Chast_4_4_l_30_31
.pdf316
Предположим, что после снятия внешнего магнитного поля известно распределение вектора намагниченности J P внутри постоянного магнита.
Уравнения поля внутри магнита:
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
||||||
rot H |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
div B 0, |
(4.137) |
|||||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
B 0H 0 J . |
|
|
|
|
||||||||||||
В зависимости от того, какое поле |
H |
или B мы оставляем в этих |
уравнениях, получим разные способы расчета поля. Исключим в уравнениях
B и оставим только H . Для этого воспользуемся материальным уравнением
(третьим уравнением системы (4.137)) rot H 0,
div H div J .
В предыдущей лекции мы получали такую систему уравнений. Было обозначено div J м (4.128). Тогда система уравнений приобретает вид
(4.129), (4.130).
В предыдущей лекции также было показано, что кроме магнитных зарядов в объеме ферромагнетика с плотностью м div J , возникают магнитные заряды на поверхности магнита с поверхностной плотностью
м Jn , где n - нормаль к поверхности магнита, направленная во внешность.
На границе двух постоянных магнитов (рис. 4.63) с разными нормальными компонентами вектора намагниченности также возникает магнитный заряд с поверхностной плотностью
м J1n J2n ,
Рис. 4.63. Граница двух постоянных магнитов
317
где нормаль n направлена из первого ферромагнетика во второй. Это
выражение легко получается из формулы (4.131). |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В связи с вышеизложенным, |
магнитное поле |
|
H одиночного |
||||||||||||
постоянного магнита, занимающего объем V , ограниченного замкнутой |
|||||||||||||||
поверхностью S , может быть вычислено по формуле: |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
M |
1 |
|
м P rPM dVP |
|
1 |
|
м P rPM dSP |
|
|
|
|
|
|
H |
|
(4.138) |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
4 V |
rPM3 |
4 |
S |
rPM3 |
|
|
|
|
где
м P divJ P ; м P Jn P .
Теперь из системы уравнений (4.137) исключим поле H , т.е. оставим только поле B . Для этого выразим H из третьего уравнения и подставим в первое. Тогда получим
|
|
rot |
|
|
|
|
|
0 rot |
|
|
, |
|
|||||||||
B |
J |
(4.139) |
|||||||||||||||||||
|
|
div |
|
|
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Как показано в лекции 23, |
|
|
|
|
|
|
представляет собой |
плотность |
|||||||||||||
|
|
rot J |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
микротока |
микро |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
rot |
J |
|
микро . |
|
(4.140) |
||||||||||||||
Поэтому систему уравнений (4.139) можно переписать так: |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rot B 0 |
микро |
|
|||||||||||||||||
|
|
, |
(4.141) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
div |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следует заметить, что микро является не фиктивной плотностью тока,
в отличие от магнитных зарядов, а реально существующей плотностью тока.
Кроме микротоков в объеме магнита существуют еще микротоки на поверхности магнита или на границе раздела магнитов. Для того чтобы это
показать, запишем выражение (4.140) в интегральной форме: |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
J |
dl |
микро dS , |
(4.142) |
||||||
l1 |
|
|
|
|
S1 |
|
318
где S1 - поверхность, натянутая на замкнутый контур l1 , dl и dS связаны правилом правоходового винта.
Рассмотрим участок поверхности S магнита (рис. 4.64). Возьмем точку на поверхности S . Проведем из этой точки три взаимно перпендикулярных единичных вектора: внешнюю нормаль n , касательный вектор и
касательный вектор , причем , n , составляют правую тройку векторов
(на рис. 4.64 вектор направлен «от нас»).
Рис. 4.64. К выводу выражения для поверхностной плотности микротока
Обозначим поверхностную плотность микротока через jмикро . Возьмем замкнутый контур l1 в виде прямоугольника, плоскость которого совпадает с плоскостью, образованной векторами и n . Запишем выражение (4.142) для
этого контура и устремим одну из двух сторон прямоугольника h |
к нулю. |
|
Тогда получим: |
|
|
J |
jмикро . |
(4.143) |
Такое выражение справедливо для любого касательного направления и соответствующего направления . Поэтому формулу (4.143) можно записать в векторном виде:
|
|
|
|
n . |
(4.144) |
j |
микро |
J |
|||
|
|
|
|
|
Из (4.144) легко следует (4.143).
Если граничат два магнита и нормаль выбрана из первого магнита во второй, то поверхностная плотность микротока на границе будет равна
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|||||
jмикро J1 |
J2 n |
где J1 - вектор намагниченности в точке границы первого магнита, J2 -
второго магнита.
