![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Содержание:
§1 Периодические решения…………………………………………...................4
Задача Коши………………………………………………………………..….4
Линейная задача о периодических решения……………..………….…7
Теорема о разрешимости линейной задаче, о периодических
решениях……………………………………………………………….…….8
Теорема о разрешимости нелинейной задаче, о периодических
решениях…….……………………………………………………….…….12
§2 Динамические системы…………………………………………………..…..14
Теорема о типах траекторий автономных систем………………….…17
Теорема о структуре ω- предельных множеств…………..……….….18
Теорема об орбитальности предельных множеств ω- и α-………..22
Теорема об орбитальной асимптотической устойчивости……..……26
Теория Флоке………………………………………...………………………28
Теорема Андронова-Витта…………………………………………….…..29
§3 Бифуркация……………………………………………..…………………….31
Бифуркации рождения цикла или бифуркации
Пуанкаре-Андронова-Хонфа…………………………………………..….36
§4 Принцип усреднения…………………………………………………..……38
§5 Дифференциальные уравнения с малым параметром при
старшей производной……………………………………………………..…42
Теорема о регулярно возмущенном уравнении……………..………..45
Теорема А. Н. Тихонова……………………………………………………49
Уравнение Ван дер Поля………………………………………………….50
Список используемой литературы………………………………………………..53
§1 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
Как мы знаем, множество решений L линейной m-мерной системы:
x′ = A(t)x + f(t) (1)
представляет
собой m-мерное
гиперпространство в линейном пространстве
C
определенных
на всей оси непрерывных функций со
значениями в .
Поэтому
для выделения единственного решения в
общем положении можно взять пересечение
множества решений с некоторым
гиперпространством I
коразмерности
m, т. е. множеством уровня m-мерного
функционала (системы m
функционалов) на пространстве C.
(В нелинейном случае общего положения
множество решений — это m-параметрическое
семейство и для выделения единственного
решения (т. е. для выделения единственного
набора параметров) нужно добавить еще
m
скалярных алгебраических уравнений).
Задача 1. Доказать, что codim I = m.
Последняя
задача обычно называется периодической
краевой задачей
или задачей
о периодических решениях.
Это название объясняется тем, что в
случае непрерывной T-периодической
правой части уравнения (1)
(т.
е. если
решение уравнения (1),
удовлетворяющее условию F(x)
= 0,
т. е. условию:
является T-периодической функцией.
Задача 2. Доказать последнее утверждение (воспользуйтесь, в частности, единственностью решения задачи Коши для уравнения (1)).
В силу задачи 1 интуитивно ясно, что в общем положении задача о периодических решениях (линейного) уравнения (1) однозначно разрешима.
В общем случае задача о периодических решениях — это задача о нахождении T-периодического решения уравнения:
(2)
с T-периодической по t правой частью: f(t, x) ≡ f(t + T, x). Эта задача весьма важна в приложениях, поскольку периодические решения описывают периодические колебательные процессы в реальных системах. Особенно часто такие колебания возникают в механических и электрических устройствах. Поэтому теория периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений необычайно широка и очертить ее границы сколь-нибудь четко очень трудно.
Линейная задача о периодических решениях (т. е. задача о периодических решениях уравнения (1) с непрерывными T-периодическими функциями A(t) и f(t); последнее предполагается всюду ниже, поскольку периодические решения уравнений с непериодическими по t правыми частями существуют лишь в исключительных случаях) обладают всеми типичными свойствами линейных алгебраических уравнений: сумма решений однородной задачи есть также ее решение, сумма решений однородной и неоднородной задач есть решение неоднородной и т. д. Менее тривиальное и более важное утверждение содержит следующая
Теорема о разрешимости линейной задачи о периодических решениях. Уравнение (1) при любой T-периодической непрерывной функции f(t) имеет единственное T-периодическое решение в том и только том случае, если единственным T-периодическим решением соответствующей однородной задачи является нулевое решение.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Φ(t) — нормальная в нуле фундаментальная матрица однородного уравнения. Тогда общее решение уравнения (1) имеет вид:
(3)
Чтобы
это решение было T-периодическим, как
легко видеть, необходимо и достаточно,
чтобы x(T) =,
т. е.
.
(I
—
единичный оператор на).
Если однородное уравнение имеет только
нулевое T-периодическое решение, то
матрица I
– Φ(T)
обратима.
