- •1. Основные понятия о ду.
- •2. Ду-1-проп. Решение. Общее решение, частное решение. Общий интеграл. Задача Коши. Существование и единственность решения задачи Коши.
- •3. Геометрическая интерпретация ду-1-проп. Поле направлений. Интегральная кривая. Геометрический смысл задачи Коши. Обыкновенная и особые точки.
- •4. Качественное исследование ду-1-проп. Изоклины. Линия экстремумов и линия перегибов интегральных кривых.
- •5. Особые решения ду-1-проп. Способы их отыскания.
- •6. Ду 1 порядка с разделяющимися переменными и приводимые к ним.
- •8. Ду 1 порядка, приводимые к однородным.
- •9. Линейные ду 1 порядка. Структура общего решения. Метод вариации произвольной постоянной.
- •10. Ду 1 порядка, приводимые к линейным. Ду Бернулли и Риккати
- •11. Ду 1 порядка в полных дифференциалах.
- •12. Интегрирующий множитель ду 1 порядка. Способы его нахождения. Связь с особыми решениями. Число интегрирующих множителей данного уравнения
- •13. Интегрирующий множитель для ду с разделяющимися переменными, однородного и линейного.
- •14. Теорема Коши-Пикара для ду-1-проп. Метод последовательных приближений Пикара построения решения.
- •15. Теорема Коши-Пикара для ду-1-проп. Доказательство сходимости пикаровских приближений к непрерывной функции.
- •16. Теорема Коши-Пикара для ду-1-проп. Доказательство сходимости пикаровских приближений к решению задачи Коши.
- •17. Теорема Коши-Пикара для ду-1-проп. Доказательство единственности решения. Метод Пикара как приближенный метод решения задачи Коши.
- •18. Теорема о продолжении решения задачи Коши. Продолжаемые и непродолжаемые решения.
- •19. Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши от параметров.
- •20. Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши от начальных условий.
- •21. Степень гладкости решения задачи Коши. Дифференцируемость решения по начальным данным и параметрам.
- •22. Численные методы интегрирования ду 1 порядка. Методы I и II порядка. Одношаговые и многошаговые методы. Особенности численного моделирования решения ду.
- •23. Ду-1-пнроп. Решение. Общее решение, частное решение. Общий интеграл. Поле направлений. Постановка задачи Коши.
- •24. Теорема Коши-Пикара для ду 1 порядка, не разрешенного относительно производной.
- •25. Особые решения ду-1-нпроп. Способы отыскания. Дискриминантная кривая. Огибающая семейства интегральных кривых.
- •26. Методы интегрирования ду-1-пнроп. Уравнения, не содержащие искомой функции.
- •27. Методы интегрирования ду-1-пнроп. Уравнения, не содержащие независимой переменной.
- •28. Методы интегрирования ду-1-пнроп. Общий случай.
- •29. Ду Лагранжа
- •30. Ду Клеро
1. Основные понятия о ДУ. Обыкновенные ДУ и в частных производных. Порядок ДУ. ДУ, разрешенные и неразрешенные относительно производной. Системы ДУ. Математические модели динамических систем в форме обыкновенных ДУ.
2. ДУ 1 порядка, разрешенные относительно производной. Решение. Общее решение, частное решение. Общий интеграл. Задача Коши. Существование и единственность решения задачи Коши.
3. Геометрическая интерпретация ДУ 1 порядка, разрешенного относительно производной. Поле направлений. Интегральная кривая. Геометрический смысл задачи Коши. Обыкновенная и особые точки.
4. Качественное исследование ДУ 1 порядка, разрешенного относительно производной. Изоклины. Линия экстремумов и линия перегибов интегральных кривых.
5. Особые решения ДУ 1 порядка, разрешенного относительно производной. Способы их отыскания.
6. ДУ 1 порядка с разделяющимися переменными и приводимые к ним.
7. Однородные ДУ 1 порядка
8. ДУ 1 порядка, приводимые к однородным.
9. Линейные ДУ 1 порядка. Структура общего решения. Метод вариации произвольной постоянной.
10. ДУ 1 порядка, приводимые к линейным. ДУ Бернулли и Риккати
11. ДУ 1 порядка в полных дифференциалах.
12. Интегрирующий множитель ДУ 1 порядка. Способы его нахождения. Связь с особыми решениями. Число интегрирующих множителей данного уравнения
13. Интегрирующий множитель для ДУ с разделяющимися переменными, однородного и линейного.
14. Теорема Коши-Пикара для ДУ 1 порядка, разрешенного относительно производной. Метод последовательных приближений Пикара построения решения.
15. Теорема Коши-Пикара для ДУ 1 порядка, разрешенного относительно производной. Доказательство сходимости пикаровских приближений к непрерывной функции.
16. Теорема Коши-Пикара для ДУ 1 порядка, разрешенного относительно производной. Доказательство сходимости пикаровских приближений к решению задачи Коши.
17. Теорема Коши-Пикара для ДУ 1 порядка, разрешенного относительно производной. Доказательство единственности решения. Метод Пикара как приближенный метод решения задачи Коши.
18. Теорема о продолжении решения задачи Коши. Продолжаемые и непродолжаемые решения.
19. Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши от параметров.
20. Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши от начальных условий.
21. Степень гладкости решения задачи Коши. Дифференцируемость решения по начальным данным и параметрам.
22. Численные методы интегрирования ДУ 1 порядка. Методы первого и второго порядка. Одношаговые и многошаговые методы. Особенности численного моделирования решения ДУ.
23. Уравнения 1 порядка, не разрешенные относительно производной. Решение. Общее решение, частное решение. Общий интеграл. Поле направлений. Постановка задачи Коши.
24. Теорема Коши-Пикара для ДУ 1 порядка, не разрешенного относительно производной.
25. Особые решения ДУ 1 порядка, не разрешенного относительно производной. Способы отыскания. Дискриминантная кривая. Огибающая семейства интегральных кривых.
26. Методы интегрирования ДУ 1 порядка, не разрешенных относительно производной. Уравнения, не содержащие искомой функции.
27. Методы интегрирования ДУ 1 порядка, не разрешенных относительно производной. Уравнения, не содержащие независимой переменной.
28. Методы интегрирования ДУ 1 порядка, не разрешенных относительно производной. Общий случай.
29. ДУ Лагранжа
30. ДУ Клеро
1. Основные понятия о ду.
ДУ– уравнения, в которые входят не только неизвестные функции, но и их производные. Если искомая функция зависит от одной независимой переменной, то такое ДУ – обыкновенное. Если же она зависит от нескольких переменных, то это уравнение в частных производных.
Может рассматриваться как одно ДУ, так и их система.
Обыкновенное ДУ– соотношение, связывающее независимую переменную, искомую функциюи ее производную.
ПорядокДУ – порядок старшей производной.
Решение- функция, непрерывная,раз дифференцируемая и обращающая уравнение в тождество.
ДУ используются при построении математических моделей динамических систем.
Динамическая система– система, эволюционирующая с течением времени и допускающая описание в виде состояния.
Состояние– описание, по значению которого в данный момент времени можно однозначно указать, значение в любой момент времени., где- однозначный оператор. Переменные, описывающие состояние –фазовые. Пространство фазовых переменных –фазовое.
Предполагается, что между состояниями динамической системы и точками фазового пространства установлено взаимнооднозначное и взаимнонепрерывное соответствие.
Математическая модельдинамического процесса – совокупность фазового пространства, интервала изменения времении оператора.
Этапы построения матмодели:
Выбор и идеализация
Выбор переменных, характеризующих состояние и введение систем их отсчета.
Выбор физического закона и построение оператора .
Построение приведенной модели.
2. Ду-1-проп. Решение. Общее решение, частное решение. Общий интеграл. Задача Коши. Существование и единственность решения задачи Коши.
-уравнение разрешенноеотносительно производной.Решение– непрерывная и дифференцируемая функция, обращающая уравнение в тождество.
Задача Коши:.
Рассмотрим уравнение .-общее решение. Пусть поставлена задача Коши, тогда-частное решение.
Общий интеграл:.
Общее решение может быть записано в форме Коши. Роль произвольной постоянной играетпри некотором значении, т.е. надо решить задачу Коши.
;;- общее решение в форме Коши.
Теорема Коши-Пикара:пусть дано уравнениеи поставлена задача Коши. Если в областивыполняются условия: 1)определена и непрерывна по всем переменным; 2), где- константа Липшица. Тогда задача Коши имеет одно решение, определенное, непрерывное и непрерывно дифференцируемое, по крайней мере, в окрестности, где.
Достаточное условиевыполнение условия Липшица – существование.
Доказательство:по т. Лагранжа.
.
Теорема Пеано:пусть дано уравнениеи поставлена задача Коши. Если в областифункцияопределена и непрерывна по всем переменным, то задача Коши имеет хотя бы одно решение.
3. Геометрическая интерпретация ду-1-проп. Поле направлений. Интегральная кривая. Геометрический смысл задачи Коши. Обыкновенная и особые точки.
Точка , в которой задача Коши имеет единственное решение называетсяобыкновенной, - где имеет неединственное решение или не имеет решения –особая.
В каждой точке единственным образом определено направление касательной к ИК. Уравнениезадаетполе направлений. В особой точке поле не определено. ИКне пересекаются. Если через точку проходит несколько решений, то они в этой точке касаются.
Геометрическая постановка задачи Коши: провести ИК через точку.
Геометрический смысл задачи Коши. Через точкупровести кривую, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением поля в этой точке.
Во многих задачах переменные иравноправны, т.е. можно рассматривать не только, но и, и перейти к уравнению. Если, то уравненияиэквивалентны. Если,, то в точкеопределен вертикальный наклон.
Решение перевернутого уравнения учитывается при геометрическом построении ИК. При аналитическом решении перевернутое уравнение не рассматривается.