Финансово-коммерческие расчеты на основе Microsoft Excel

параметров.

1.По количеству выплат в течение периода: годовые (1 раз в год) и p

–срочные ( p раз в год). В финансовой практике также встречаются с

последовательностями платежей, которые производятся столь часто, что их можно назвать непрерывными.

2.По количеству начислений процентов в течение года: с

ежегодным начислением, с начислением m раз в году, с непрерывным начислением.

3.По величине членов: постоянные (с одинаковыми платежами) и

переменные. Члены переменных рент могут изменять свои размеры во времени следуя какому-либо закону (арифметической, геометрической прогрессии и пр.) или несистематично.

4.По вероятности выплат: верные и условные.

Верные ренты подлежат безусловной уплате. Число членов такой ренты заранее известно. Выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события, поэтому число членов ее заранее не известно. К таким рентам относятся, например, страховые аннуитеты (различные платежи в имущественном и личном страховании), пожизненная выплата пенсии и пр.

5.По количеству членов: с конечным числом членов, т. е. ограниченные по срокам ренты (их срок заранее оговорен), и бесконечные или вечные ренты

(реrреtuity). С вечной рентой встречаются на практике в ряде долгосрочных операций, когда предполагается, что период функционирования анализируемой системы или срок операции весьма продолжителен и не оговаривается конкретными датами.

6.По соотношению начала срока ренты и какого-либо момента времени, упреждающего начало ренты (например, начало действия контракта или дата его заключения): немедленные ренты и отложенные (отсроченные, deffered annuity).

7.По моменту выплат платежей в пределах периода: пренумерандо

(annuity due) – платежи в начале периода; постнумерандо (ordinary annuity) –

платежи в конце периода, равномерные – платежи приурочены к середине периода.

Обобщающие параметры потоков платежей

Анализ и оценка потока платежей обычно предполагают расчет одной из

двух обобщающих характеристик: наращенной суммы FV или современной стоимости PV .

Наращенная сумма FV (amount of cash flows) – сумма всех членов потока

53

платежей с начисленными на них к концу срока процентами. В этом случае проводится оценка с позиций будущего, реализуется схема наращения капитала.

Современная стоимость PV (present value of cash flows) – сумма всех членов потока, дисконтированных на начало срока ренты или некоторый упреждающий момент времени. Оценка потока проводится с позиции настоящего, реализуется схема дисконтирования.

Конкретный смысл этих характеристик определяется содержанием его членов или их происхождением. Наращенная сумма может представлять собой общую сумму накопленной задолженности к концу срока, итоговый объем инвестиций, накопленный денежный резерв и т. д. В свою очередь современная стоимость характеризует приведенные к началу осуществления проекта инвестиционные затраты, суммарный капитализированный доход или чистую приведенную прибыль и т.д.

Следует отметить, что наращение и дисконтирование при оценке потоков платежей осуществляется по схеме сложного процента.

4.2. Нахождение наращенной суммы постоянной ренты

1. Рассмотрим постоянную годовую ренту постнумерандо с начислением процентов один раз в году

В этом случае поступления делаются в конце равных временных интервалов, на которые разбит рассматриваемый промежуток времени. При этом F1 F2.. ... Fn A. На взносы начисляются сложные проценты по ставке r .

Дадим графическую иллюстрацию.

A(1 r)n 1

			A(1 r)n 2
				A(1 r)
				A	FV
	A	A	A	A
0	1	2	n-1	n	t

Рис. 4. 1 . Схема формирования наращенной суммы потока платежей.

54

Все члены кроме последнего (рента постнумерандо) приносят проценты за время от поступления платежа до окончания операции. Тогда по определению наращенной суммы:

FV A A (1 r) A (1 r)2		... A (1 r)n 1 .		(4.1)
Выражение (4.1) представляет	сумму	n членов	геометрической
прогрессии с первым членом a1 A	и знаменателем		q=(1+r),	равным

множителю наращения за один период. Воспользуемся формулой суммы n членов геометрической прогрессии:

S		a	qn	1		,			(4.2)
	n
		1	q 1
тогда		FV A		(1 r)n 1				.	(4.3)
						r
Множитель, на который умножается член ренты, называют факторным

множителем или		коэффициентом наращения ренты и обозначают snr . Индекс
n указывает	на	продолжительность ренты, а	r – на величину процентной
ставки. snr –	можно интерпретировать как		наращенную сумму		ренты			с
единичными	платежами. Для рассматриваемой ренты Snr			(1 r)n 1			.	В
					r

учебной и финансовой литературе иногда приводятся таблицы значений этого показателя.