Тогда решение уравнения (1)
начинающееся
с
. (4)
является тем самым единственным T-периодическим решением. Обратное утверждение теоремы очевидно.
Задача 3. Восстановите детали доказательства, в частности, покажите, что I – Φ(T) обратима, если и только если у однородного уравнения нет ненулевых T-периодических решений.
Утверждение
этой теоремы допускает простую и полезную
операторную трактовку. Обозначим через
пространства непрерывных и, соответственно,
непрерывно дифференцируемых функций
x:
[0, T] →
.
Для любой функции x
∈
положим:
(Lx)(t) = x′(t) – A(t)x(t),
Задача
4.
Проверьте,
что L
линейно
действует из .
Фундаментальным
(как и в общей теории краевых задач)
является тот факт, что если оператор L
обратим, то
представим
в виде:
т. е. решение периодической задачи для уравнения (1) (если оно существует и единственно) на [0, T] имеет вид:
Действительно, подставляя (4) в (3) после несложных преобразований получаем:
(t ∈ [0, T]),
где
Задача 5. Докажите, что выписанная выше функция Грина G(t, s) периодической краевой задачи обладает следующими свойствами:
1) ∂G(t, s)/∂t = A(t)G(t, s) + f(t) при всех t ≠ s;
2) G(t, s) непрерывна при t ≠ s;
3)
G(t,
s)
–
G(t,
s)
= I.
Представление
(5)
оператора
оказывается полезным при исследовании
нелинейных периодических краевых задач.
Например, задача о T-периодических
решениях нелинейного уравнения:
x′ = A(t)x + f(t, x) (6)
в случае, когда его линейная часть имеет вид:
x′ = A(t)x (7)
имеет только нулевое T-периодическое решение сводится к решению нелинейного интегрального уравнения:
(8)
Задача 6. Докажите, что решения уравнения (8), удовлетворяющие условию x(0) = x(T) и только они являются сужениями на отрезок [0, T]
T-периодических решений уравнения (6).
Последнее
утверждение позволяет сводить задачу
о периодических решениях уравнения (6)
к
задаче о неподвижных точках интегрального
оператора, фигурирующего в правой части
уравнения (8).
А именно, пусть
— банахово пространство определенных
на [0,
T]
непрерывных
функций со значениями в Rm периодических
в том смысле, что x(0)
= x(T).
Норма
в
— это обычная норма пространства C.
Определим в
оператор f
формулой:
(t
∈
[0, T]).
Задача
7.
Докажите, что f
действует
из
в
и
его неподвижные точки и только они
являются сужениями на [0,
T] T-периодических
решений уравнения (6).
Таким образом, условия на A и f в уравнении (6), обеспечивающие наличие у F неподвижной точки являются одновременно и условиями существования периодических решений этого уравнения.
Теорема о разрешимости нелинейной задачи о периодических решениях.
Пусть:
1) A(t) и f(t, x) — непрерывные T-периодические по t функции;
2) однородное уравнение (7) имеет только нулевое T-периодическое решение;
3)
функция
f
удовлетворяет
при любом t
условию Липшица по x
с константой L,
причем, K
= TL
< 1 (здесь G(t, s)
—
функция Грина периодической задачи для
уравнения (1)).
Тогда уравнение (6) имеет единственное T-периодическое решение.
Д
о к а з а т е л ь с т в о.
Теорема будет доказана, если мы покажем,
что в ее условиях f
является сжимающим оператором в
(тогда в силу принципа сжимающих
отображений у него будет существовать
единственная неподвижная точка).
Последнее гарантирует следующая цепочка
равенств и неравенств:
=
(по условию (3)теоремы K < 1).
В общем случае выписать функцию Грина, разумеется, невозможно, поэтому в условии 3 теоремы при исследовании конкретных уравнений обычно используют те или иные оценки.
В заключение этого краткого очерка еще раз подчеркнем, что теория периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений чрезвычайно обширна. В той или иной мере к ней можно отнести, в частности, очерки Динамические системы, Динамические системы на плоскости, Бифуркация, Вынужденные колебания линейных систем, Дифференциальные уравнения с малым параметром при старшей производной, Принцип усреднения, Теория возмущений, Топологические методы в теории дифференциальных уравнений и др.
Предоставим некоторые из них: