dt	0
										w

	0		ctan
v				d
sin				dt

t





d				d t
dt	vctan			dt

.

Ответ:

w

v sin

d
				t
		dt

.

25

№ 16. Выразить v и ускорение w

орты сопровождающего трехгранника точки, если w v 0 , а τ v 0 .

	Решение:
		1
	τ		0		,	n
		0

τ,n,b

	0
		1		,
	0

через вектор

		0
	b		0		,
		1

эти вектора образую правую тройку вектор.

τ – касательный к траектории.

n – главная нормаль к траектории.

Рис. 5.

По определению:

	dv		v	2		v
w		τ			n, v vτ τ		.
	dt		R			v
			кр

Найдем векторное произведение:

	dv			v2			v3		v3
v w vτ			τ		n			τ n		b
	dt			Rкр			Rкр		Rкр

что вектор b можно выразить при помощи вектора ускорения и скорости

следующим образом:

	b

v w v w



т.к. b это орт, он имеет единичную длину,

поэтому мы должны поделить на модуль векторного произведения v w .

26

v w

v

v

v w

v

w wv v

2

n b τ

v w

v

v v w

v v w

.

Вывод: если мы для нашей исследуемой точки знаем

v и w то мы можем

записать орты сопровождающего трёхгранника, базиса который движется

вместе с нашей точкой вдоль траектории.

Ответ:

τ

	v	, b
	v

v w v w



, n

2	w wv v
v
v v w

.

27

СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

№ 17. В соревнованиях по ориентированию на местности в начальный момент n участников находятся на окружности радиуса R на одинаковом расстоянии друг от друга. Во время движения каждому из участников известен лишь пеленг соседа, который в начальный позиции справа. Для того

чтобы собраться на окружности радиуса	r		r R	, участники ориентируют

вектор своей скорости по известному пеленгу. Найти время, через которое они соберутся на заданной окружности, если каждый из них будет двигаться с постоянной по величине скорости v .

Решение:

Визуализируем ситуацию:

Рис. 6.	Рис. 7.
Для простоты рассуждений, условимся называть	n го	участника	i

материальной точкой. На рис. 6 демонстрируем физику процесса, т.е.

перемещение i –ых, в частности, четырех материальный точек с окружности большего радиуса R на окружность меньшего радиуса r . Искомая величина времени имеет вид:

t R r . vn

28

Обратимся к рис. 7 откуда из соображений симметрии вытекает:

Тогда

vn

2

R

cos

cos

n

vn

t

v

2

sin

vsin

vsin

n

n

Ответ:

t

R r

.

vsin

n

	2
	2

r			.
	n

n

.

№ 18. Показать, что при сложно движении точки всегда справедливо

тождество

	d	v
	dt		r

v	w	r
e

w	e

.

Решение:

Рис. 8

29

Из рис. 8 видно, что r ro r		Теорема о сложении скоростей – абсолютная

скорость точки в сложно движении есть сумма переносной и относительной скоростей.

r ro ω r r ve vr .

ve vr

Имеет место и теорема Кориолиса – абсолютное ускорение точки в сложном движении есть сумма переносного ускорения, относительного и кориолисова ускорений.

w w

o

ε r

ω

ω r

2

ω r

r w

e

w

k

w

.

w

r

we

wk

r

Далее будем действовать из условий задачи:

d

v

v

d

v

d

v

r r

ε r

r

e

r

e

ω r .

dt

dt

dt

o

, то:

Так как ω r

ω ω r

d

v

r

v

e

r w

o

ε r

ω r

r

w

o

ε r

ω r

w

r

e

.

dt

ω

w

Ч.Т.Д.

№ 19. Направляющая Ox вращается в горизонтальной плоскости вокруг точки O с постоянной угловой скорость (см. рис. 9, рис. 10). В этой же плоскости вдоль направляющей поступательно движется стержень AB с

постоянной скоростью v0 . Стержень образует прямой угол с направляющей.

Найти зависимость абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки

B стержня от времени, если длина стержня равна l и в начальный момент точка А совпадала с точной O .

30