2. Постоянная годовая рента пренумерандо

В отличие от ренты постнумерандо здесь проценты начисляются и на последний платеж. Тогда

FV	pr	A (1 r) A (1 r)2	... A (1 r)n	(4.4)

Очевидно, что сумма (4.4) в (1 r) раз больше, чем сумма (4.1), т.е.

	FVpr A	(1 r)n 1		(1	r) .
		r

3. Постоянная годовая рента с начислением процентов m раз в году

В этом случае члены ренты с начисленными на них процентами образуют следующий ряд:

		r m
A, A 1				,
		m

		r 2m
A 1
		m

			r (n 1)m
,	A 1				,	(4.5)
			m

где r – номинальная ставка процентов.
Этот ряд представляет собой	геометрическую прогрессию со
55

знаменателем q

1 r

m

m

и первым членом a

A. Тогда по формуле (4.2)

1

суммы n членов

геометрической прогрессии

найдем наращенную сумму

рассматриваемой ренты:

1 r

mn

FV A

m

1

(4.6)

.

1 r

m

m

1

При рассмотрении ренты пренумерандо проценты будут начисляться на последний платеж. Поэтому наращенная сумма для ренты пренумерандо будет

r m

вq 1 m

раз больше, чем для ренты постнумерандо:

FV	pr	A	1 r m mn			1	1 r	m	m .	(4.7)
			1 r		m	1
				m

Следуя рассмотренному алгоритму формирования наращенной суммы постоянной ренты, можно получить формулу расчета FV для любого типа рент

(табл. 4.1).

Таблица 4.1

Основные формулы наращенния постоянных рент

Виды рент

Ренты постнумерандо FV

~

Ренты пренумерандо FV

Годовая с

начислением

% 1

FV

A

(1 r)n

1

~

FV (1 r)

раз в году (р = 1, m = 1 )

FV

r

Годовая с начислением % m

1 r

mn 1

~

r

m

раз в году (р = 1, m 1)

FV

A

m

.

FV

FV 1

1 r

m

1

m

m

Рента

р-срочная

c

FV

A

(1 r)n 1

~

FV (1

r)

1 p

начислением

% один

раз в

FV

p

(1 r)

1 p 1

году (р, m = 1 ).

Рента

р-срочная

c

mn

~

r

начислением

% m раз в году

FV A

1 r

m

1

FV FV 1

m

(р, m, p=m).

r

Рента

р-срочная

c

1 r

mn

1

r

m

~

p

начислением

% m раз в году

FV

A

m

FV

FV 1

(р, m, p≠m).

p

1 r

m

m p 1

m

56

Продолжение таблицы 4.1.

Виды рент

Ренты постнумерандо FV

~

Ренты пренумерандо FV

Рента годовая c непрерывным

e n 1

~

FV A

FV FV e

начислением %

(p = 1,

e 1

)

Рента p – срочная c

e

n

1

~

непрерывным.

начислением

FV A

FV FV e

p

%, (р, m )

p

p e

1

Отличие постоянных рент пренумерандо от рент постнумерандо

состоит в том, что время начисления процентов на каждую выплату увеличивается на один период ренты. Следовательно, сумма наращения

будет больше, чем сумма FV в S1,r раз, где S1,r – множитель наращения

платежа за один период, соответствующей рассматриваемому типу ренты (равен знаменателю геометрической прогрессии для данного потока

платежей). Таким образом, ~ FV q FV

Как видно из приведенных выше формул, частота выплат и начислений процентов существенно влияют на величину наращенной суммы. Обозначим FV ( p, m) наращенную сумму для постоянной ренты с числом выплат в год p и числом начисления процентов m . Можно показать, что выполняются следующие соотношения:

FV (1,1)< FV (1,m)< FV (1,∞)< FV ( p, 1 p 1) < FV ( p, m p m 1) <FV ( p, m p m 1) < FV ( p, m m p 1) < FV ( p, ) .

Приведенные неравенства могут быть использованы при выборе условий контрактов, так как позволяют заранее (до расчета) получить представление о приоритете того или иного условия. Для иллюстрации рассмотрим постоянную ренту постнумерандо с параметрами: n=10, A=10, r= =6%.

	m =1	m =2	m =4	m =12	m =∞
p =1	131,81	132,37	132,65	132,85	132,95
p =4	134,74	135,35	135,67	135,88	135,99

57

4.3. Нахождение современной стоимости постоянной ренты

При нахождении современной стоимости ренты проводится оценка будущих денежных поступлений с позиции текущего момента, при этом используется схема математического дисконтирования на основе сложного процента.

1. Рассмотрим годовую ренту постнумерандо с начислением процентов один раз в году ( m 1).

Дисконтируем каждый платеж на начало операции и найдем сумму этих платежей:

PV

A

A

..........

A

.

(4.8)

(1 r)2

r)n

1

r

(1

Дадим графическую иллюстрацию (рис.4.2).

A /(1 r)n

A /(1 r)n 1

A /(1 r)2

A /(1 r)

PV

A

A

A

A

0

1

2

n-1

n

Рис. 4.2. Схема формирования современной стоимости постоянной годовой ренты постнумерандо

Очевидно, что (4.8) – это сумма n членов геометрической прогрессии с

первым членом a			A	и знаменателем	q	1	. Тогда по формуле (4.2)
1	1		r			1 r

современная стоимость данной ренты определится по формуле:

	PV A	1 (1 r) n	.	(4.9)
		r
	Множитель, на который	умножается		член ренты, называется

коэффициентом дисконтирования (приведения) ренты и обозначается anr , где

индекс n указывает на срок ренты, а			r на величину процентной ставки. Для
рассмотренной ренты	anr	1 (1 r) n		. Величины anr табулированы.
		r

Пример 4.1. Предлагается сдать участок в аренду на три года с оплатой по 10 млн. руб. в конце каждого года. Ставка банковского процента –

58

20% годовых. Найти современную стоимость аннуитета.

PV 10 1 1,2 3 21,0648 . 0,2

Т. е. с позиции текущего момента цена данного аннуитета 21,0648 млн. руб. Смысл этой величины прост: это начальная сумма, вложив которую под те же проценты, можно обеспечить возможность выплаты из нее всех рентных платежей.

2. Бессрочный аннуитет

Аннуитет называется бессрочным, если денежные поступления продолжаются достаточно длительное время, неограниченное конечными датами. В этом случае имеет смысл только задача нахождения современной стоимости потока платежей.

Воспользуемся формулой современной стоимости годовой постоянной ренты постнумерандо (4.9). Так как n , перейдем в этой формуле к пределу:

		1 (1 r) n				1 (1 r) n			1
PV	A			A				A		,
	lim	r			lim	r			r
	n				n

то есть
PV A	r	.	(4.10)

Эта формула используется для оценки целесообразности приобретения аннуитета. Здесь в качестве коэффициента дисконтирования обычно берется гарантированная процентная ставка (например, ставка центробанка).

3. Рента p-срочная постнумерандо с начисление процентов один раз в году (m = 1)

Если платежи производятся не один, а p раз в году, то размер платежа составляет A p , а проценты начисляются за промежутки времени

l p , l

,

1, n p

где n p –

общее число платежей. Тогда получаем следующий

ряд дисконтированных платежей:

A

A

A

,

,...,

.

(4.11)

p (1 r)

1 p

p (1 r)

2 p

p (1 r)n

Этот ряд

является

геометрической

прогрессией с

первым членом

a1

A

и знаменателем q

1

.

p (1 r) 1 p

(1 r)

1 р

59

	Используя формулу (4.2) суммы n					членов геометрической прогрессии,
	получим формулу для современной стоимости ренты:
	PV	A			1 (1 r) n		. .	(4.12)
		p			(1 r)	1 p 1

Применяя вышеизложенный прием для нахождения современной стоимости

постоянной ренты (на основе суммы

n членов геометрической прогрессии)

можно получить формулы PV для всех типов постоянных рент (табл. 4.2).

Таблица 4.2.

