Пособие по решению задач (1)

Решение:

Обратимся к чертежу

Рис. 9.	Рис. 10.
По условию, соответсвенно:

0	t, l,0 , r		0
ω 0,0, , r v			v	,0,0		.

Запишем выражения для абсолютной скорости и ускорения точки

B

:

v r			ω r		r ,
o

ε r

w w

o

ω

ω r

2 ω r

r .

Центр O

неподвижен,

а это значит

r

0 w

o

0

. Т.к. ω const , то ε 0 .

o

Скорость точки B постоянна,

следовательно

r 0 .

С учетом условий,

представленных выше, перепишем выражения для v и w

v ω r r ,

wω ω r 2 ω r .

Найдем соответствующие определители

ex	ey	ez
ω r 0	0 l ex v0t ey ,
v0t	l	0

31

e

x

e

y

e

z

ω r

0

0

v e

y

,

0

v

0

0

0

e

x

e

y

e

z

2v

2le

ω

ω r

0

0

te

x

y

.

0

l

v

t

0

0

Запишем выражения для абсолютной скорости и ускорения

v l v	e		v	t e		v=	l v		2	2	2	2	,
		x			y				0	v	t
0			0							0
w 2v0tex l 2v0 ey w= 2v02t2 l 2v0														2 .

Задача решена.

Ответ:

v=	l v	2	2	2	2	,
		0	v	t
			0

2	2	t	2	l 2v		2	.
w=	v				0
	0

№ 20. Стержень вертикальной оси

OA

Oz

вращается в горизонтальной плоскости относительно с постоянной угловой скорость (см. рис. 11). Колечко

P колеблется вдоль стержня по закону OP a 1 sin 0t . Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение колечка, пренебрегая его размерами.

Решение:

Обратимся к чертежу:

32

Рис. 11.

запишем выражения для абсолютной скорости и ускорения колечка

P

:

			v r				ω r
					o
	o		ε r					ω r
w w					ω

r ,

2 ω r r .

Центр	O	неподвижен, а это значит ro 0	wo 0	. Т.к. ω const , то

По условию задачи, также известно, что ω 0,0, , r a 1 sin 0t

Найдем первую и вторую производную по времени от вектора r

ε 0 . ,0,0 .

dr		r a cos t ,0,0		,
dt		0	0
d 2r		r a 02 sin 0t ,0,0 .
2
dt

С учетом условий, представленных выше, перепишем выражения для v и w :

v ω r r ,

wω ω r 2 ω r r .

33

Найдем соответствующие определители

																			e		x																	e			y			e			z
																																																					0							y
				ω r																0																			0					a 1						sin			t					e			,
														a 1 sin													t												0						0
																													0
																			e		x																e			y				e		z
			ω r																	0																		0						a cos t											e				y	,
																																																		0			0
															a cos											t												0						0
																		0											0
													e		x														e	y																e		z
																																																									0					x
ω		ω r												0															0																				a	2 1	sin				t							e	.
														0				a				1				sin										t											0
																																						0
Запишем выражения для абсолютной скорости и ускорения
0			0			x																							0								y												0		0												0	2
v a cos t					e			a								1 sin										t									e				v=a										2 cos2 t				2							1 sin t
																						0															0		x										0			0			y
										2							2						2					sin t															e			2a cos t e
	w a
			w=a											2					2										2		sin t														2				2 2	cos	2	t
																																															4
																												0														0							0				0
Ответ:	v=a		2 cos2									t					2								1 sin												t							2 ,
				0										0																									0

w=a		2		2		2	sin t		2	4	2	cos	2	t
										2
					0		0				0			0

.

№ 21. Стержень OA совершает колебания

0 sin t .По стержню скользит колечко

в плоскости Oxy P . Пренебрегая

по закону

размерами

34

колечка, найти его абсолютную скорость и абсолютное ускорение, если

OP 12 at 2 .

Решение:

Обратимся к чертежу

Рис. 12.

Запишем выражения для абсолютной скорости и ускорения колечка

P

Центр

O

			v r				ω r
					o
			ε r					ω r
w w	o				ω

неподвижен, а это значит ro 0 wo

r ,

2		ω r		r .
0		. По условию задачи, также

известно, что

r		1	at	2	,0,0		r
		2

ω0,0, 0 cos t ,

at,0,0 r a,0,0

.

