![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Рациональные дроби (Степанов)
.docРациональные дроби
Под целой рациональной функцией подразумевается многочлен п-й степени
f(x) = a0x n + a1x n – 1+ a2x n – 2 ++ an, (1)
где а0 0 и п 0.
Дробно-рациональная
функция или рациональная дробь – это
частное двух целых рациональных функций
.
Будем рассматривать рациональные дроби
с действительными коэффициентами.
Рациональная дробь называется несократимой, если её числитель взаимно прост со знаменателем.
Теорема. Всякая рациональная дробь равна некоторой несократимой дроби, определяемой однозначно с точностью до множителя нулевой степени, общего для числителя и знаменателя.
Доказательство.
Всякую рациональную дробь можно сократить
на наибольший делитель её числителя и
знаменателя, после чего будет получена
равная ей несократимая дробь. Если
равны друг другу несократимые дроби
и
,
то есть
, (2)
то из взаимной простоты f(x) и g(x) следует, что (х) делится на f(x), а из взаимной простоты g(x) и (х) следует, что f(x) делится на (х). Отсюда f(x) = с(х), а тогда из (2) следует g(x) = с(х).
Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя. Будем считать, что многочлен степени 0 является правильной дробью.
Теорема. Всякая рациональная дробь представима притом единственным способом, в виде суммы многочлена и правильной дроби.
Пусть дана рациональная дробь f(x)/g(x). Если, деля числитель на знаменатель, получим равенство
f(x) = q(x) g(x) + r(x),
где степень r(x) меньше степени g(x), то очевидно,
Если также справедливо равенство
,
где степень (х) меньше степени (х), то справедливо равенство
Так как слева стоит многочлен, а справа – правильная дробь, то обязательно q(x) = q1(x) и
Из изложенного ранее следует, что среди многочленов с действительными коэффициентами и со старшим коэффициентом 1, неразложимыми на множители меньшей степени, или неприводимыми, являются лишь линейные многочлены вида х – а и квадратные многочлены вида
(конечно,
здесь
– комплексно сопряженные числа)
Правильная рациональная дробь f(x)/g(x) называется простейшей, если её знаменатель g(x) является степенью неприводимого многочлена р(х),
g(x) = рk(х), k 1, а степень числителя f(x) меньше степени р(х).
Основная теорема о рациональных дробях. Всякая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших дробей.
Рассмотрим
сначала правильную рациональную дробь
,
где многочлены g(x)
и h(х)
взаимно
просты. Тогда существуют многочлены
u1(х)
и
v1(x),
такие что
g(x) u1(х) + h(х) v1(x) = 1
Отсюда
g(x)[u1(х) f(x)] + h(х)[v1(x) f(x)] = f(x) (3)
Пусть остаток от деления произведения u1(х) f(x) на h(х) равен u(х), степень которого меньше степени h(х). Тогда равенство (3) можно переписать в виде
g(x) u(х) + h(х) v(x) = f(x), (4)
где многочлен v(x) легко определяется. Так как степень произведения g(x) u(х) меньше степени произведения g(x) h(х), и степень f(x) меньше степени произведения g(x) h(х) по условию теоремы, то и произведение h(х) v(x) имеет степень, меньшую, чем g(x) h(х). Поэтому степень v(x) меньше степени g(x). Из (3) следует равенство
,
в правой части которого стоит сумма правильных дробей.
Если хотя бы одни из знаменателей g(x) или h(х) разлагается в произведение взаимно простых множителей, то можно провести дальнейшее разложение. Отсюда следует, что всякая правильная дробь разлагается в сумму нескольких правильных дробей, каждая из которых имеет знаменателем степень некоторого неприводимого многочлена. Если дана правильная дробь f(x)/ g(x), знаменатель которой разлагается на неприводимые множители
(конечно, всегда можно считать, что старший коэффициент знаменателя рациональной дроби равен единице), причём pi(х) pj(x) при i j, то
Все слагаемые в правой части этого равенства являются правильными дробями.
Рассмотрим правильную дробь вида u(х)/рk(x), где р(х) – неприводимый многочлен. Разделим u(х) на рj(x), где j – наибольшее натуральное число из тех, при которых можно осуществлять деление u(х) на рj(x) (j k – 1). Отметим, что при степени многочлена и(x) равной т, если р(x) = х – а, то j = т. Если же р(x) = х2 + рх + q (p2 – 4q < 0), то при т чётном j = т/2, а при т нечётном j = (т 1)/2.
Полученный остаток разделим на рj1(x) и т. д. В результате придём к равенствам
При этом степень u(х) по условию меньше степени рk(x), а степень каждого из остатков ui(х) i = 1,2,,j + 1 меньше степени соответствующего делителя рj–i+1(x), то степени всех частных s1(x), s2(x),…, sj+1(x) будут строго меньше степени многочлена р(х).
.
Отсюда получается искомое представление рациональной дроби u(х)/рk(x) в виде суммы простейших дробей:
,
и основная теорема доказана.
Теорема единственности. Всякая правильная рациональная дробь обладает единственным разложением в сумму простейших дробей.
Пусть
некоторая правильная рациональная
дробь может быть представлена в виде
суммы простейших дробей двумя способами.
Вычитая одно из этих представлений из
другого и приводя подобные члены, получим
сумму простейших дробей, тождественно
равную нулю. Пусть знаменатели
простейших дробей, составляющих эту
сумму, будут некоторыми степенями
различных неприводимых многочленов
р1(х),
р2(х),,
рs(х)
и пусть наивысшая степень многочлена
рi(х),
i = 1,2,,s,
являющегося одним из этих знаменателей,
будет
.
Умножим обе части рассматриваемого
равенства на произведение
.
Все слагаемые полученной суммы, кроме
одного, превратятся при этом в многочлены.
Слагаемое
превратится в дробь
.
Знаменатель этой дроби не является
делителем числителя, так как многочлен
р1(x)
неприводим, а все множители числителя
с ним взаимно просты. Выполняя
деление числителя на знаменатель
с
остатком , в результате получим, что
равна нулю сумма многочлена и отличной
от нуля правильной дроби, что невозможно.