- •СОДЕРЖАНИЕ
- •ЛЕКЦИЯ 7
- •7.1. Системы случайных величин. Функция и плотность распределения системы двух случайных величин. Условные законы распределения
- •7.2. Стохастическая связь. Ковариация. Коэффициент корреляции. Регрессия
- •7.3. Выборочный коэффициент корреляции. Проверка гипотезы об отсутствии корреляции
- •7.4. Приближенная регрессия. Метод наименьших квадратов
- •ЛЕКЦИЯ 8
- •8.1. Линейная регрессия от одного параметра
- •8.2. Регрессионный анализ
- •8.2.1. Проверка адекватности приближенного уравнения регрессии эксперименту
- •8.2.2. Оценка значимости коэффициентов уравнения регрессии
- •8.3. Оценка тесноты нелинейной связи
- •8.4. Аппроксимация. Параболическая регрессия
- •8.5. Приведение некоторых функциональных зависимостей к линейному виду
- •8.6. Метод множественной корреляции
- •ЛЕКЦИЯ 9
- •9.2. Двухфакторный дисперсионный анализ
- •ЛЕКЦИЯ 10
- •10.1. Планирование эксперимента при дисперсионном анализе
- •ЛЕКЦИЯ 11
- •11.1. Матрица планирования полного факторного эксперимента типа 23
- •ЛЕКЦИЯ 12
- •12.2. Описание функции отклика в области, близкой к экстремуму. Композиционные планы Бокса-Уилсона
- •12.3. Ортогональные планы второго порядка, расчет коэффицентов уравнения регрессии
Если на каждом уровне выполнено разное число опытов, выборочная дисперсия фактора А рассчитывается по формуле
|
|
1 |
|
|
k |
B2 |
|
|
k |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
sA2 |
= |
|
|
∑ |
i |
− |
|
|
∑Bi |
|
|
, |
(9.17) |
||
k -1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
i =1 |
ni |
N |
i =1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а выборочная дисперсия, характеризующая влияние случайных факторов, по формуле
k |
k |
|
sош2 = ∑ fi si2 |
∑ fi , |
(9.18) |
i =1 |
i =1 |
|
где fi = ni – 1. Число степеней свободы sош2 равно fош = N – k. |
|
|
Если дисперсия sA2 значимо отличается от дисперсии sош2 |
, т. е. вы- |
полняется неравенство (9.15), то дисперсия фактора А оценивается по формуле
σ2A ≈ |
k −1 |
|
(sA2 |
− sош2 |
). |
(9.19) |
|
N −1 |
|||||||
|
|
|
|
|
9.2. Двухфакторный дисперсионный анализ
Рассмотрим влияние на результаты опытов двух факторов А и В. Фактор А исследуется на k уровнях (i = 1, 2, …, k), фактор В — на m уровнях ( j = 1, 2, …, m). Пусть при каждом сочетании уровней факторов выполнено n параллельных опытов (q = 1, 2, …, n). Тогда общее число опытов равно N = nkm. Обозначим через yijq результат q-го опыта, выполненного на i-уровне фактора А и j-уровне фактора В.
Предположим, что результат каждого опыта можно представить следующим образом:
yijq = µ +αi +βj +αiβj +εijq , |
(9.20) |
где µ — общее среднее (суммарный эффект во всех опытах); αi и βj — эффекты, обусловленные влиянием фактора А на i-уровне и фактором В на j-уровне соответственно; εijq — случайная ошибка опыта, распределенная нормально с нулевым математическим ожиданием и диспер-
сией σош2 ; αiβj — эффект взаимодействия факторов. Величина αiβj характеризует отклонение среднего в (ij)-серии опытов от суммы первых трех членов в ур-и (9.20), а соответствующую ей дисперсию σ2AB можно оценить только при наличии параллельных опытов.