319
Уравнения (4.141) совпадают с уравнениями магнитного поля стационарных токов в вакууме (2.128). По аналогии с этим магнитным полем и с учетом поверхностных микротоков, в соответствии с формулой Био-
Савара-Лапласа, магнитное поле B можно рассчитать по формуле:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
j |
|
|
|
P |
|
r |
|
||||||||
|
|
B |
M |
|
|
микро |
|
|
PM |
|
dVP |
|
|
|
микро |
|
|
|
|
PM |
dSP |
, (4.145) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 V |
|
|
|
|
rPM3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
S |
|
rPM3 |
|
|
|
|
|
||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P rot |
|
P ; |
|
|
|
|
|
P |
|
|
P n |
|
.. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
микро |
J |
|
|
j |
микро |
J |
P |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим еще третий способ расчета магнитного поля постоянных магнитов при известном распределении вектора намагниченности.
Так как вектор намагниченности J - это магнитный момент единицы
объема магнетика, то магнитный момент элементарного объема dVP
магнетика будет J P dVP . Воспользовавшись формулой (2.160) для поля
системы токов с магнитным моментом для постоянного магнита получим:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
P rPM rPM rPM2 |
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
J |
J |
|
|
|
||||
B M |
|
|
|
|
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
dVP |
. |
(4.146) |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
4 V |
|
|
rPM5 |
|
|
|
|
|
Какую из формул (4.138), или (4.145), или (4.146) целесообразно использовать (или какую модель постоянного магнита целесообразно использовать), зависит от геометрии постоянного магнита и от характера распределения вектора намагниченности.
Так, например, если постоянный магнит имеет форму диска однородно намагниченного перпендикулярно основанию, причем толщина диска h
существенно меньше диаметра d (рис. 4.65), то для расчета магнитного поля целесообразно применить зарядовую модель.
Рис. 4.65. Постоянный магнит в виде диска, намагниченного перпендикулярно основанию
320
Поверхностная плотность магнитных зарядов на правом основании в этом случае будет равна м J , а на левом основании м J . Поле H
внутри магнетика может быть найдено по аналогии с электрическим полем плоского конденсатора.
H м J .
Или в векторной форме H J .
Поле B внутри магнита
B 0H 0J 0J 0J 0.
Вне магнита магнитное поле H существенно меньше поля H внутри магнита. Точное значение поля B (вне и внутри магнита) легче найти с использованием токовой модели. Для этого необходимо найти поле B витка
стоком iмикро J d .
Вкачестве второго примера рассмотрим постоянный магнит в виде весьма длинного кругового цилиндра, т.е. цилиндра, у которого длина l
существенно больше диаметра d . Магнит однородно намагничен вдоль оси цилиндра (рис. 4.66 а). Используя токовую модель, находим, что поверхностный микроток протекает по боковой поверхности цилиндра с поверхностной плотностью j J . Направление плотности тока j показано на рис. 4.66 б.
Рис. 4.66. Постоянный магнит в виде цилиндра, намагниченного вдоль
образующей
Поле B внутри магнита находится как поле соленоида. Оно
однородное и равно
321
B 0 j 0J .
Так как B и J внутри магнита однонаправлены, то в векторной форме
B 0 J .
Поле H внутри магнита
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
H |
J |
J |
J |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вне магнита поле B существенно меньше поля B внутри магнита. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Точное распределение поля H можно найти как поле двух равномерно |
|||||||||||||||||||||||||||
заряженных |
дисков |
с плотностью |
|
магнитных |
зарядов м J |
на |
правом |
||||||||||||||||||||
диске и м J на левом диске. Диски имеют диаметр d |
и находятся на |
||||||||||||||||||||||||||
расстоянии l |
друг от друга. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Приближенно |
это поле |
можно |
|
найти |
как поле |
двух |
точечных |
||||||||||||||||||||
магнитных |
зарядов |
J |
d 2 |
и |
J |
d 2 |
|
|
|
|
|
оси на |
|||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
, расположенных на |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||
расстоянии l |
друг от друга. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
69. Квазистационарные электромагнитные поля. Поверхностный
эффект. Граничное условие Леонтовича
Квазистационарным электромагнитным полем называют переменное во времени электромагнитное поле, в котором магнитное поле токов смещения существенно меньше магнитного поля токов проводимости и микротоков.
Этот факт зависит от частоты электромагнитного поля. Чем меньше частота,
тем с большей точностью электромагнитное поле можно считать квазистационарным. Установим порядок этих частот.
Плотность тока проводимости внутри проводника связана с напряженностью электрического поля законом Ома в дифференциальной форме
322
E .
Плотность тока смещения:
см D .t
В комплексной форме записи:
см j D j E .
