Темы по ТФКП
.docxКонформные отображения:
-
Сфера Римана. Утверждение о том, что окружностям плоскости соответствуют окружности сферы. Свойство сохранения углов между кривыми.
-
Расширенная комплексная плоскость, метрики (евклидова, на сфере)
-
Гомотопные кривые в области, гомотопия нулю, эквивалентность кривых.
-
Предел последовательности комплексных чисел, функции комплексного переменного, однолистность, пределы и непрерывность функций, непрерывность вплоть до границы.
-
Дифференцируемость функций комплексного переменного. Условие Коши-Римана.
-
Геометрический смысл производной. Гармоничность.
-
Конформные отображения. Дробно-линейные, их свойства (свойство сохранения симметрии). Степенные, функция Жуковского, показательная функция.
Интегралы:
-
Интегралы от функций комплексного переменного. Связь с криволинейными интегралами 1 и 2 рода. Свойства.
-
Интегральная теорема Коши. Обобщенная, теорема для конечносвязной области.
-
Первообразная. Теорема о первообразной.
-
Интегральная формула Коши.
(Вообще, семестр кончился где-то здесь, но формально должны были интегралы закончить)
-
Теорема о среднем, принцип максимума (минимума) модуля.
-
Интегралы типа Коши. Теорема об интеграле типа Коши. Следствие о бесконечной дифференцируемости голоморфной функции. Теорема Мореры.
Регулярные функции:
-
Ряды с комплексным общим членом. Функциональные ряды. Три теоремы (о непрерывности, интегрируемости, дифференцируемости суммы функционального ряда).
-
Степенные ряды. Особая точка суммы ряда. Теорема о единственности суммы степенного ряда. 1-я и 2-я теоремы Абеля.
-
Регулярные функции. Критерий регулярности. Неравенство Коши для коэффициентов. [Правило Коши].
-
*Нули регулярных функций. Порядок нулей.
-
Целые функции. Теорема Лиувилля, основная теорема алгебры.
Аналитические функции:
-
Теорема единственности. Аналитические продолжения, принцип аналитического продолжения.
-
Функции, аналитические на кривой, их свойства.
-
Аналитические функции. Понятие однозначных регулярных ветвей. Теорема о монодромии.
-
Аналитическая функция Ln z. *[Поверхности Римана].
-
* Особые точки аналитических функций. Точки ветвления.
Ряды Лорана. Особые точки регулярных функций.
-
* Ряды Лорана. Теорема Лорана.
-
* Изолированные особые точки однозначного характера. Определения, связь с рядами Лорана. Способы вычисления.
-
* [Мероморфные функции].
Вычеты и их применение.
-
Вычеты. Вычисление вычетов. Теорема о вычетах.
-
* Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов. Лемма Жордана.
-
Логарифмические вычеты. Принцип аргумента, теорема Руше.
Операционное исчисление
-
* Преобразование Лапласа. Понятие изображения, оригинала.
-
* Свойства оригиналов и изображений.
-
* Восстановление оригинала по изображению. [Условие существования оригинала].
-
* Применение операционного исчисления для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
* - то, чего не было на лекциях. [..] – не уверен, что будет вынесено на экзамен.