32
При отсутствии параллельных опытов (табл. 3) или в случае, если эффектом взаимодействия факторов пренебрегают, для описания результатов экспериментов используется линейная модель
yij = µ +αi +βj + εij . |
(9.21) |
|
Таблица 3 |
Исходные данные для двухфакторного дисперсионного анализа без параллельных опытов. Факторы А и В исследуются на 3 уровнях
Уровни |
|
|
|
Уровни фактора А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
фактора В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а1 |
|
а2 |
|
а3 (аk) |
Средние: |
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
b1 |
y11 |
y21 |
y31 (yk1) |
|
|
|
|
|
|
1' |
|
||||||||
|
|
|
y |
||||||||||||||||
b2 |
y12 |
y22 |
y32 (yk2) |
|
|
|
|
|
'2 |
|
|||||||||
|
|
|
y |
||||||||||||||||
b3 (bm) |
y13 |
y23 |
y33 (ykm) |
|
|
3' ( |
|
|
|
'm ) |
|||||||||
|
y |
y |
|||||||||||||||||
Средние: |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 ( |
|
k ) |
|
|
–– |
|||||
|
y |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
y |
y |
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
y |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим через yi и y'j средние по столбцам и по строкам:
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑yij |
|
|
|
|
|
∑yij |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
i = |
j =1 |
, |
|
|
'j = |
i =1 |
|
|
|
, |
(9.22) |
||||
|
|
|
|
y |
y |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
а через |
|
— среднее всех опытов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
k |
m |
|
|
|
1 |
k |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
y = |
∑∑ |
yij = |
∑ |
y |
i |
. |
(9.23) |
|||||||||||
|
|
|
km |
k |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
i =1 j =1 |
|
|
i =1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим влияние факторов А и В на рассеяние средних по столбцам и по строкам соответственно относительно общего среднего. Рассеяние в средних по строкам не зависит от фактора А, так как все его уровни усреднены, и определяется влиянием фактора В и случайных факторов.
Тогда с учетом того, что дисперсия среднего в k раз меньше дисперсии случайной ошибки единичного измерения, имеем
σ2B + |
σош2 |
≈ |
1 |
|
m |
( |
|
'j − |
|
)2 . |
(9.24) |
|
∑ |
|
y |
||||||||
|
y |
||||||||||
k |
m −1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
j =1 |
|
|
|
|
|
|
Аналогичным образом можно показать, что
33
σ2A + |
σош2 |
≈ |
1 |
|
k |
( |
|
i − |
|
)2 . |
(9.25) |
|
∑ |
|
y |
||||||||
|
y |
||||||||||
m |
k −1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, чтобы оценить дисперсии факторов А и В, необходимо знать дисперсию случайной ошибки.
Оценить влияние случайных факторов при отсутствии параллельных опытов можно следующим образом. Рассеяние результатов опытов в i-столбце относительно его среднего обусловлено влиянием фактора В и фактора случайности:
|
|
s2 |
= |
1 |
|
|
m |
(y |
|
− |
|
|
|
)2 |
≈ σ2 |
+ σ2 . |
|
(9.26) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
∑ |
|
y |
i |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
i |
|
|
m |
− |
1 |
|
ij |
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
ош |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Равенство (9.26) станет более точным, если использовать средне- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
взвешенное значение дисперсии по всем столбцам: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ2B +σош2 |
≈ |
1 |
∑si2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.27). |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вычитая (9.24) из (9.27), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
σ2 |
|
− |
σош2 |
|
≈ |
1 |
k |
|
s |
2 |
− |
|
|
|
1 |
|
m |
( |
|
|
' |
|
− |
|
|
)2 , |
(9.28) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
1∑ |
||||||||||||||||||||||||||
|
ош |
|
|
k |
|
|
|
|
k |
i |
|
|
|
m − |
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или после арифметических преобразований |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
m |
' |
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||
σош ≈ (k −1)(m −1) |
(m −1)∑si |
−k∑(y j − y) |
|
sош. (9.29) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
j =1 |
|
|
|
|
|
|
|
Полученную оценку для дисперсии случайной ошибки с числом сте-
пеней свободы fош = (k – 1)(m – 1) обозначим через |
sош2 . Определим |
||||||||||||||||
также следующие выборочные дисперсии: |
|
||||||||||||||||
sA2 = |
|
m |
|
|
k |
( |
|
|
i − |
|
|
)2 ≈ mσ2A + sош2 , |
(9.30) |
||||
∑ |
|
|
y |
||||||||||||||
y |
|||||||||||||||||
k −1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
sB2 = |
|
k |
|
m |
|
( |
|
'j − |
|
)2 ≈ kσ2B + sош2 |
(9.31) |
||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|||||||||||
|
|
|
|
y |
|||||||||||||
|
m −1∑ |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
j =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с числом степеней свободы fA = (k – 1) и fB = (m – 1).
34
Проверка нулевой гипотезы о незначимости влияния факторов А и В проводится по критерию Фишера: если
sA2 |
≤ F |
( f |
A |
, f |
ош |
) и (или) |
sB2 |
≤ F |
( f |
B |
, f |
ош |
) , |
(9.32) |
|
|
|||||||||||||
sош2 |
1− p |
|
|
|
sош2 |
1− p |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то влияние фактора признается незначимым (αi = 0 и (или) βj = 0). Если одно (или оба) из неравенств (9.32) не выполняется, то влия-
ние соответствующего фактора (факторов) значимо. Определить, какие именно средние различны, можно по критерию Стъюдента.
Рассмотрим теперь случай, когда при каждом сочетании уровней факторов А и В выполнено n параллельных опытов (u = 1, 2, …, n), что дает возможность оценить влияние взаимодействия этих факторов на результаты опытов.
Так, например, в табл. 3 вместо одного значения y11 появится серия значений y111, y112, …, y11n . Обозначим через yij среднее в ячейке
(среднее серии параллельных опытов):
n
yij = 1n ∑yiju (9.33)
u =1
Тогда
|
|
i = |
1 |
|
|
m |
|
ij , |
|
|
'j = |
1 |
|
k |
|
|
ij , |
(9.34) |
|||||
y |
∑ |
y |
y |
∑ |
|
y |
|||||||||||||||||
m |
k |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
j =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
km ∑∑ |
|
|
|
|
k |
∑ |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
y = |
1 |
|
k |
|
m |
|
ij = |
1 |
k |
|
|
i |
(9.35) |
|||||||||
|
|
i =1 j =1 |
y |
i =1 |
y |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и дисперсии s2A и sB2 рассчитываются по формулам (9.30) и (9.31).
В качестве оценки дисперсии воспроизводимости используем средневзвешенное значение дисперсий результатов в каждой ячейке
|
|
|
|
|
|
|
k |
m |
|
||
sош2 |
= |
1 |
∑∑sij2 , |
(9.36) |
|||||||
mk |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
i =1 |
j =1 |
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sij2 = |
|
1 |
|
|
n |
(yiju − |
|
ij )2 . |
(9.37) |
||
|
|
|
∑ |
y |
|||||||
n |
−1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
u =1 |
|
|
|
|
|
35
Число степеней свободы дисперсии sош2 равно fош = mk (n – 1).
Введем также выборочную дисперсию, характеризующую влияние взаимодействия факторов
|
|
k m |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
(k −1)(m −1) |
∑∑ |
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(yij − yi )2 |
|
(y'j − y)2 |
||||||||||||
sAB2 ≈ |
n |
|
− k |
|
, (9.38) |
||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
i =1 j =1 |
|
|
|
|
|
|
j =1 |
|
|
|
|
|
|
с числом степеней свободы fAB = (k – 1)(m – 1).
Проверка значимости влияния факторов и их взаимодействия проводится по критерию Фишера, но неодинаково для моделей с фиксированными и случайными уровнями:
1. Для модели с фиксированными уровнями выборочные дисперсии s2A , sB2 и s2AB сравниваются с оценкой дисперсии воспроизводимости sош2 . Если выполняются неравенства
(s2 |
s2 |
)> F |
(f |
A |
, f |
ош |
), |
(s2 |
s2 |
)> F |
(f |
B |
, f |
ош |
), |
|||||
A |
ош |
1− p |
|
|
|
B |
ош |
|
|
1− p |
|
|
|
|||||||
|
|
(s2 |
|
s2 |
|
)> F |
|
(f |
AB |
, f |
ош |
), |
|
|
|
|
(9.39) |
|||
|
|
AB |
|
ош |
|
1− p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то влияние факторов и их взаимодействия значимо.
2. Для модели со случайными уровнями проверка значимости взаимодействия факторов проводится так же, как и для для модели с фиксированными уровнями. Влияние факторов значимо, если выполняются следующие неравенства:
(s2 |
s2 |
)> F |
(f |
A |
, f |
AB |
), |
|
A |
AB |
1− p |
|
|
|
|
||
(s2 |
s2 |
)> F |
(f |
B |
, f |
AB |
). |
(9.40) |
B |
AB |
1− p |
|
|
|
|
36