Отношение амплитуд плотности тока смешения и плотности тока проводимости будет равно:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
см m |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Для |
хорошо |
проводящей |
|
среды |
(металл) |
~ |
|
8,85 10 |
12 Ф |
, |
|||||||||||||
|
|
|
0 |
|
м |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ 5 107 |
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Числитель и знаменатель последней формулы становятся сравнимы |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
1 |
|
|
|
|
|
18 |
12 |
|
|
|
|
|
|
||
лишь |
при |
частоте |
~10 |
|
|
, т.е. |
|
при |
f ~10 |
Гц |
10 МГц |
(при |
этом |
||||||||||||
с |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
с |
|
3 108 |
|
3 10 10 м 3 А ). Следовательно, |
до |
частоты |
f 1010 МГц |
|||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
f |
1018 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(реальные частоты гораздо ниже) электромагнитное поле в хорошо
проводящих средах можно считать квазистационарным. Отношение |
|
в |
|||
|
|
|
|
|
|
этом случае будет равно: |
|
|
|
||
|
|
1017 8,85 10 12 |
0,0177 . |
|
|
|
5 107 |
|
|
||
|
|
|
|
Легко получить, что для квазистационарного электромагнитного поля запаздывающие электродинамические потенциалы (2.89) и (2.93)
превращаются в следующие выражения
|
|
|
|
P,t |
|
|
|
|
|
|
|
P,t |
|
M ,t |
1 |
|
|
dVP , |
|
M ,t |
0 |
|
|
dVP . |
|||
|
A |
||||||||||||
4 |
|
|
4 |
|
|
||||||||
|
0 |
V |
r |
|
|
V |
|
|
r |
||||
|
|
PM |
|
|
|
|
|
PM |
323
Переходим к изучению явления поверхностного эффекта. Пусть на проводящее полупространство ( 0 , , ) падает плоская линейно поляризованная волна (рис. 4.67). Волна поляризована вдоль оси x и
распространяется вдоль оси z .
Рис. 4.67. Падение плоской волны на полупространство с параметрами , ,
В силу симметрии поле E внутри проводника также будет иметь только x -овую составляющую, а поле B соответственно только y -овую
составляющую.
Найдем, как изменяются поля E и B внутри проводника. Рассмотрим случай квазистационарного электромагнитного поля. Уравнения Максвелла в
комплексной форме запишем внутри проводящего полупространства:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rotH |
, |
(4.147) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
rotE |
j B , |
(4.148) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|||||||
B |
|
H |
(4.149) |
|||||||||||||
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||
|
|
E |
(4.150) |
Уравнения для дивергенций выполняются автоматически, так как
дивергенция ротора тождественно равна нулю, т.е.:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
div |
|
div |
rotH |
|
1 |
|
|
0 |
|
||||
divE |
div rotH |
и |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
divB div j rotE j div rotE 0 .
Подставляя (4.149) и (4.150) в (4.147), вместо выписанной системы
уравнений получим:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
324 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
rotB E , |
|
|
|
|
|
|
|
(4.151) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
rotE |
|
B |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Беря ротор от левой и правой части первого из последних двух |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, получим: |
|||||||||||||||||||
уравнений, учитывая второе уравнение и то, что divB |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.152) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
B |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Так как |
|
|
ey By z , |
то |
|
вместо |
|
|
(4.152) получаем обыкновенное |
||||||||||||||||||||||||||||
B |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
d 2 By |
|
j B |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
(4.153) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dz2 |
y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Характеристическое уравнение |
|
|
|
этого |
|
|
дифференциального уравнения: |
||||||||||||||||||||||||||||||
k 2 j . Корни характеристического уравнения |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
k1,2 |
j |
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
Общее решение дифференциального уравнения (4.153):
By z C1e j z C2e j z ,
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
- коэффициент затухания, |
|
|
- коэффициент фазы, |
|
2 |
2 |
|||||
|
|
|
|
C1 , C2 - комплексные постоянные.
Вследствие наличия тепловых потерь в проводнике при z поле должно исчезать. Поэтому C2 0 и
By z C1e ze j z .
Так как начальную фазу одной из физических величин можно выбрать произвольной, то примем число C1 вещественным и обозначим его через Bm
(ниже будет понятно, почему это так). Очевидно Bm By 0 . Тогда
By z Bme ze j z Bme z sin t z By z,t .
Это затухающая бегущая волна.
325
Зарисуем приближенно зависимость By от z при фиксированном t t1
(рис. 4.68). Пусть t |
, т.е. |
t |
. Тогда |
|||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
z, |
|
B |
e z sin z . |
|
|
|
|
y |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.68. График зависимости By z, |
|
|
|
Найдем длину волны:
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
. |
|||
|
|
|||||
|
|
|
|
Фазовая скорость определяется уравнением:
t z const .
Дифференцируя это выражение по t , получим:
|
|
|
|
|
|
v 0 v |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|
Фазовая скорость зависит от частоты,
дисперсии.
.
т.е. имеет место явление
Поле E находим из первого уравнения системы (4.151):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex |
ey |
ez |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
d |
|
E |
rotB |
|
0 |
0 |
||||||||
|
|
|
dz |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
By |
0 |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
B e ze |
j |
|
|
|
||
|
|
|
4 e |
|
. |
||||
|
|
x |
|||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для мгновенных значений получаем выражение:
E |
|
z,t |
|
|
B |
e z sin |
|
t z |
. |
x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |