§ 7. Параметрическое задание кривых на плоскости.
Пусть заданы две функции одного аргумента
(17)
где (в частности допускается ). При каждом значении числа и будем понимать как координаты некоторой точки на плоскости, причем эта точка, вообще говоря, меняется вместе с изменением , описывая некоторую кривую . В этом случае систему уравнений (17) называют параметрическими уравнениями линии , а аргумент называют параметром.
Переход от параметрических уравнений к уравнению осуществляется исключением параметра из системы уравнений (17).
Рассмотрим несколько примеров.
1. – известные параметрические уравнения прямой, проходящей через точку с направляющим вектором , .
2. . Исключая параметр , получаем , то есть уравнение параболы, .
3. Уравнения – уравнения окружности радиуса , т.к. , .
4. Уравнения , – являются параметрическими уравнениями эллипса.
5. Циклоида.
Пусть по прямой без скольжения катится круг радиуса . Кривая, описываемая фиксированной точкой круга, называется циклоидой. Уравнения циклоиды .
t
Рис. 19.
6. Астроида.
Пусть по окружности радиуса внутри нее катится без скольжения круг радиуса . Траектория, которую описывает фиксированная точка, лежащая на границе подвижного круга, называется астроидой.
x
-а a O
Рис. 20.
Уравнения астроиды , .
7. Кардиоида.
Пусть по окружности радиуса вне ее катится без скольжения круг того же радиуса . Кривая, которую описывает фиксированная точка подвижного круга, называется кардиоидой.
a O
Рис. 21.
Уравнения кардиоиды , .
§ 8. Кривые в полярной системе координат.
Рассмотрим полярную систему координат на плоскости. Пусть нам задан полюс и полярная ось. Для произвольной точки на плоскости обозначим через расстояние от точки до точки , а через – угол, на который нужно повернуть полярную ось до совмещения с лучом.
М
О
Р
Рис. 22.
Числа , называются полярными координатами точки . Число называют полярным радиусом (всегда ), а число называют полярным углом точки . Полярный радиус для любой точки определяется однозначно, а полярный угол – с точностью до , где – целое число.
Пусть на плоскости задана полярная и правая декартова прямоугольная система координат.
0
Рис. 23.
Пусть – произвольная точка плоскости, имеющая декартовы координаты и полярные координаты . Рассмотрим радиус вектор точки . Сравнивая координаты, получим формулы перехода от декартовых координат к полярным:
, .
Формулы перехода от полярных координат к декартовым можно записать в виде:
, .
При можно вычислить .
Кривую в полярных координатах задают в виде уравнения или явного уравнения в виде .
Рассмотрим несколько примеров кривых, заданных в полярных координатах.
-
Уравнение , где – постоянное число, задает окружность радиуса , центр которой совпадает с полюсом .
-
Уравнение определяет луч, исходящий из полюса и составляющий угол с полярной осью. – произвольное число.
-
Выведем полярное уравнение окружности радиуса в случае, когда полюс лежит на ней, а полярная ось проходит через центр окружности.
Рис. 24.
Возьмем произвольную точку на окружности. Треугольник прямоугольный. Получаем уравнение окружности в виде .
-
Покажем, что уравнение и полярных координатах определяет окружность радиуса . Подставим выражения для и через и в уравнение: . Умножая обе части уравнения на , получим или . Это уравнение окружности радиуса с центром в точке .
-
Пусть в декартовой системе координат заданы прямые , . Уравнения этих прямых в полярной системе координат , .
-
Рассмотрим уравнение , . Переход к декартовым координатам здесь довольно громоздкий и приводит к алгебраическому уравнению высокой степени. Поэтому посмотрим эту кривую, исходя из качественных соображений.
Период правой части уравнения равен , поэтому достаточно построить кривую для значений полярного угла из интервала . По свойствам функции , см. рис. 22, видно, что полярный радиус монотонно возрастает при и при монотонно убывает. При правая часть уравнения отрицательна, для этих значений точек кривой нет. Для остальных значений кривая получается при повороте на угол части кривой, расположенной между лучами и , рис. 24.
Рис. 25.