Практика 3 / Практика3(kad)
.pdfНайтиспектр функцииx(t) назаданноминтервале приследующихисходныхданных:
Um:= 0.5 |
τ:= 2 |
|
Возможная |
T := 2 τ |
|
переодичность |
||
|
x(t) := Um if -τ2 t τ2
0 otherwise
1
0.875
0.75
0.625 x(t) 0.5 0.375 0.25 0.125
- 6- 5.25- 4.-53.75- 3- 2.25- 1.-5 0.75 0 0.751.52.25 3 3.754.55.25 6 t
Таккакфункция пердставляетсобойнепереодическуюфункциювременинеобходимо найтиееспектральнуюфункциюнаосновеинтегральногопреобразования Фурье
Интегральное преобразование Фурье:
|
τ |
|
|
2 |
|
|
Um e- i ω tdt |
|
Fx(ω) := |
|
- τ
2
Записьвкомпактной форме:
Sa(z) := sinz(z)
Действительная функция после интегрирования
|
1 |
|
|
Fx(ω) := 2 Um |
sin 2 |
|
ω τ |
ω |
|
||
|
|
Записьвкомпактной форме умноженная на τ/2
|
1 |
|
|
Fx(ω) := Um τ |
sin 2 |
|
ω τ |
ω |
|
||
|
|
Раскрытия неопределенности по правилуЛопиталя прия ω=0принеопределенности0/0
|
|
|
|
1 |
ω |
|
|
|
|
|
1 |
ω |
|
|
||
|
|
sin |
|
τ |
|
|
sin |
|
τ |
|
||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||||||||
lim |
Um τ |
|
|
|
|
|
|
1.0 |
lim |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||
ω |
0 |
ω τ |
|
|
|
ω |
0 |
ω τ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Угловая частотапервой |
ω1 := |
2 π |
Числогармоник |
R := 12 |
|
гармоники |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Периодическое продолжение |
|
|
ω1 |
|
|
ω:= -R ω1,-R ω1 + |
100 ..R ω1 |
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
Um τ |
|
|
|
0.5 |
|
|
Fx(ω) |
|
|
|
|
|
- 20 |
- 10 |
|
0 |
10 |
20 |
|
|
|
- 0.5 |
|
|
|
|
|
ω |
|
|
Амплитудныйспектр |
Ax(ω) := |
Fx(ω) |
|
|
|
Для переходакамплитудномуспектруAx(ω) необходимо ввести фазовыйспектр
M := 4 k:= 1..M |
|
|
ω τ |
|
|
ϕx(ω) := π |
|
if Sa |
< 0 |
||
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
||
0 |
otherwise |
|
|
||
|
1 |
2 π |
4 π |
||
|
|
||||
0.8 |
|
τ |
τ |
|
|
|
|
|
|
0.6 Ax(ω)
0.4
0.2
- 20 |
- 10 |
0 |
10 |
20 |
ω
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
ϕx(ω) |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
- 20 |
- 10 |
|
0 |
|
10 |
20 |
|
|
ω |
|
|
|
|
Спектральная функция вэкспоненциальной форме: |
expFx(ω) := Ax(ω) ei ϕx(ω) |
|||||
|
- |
2 π |
1 |
2 π |
|
Um τ |
|
τ |
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0.5 |
|
|
|
|
expFx(ω) |
|
|
|
|
|
|
- 20 |
- 10 |
|
|
0 |
10 |
20 |
- 0.5
ω
________________________________________________________________________________
Необходимо найтиспектрсинусоидальной функцииz(t) на заданноминтервалепри следующихисходныхданных:
Амплитуда |
Um:= 0.5 |
Длительность τ:= 0.2 |
N:= 8 |
|
|||
|
N |
|
или |
ω0 := |
2 π f0 |
|
|
Частота |
f0 := τ |
|
Возможная переодичность |
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
повторения |
T := 2 τ |
t := -0.4 T,-0.4 T + |
T |
..0.4 T |
|
|
|
||
500 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналитическое выражение функции: |
|
|
|
||||
|
|
if -τ |
|
τ |
|
|
|
z(t) := |
(Um sin(ω0 t)) |
t |
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
0 otherwise |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.6 |
|
|
|
Um |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.4 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.2 |
|
|
|
|
|
||
z(t) |
- 0.2 |
|
|
|
|
- 0.1 |
|
|
- 0.2 0 |
|
0.1 |
|
0.2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 0.4 |
|
|
- Um |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
0.6 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Интегральное преобразование Фурье: |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Um sin(ω0 t) e- i ω tdt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Fz(ω) := |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Необходимо поставитьподынтегральное выражение вэкспоненциальной |
|
|
|||||||||||||||||
форме.По формуле Эйлера получилось |
|
|
|
|
|
ei ω0 t - e- i ω0 t |
|
|
|
||||||||||
ω0 assume 251.32741228718345908 |
|
|
|
|
|
|
2 i |
|
|
|
|
||||||||
Послечегоинтеграл приводиться квиду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Fz(ω) := Um |
|
e- i (ω-ω0) tdt - Um |
|
|
e- i (ω+ω0) |
tdt |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 i |
|
|
τ |
|
|
|
2 i |
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
- |
2 |
|
|
|
|
|
- |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin(z) |
|
|
|
|
|
|
|||||
Введение функцииотсчетов |
Sa(z) := |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
После интегрирования: |
|
|
|
Um τ |
1 |
|
1 |
|
|
||||||||||
|
Fz(ω) := |
-i |
|
2 |
|
|
Sa 2 (ω - ω0) τ - Sa 2 (ω + ω0) τ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Таккакфункция нечетная то ее спектр представлен только мнимойчастью |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Um τ |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Mz(ω) := - |
2 |
|
|
Sa 2 |
(ω - ω0) τ - |
Sa 2 (ω + |
ω0) τ |
|
|
ω0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R := 2 |
ω:= -R ω0,-R ω0 + |
..R ω0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- ω0 |
|
|
|
|
0.06 |
|
ω0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.04 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.02 |
|
|
|
|
|
|
Mz(ω) |
|
|
- 500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
500 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 0.02 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 0.04 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 0.06 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- i π |
Записьспектральной функциивэкспоненциальной форме |
|
|
Fz(ω) := Mz(ω) e |
2 |
||||
Эспоненциальныймножительопределяетфазовыйспектр |
|
|
ϕ1z(ω) := π |
|
||||
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Амплитудныйспектр |
Az(ω) := Fz(ω) |
или |
|
Az(ω) := |
Mz(ω) |
|
||
Привзяти модуля функция Mz(ω)изменяет фазуна πкогдаMz(ω)<0 |
|
|||||||
Поэтомуберется дополнительныйфазовый спектр |
ϕ2z( |
ω) := |
π if Mz(ω) < 0 |
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
0 otherwise |
|
Полныйфазовыйспектр синусоидальной функцииz(t) |
|
ϕz(ω) := ϕ1z(ω) + ϕ2z(ω) |
||||||
R := 2 ω:= -R ω0,-R ω0 + |
ω0 |
..R ω0 |
|
|
|
|
||
|
|
200 |
|
|
|
|
|
|
|
- ω0 |
0.06 |
|
|
|
ω0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0.04 |
|
|
|
|
|
|
Az(ω) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.02 |
|
|
|
|
|
|
- 500 |
|
|
0 |
|
|
|
500 |
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
- ω0 |
|
5 |
|
|
ω0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
ϕz(ω) |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
- 500 |
|
|
1 0 |
|
|
|
500 |
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
Спектральная функция выраженная черезапмлитудныйифозовыйспектрв |
|||||||
экспоненциальнойформе: |
|
|
|
|
|||
Fz(ω) := |
Mz(ω) ei ϕz(ω) |
|
|
|
|
||
|
|
Другоерешениепредыдущего |
|
||||
__ _ _ _ _ _ __ __ __ __ __ _ _ ___ ___ _ _ __ _ _ ___ ____ ___ _ _ __ __ _ |
|||||||
Используя теоремуопереносе спектра, спектр z(t) предсталяетсобойразностьдвух |
|||||||
спектров:x(t)перенесенного на частоту+ω0иx(t) перенесенногона частоту-ω0.При |
|||||||
переносезначения исходного спектрауменьшаются в2 раза поэтомутеперьспектр |
|||||||
функции: |
Fx(ω) := Um τ Sa |
ω τ |
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
Спектр функцииz(t) |
|
|
1 |
|
|
||
Fz(ω) := |
2 i (Fx(ω - ω0) - Fx(ω |
+ ω0)) |
|||||
|
|
||||||
|
|
Иполучаеманалогичный график |
|
||||
|
|
|
|
- ω0 |
0.06 |
ω0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0.04 |
|
|
|
|
|
|
|
0.02 |
|
|
Im(Fz(ω)) |
- 500 |
|
|
0 |
500 |
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
- 0.02 |
|
|
|
|
|
|
|
- 0.04 |
|
|
|
|
|
|
|
- 0.06 |
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|