Основные формулы приведения постоянных рент

Виды рент

Ренты постнумерандо

Ренты пренумерандо

PV

~

PV

Годовая с начислением % 1 раз

1 (1 r)

n

~

в году (р = 1, m = 1 )

PV A

PV PV (1 r)

r

Годовая с начислением % m раз

mn

~

m

в году (р = 1, m )

PV

1 1 r m

PV

PV 1 r m

A

1 r

m

m

1

Рента р – срочная c

PV

A

1 (1 r) n

~

PV (1 r)

1 p

начислением % один раз в году

PV

p

(1 r)

1 p 1

(р, m = 1 )

Рента р – срочная c

1 1 r

mn

~

начислением % m раз в году (р,

PV A

m

PV FV 1 r

m

m, p=m)

r

Рента р – срочная c

1 1 r

mn

~

r

m

FV (1

p

начислением % m раз в году (р,

PV A

m

PV

)

m

m, p≠m)

p 1 r

m

m p 1

Рента годовая c непрерывным

1 e n

~

PV A

PV FV e

начислением % (p = 1,

e 1

m )

Рента p – срочная c

PV A

1 e n

~

PV e

p

непрерывным. начислением %,

PV

(р, m )

p

p e

1

60

Отличие постоянных рент пренумерандо от рент постнумерандо

состоит в том, что время начисления процентов для каждого множителя дисконтирования уменьшается на один период ренты. Следовательно,

~

современная стоимость ренты пренумерандо FV будет больше, чем сумма

FV такой же ренты постнумерандо в 1	раз, где a1,r – множитель
	a1r

дисконтирования	платежа	за	один	период,	соответствующей
рассматриваемому	типу ренты		(равен	знаменателю геометрической
					~	1
прогрессии для данного потока платежей). Таким образом, PV						PV		.
							q

4.4. Нерегулярные потоки платежей

Обобщающие характеристики нерегулярного потока ( FV и PV ) могут быть получены только путем прямого наращения (дисконтирования) всех членов данного потока платежей.

Пусть F1, F2..,...Fn – денежный поток с неравными платежами и разными периодами между их поступлениями. Даты ti поступления платежей определяются специальным графиком (рис. 4.3). Проценты начисляются по ставке r сложного процента в конце каждого периода.

	F1	F2 ……	F n-1	Fn
t0	t1	t2 …….	tn-1	tn

Рис. 4.3. График поступления платежей

Для определения наращенной суммы следует начислить проценты на каждый член этого потока по заданной процентной ставке и выбранной схеме начисления. Члены потока с начисленными процентами образуют следующий ряд:

			(1 r)		(tn tn 1 )	(1 r)	(tn tn 2 )	(tn
F ,	F				K , F		K ,...F (1 r)
n	n 1				n 2		1
где (tn ti ), i		1, n 1 –			длительность периода начисления процентов
Fi ( в днях), а K – длительность года в днях (по календарю).

t1 )

K ,

на платеж

n	tn ti
Сумма этого ряда FV Fi (1	r)	K .	(4.13)
i 1
Для нахождения современной стоимости потока проведем
математическое дисконтирование на	основе	годовой процентной	ставки r .
Получим дисконтированный поток платежей:
	61

F1		,	F2			,...,	Fn		,
t1 t0			t2	t0			tn t0
(1 r)	K (1 r)				K		(1 r)	K

тогда

n		Fi
PV						(4.14)
		ti t0
i 1
	(1 r)			K
Если платежи осуществляются ежегодно в конце года, то наращенная
сумма:
n		(1 r)n i ,
FV Fi
i 1
а современная стоимость:
n		Fi
PV						(4.15)
	(1	r)i
i 1

	Пример 4.2. Найти ( FV и PV )								для следующего потока платежей (рис.
4.4), если заданы: процентная ставка –10% годовых и график платежей..
				100		300			200			150
		t0			t1			t2…			t3			t4
						Рис. 4.4. Схема потока платежей
														Таблица 4.3.
								График платежей
					t0			t1		t2		t3			t4
	даты			01.01.2013			01.03.2013			30.06.2013		15.09.2013			01.12.2013
	tn-ti (дн.)			0			275			154		77			0
	ti-t0 (дн.)						59			180		257			334

FV 150 200 (1 0,1)77365 300 (1 0,1)154365 100 (1 0,1)275365 773,82.

	PV	100			300			200			150		709,19.
		59	365		180	365		257	365		334	365
		(1 0,1)			(1 0,1)			(1 0,1)			(1 0,1)

4.5. Двусторонний поток платежей. Чистая приведенная величина

Финансовая операция может предусматривать неоднократные и разновременные переходы денежных сумм от одного владельца к другому. Рассматривая поток платежей с позиций одного из них, можно считать все

62