тогда ε 0,0, 0 2 sin t ,

С учетом условий,

представленных выше, перепишем выражения для v и w .

35

v ω r r ,

wω ω r ε r 2 ω r r .

Найдем соответствующие определители

											ex						ey					ez				1
				ω r								0					0		0 cos t									at2 0 cos t ey ,
										1															2
												at2					0					0
										2
													e	x		e		y			e		z
						ω r							0				0		cos t						at cos t e											y	,
																			0										0
													at				0					0
						e	x								e		y						e		z					1
																																at						cos			t e				,
ω ω r 0																0							cos t
																							0							2					0									x
								1
					0							2											0
											at			cos t
									2						0
								e		x					e	y				e		z						1
		ε r																											at						sin t e .
									0						0						sin t
																				2									2					2
																			0									2	0										y
								1
									at			2			0						0
								2
Запишем выражения для абсолютной скорости и ускорения
								1																a2t2
	v atex								at2 0 cos t ey v=																				4 02 2t 2 cos2									t			,
								2
																									2
w		1		at2 02 2 cos2									t а ex								2at 0 cos t										1		at2 0 2 sin t ey ,
																														2
	2
			а
	w=					2 02 2t 2 cos2													t 2	02 2t2					4cos t							t sin						t			2 .
	2

36

Ответ:

w=	а
	2

	2	t	2
v=	a							2	2	t	2	cos			2	t			,
						4
	2							0
2				2	t	2	cos	2	t				2					t	2		4cos t	t sin t
	2															2	2
	0															0

37

	2

.

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

№

22.

Частица

массы

m ,

движется

по

закону

x asin		t		, y acos		t		, z t	(винтовая	линия). Показать, что силовое
поле, в котором происходит									движение,	можно задать соотношением
F m ω v , где					ω k , v –				скорость частицы, а k -орт оси Oz .

Решение:

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:

mr F,

в декартово прямоугольной системе координат приобрет вид:

Найдем производные

x

x

m(xe	x	ye	z	ze	z	) F.
x, x, y , y ,	z , z :

a cos t , y a sin t , z ,

a 2 sin t , y a 2 cos t , z 0.

Отсюда следует

	m(a 2 sin		t	e	x	a 2 cos	t	e	) F
								y
Найдем векторное произведение:
	ex	ey				ez
ω v	0	0				a 2 sin t			ex a 2 cos t ey
	a cos t	a sin t

m ω v F .

38

Fц.б.

Ответ:

F m	ω v .

№ 23. Колечко A может скользить по шероховатому (коэффициент трения

равен

f ) проволочному круговому кольцу радиуса

R , расположенному в

горизонтальной плоскости. В начальном положении колечку сообщили скорость v0 . Найти такое значение v0 , чтобы колечко вернулось в начальное положение с нулевой скоростью.

Решение:

Рис. 13.

Запишем второй закон Ньютона для данной механической системы:

mw F	N	R	N	F	mg.
ц.б.			z	тр

Так как мы используем цилиндрическую систему координат, то запишем ускорение кольца в этой системе. – центробежная сила: сила инерции,

заложенная в левую часть уравнения.

39

r r r	2	e			1 d	2	e	,
			r			r
					r dt
r R const r 0,

уравнение перепишется в виде:

r R	2	e		R	d	e .
			r		dt

Распишем основное уравнение динамики в проекциях на оси:

	r : mR				2	N	,
						R
	: mR	d	fN ,
		dt
	z : 0 N			z		mg,

где N – равнодействующая реакции опоры будет равна:

сил реакции опоры. Равнодействующая силы

Теперь выразим

N

dt

N	R

через

m

2

v

4

N

;

N N

2

N

2

m

g

2

,

2

z

R

z

R

2

dv

2

v

4

m

f

m

m

g

2

.

2

dt

R

2

d

и перепишем наше уравнение:

v R

d

dt

Rd

,

dt

v

2v

dv

2 f

v

4

2

2

,

d

g

R

dv2 2 fd .

v4 g 2 R2

40