МАТАН: Ряды
.pdfФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
Московский государственный университет приборостроения и информатики
кафедра высшей математики
ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
учебное пособие для студентов дневной формы обучения для самостоятельной подготовки.
Москва 2007
2
УДК 517.
Числовые и функциональные ряды. Учебное пособие для студентов дневной формы обучения для самостоятельной подготовки. Сост.: к.т.н., доц.. Зюзько Т.Н. ./МГУПИ. М. 2007.
Излагаются основные методы исследования числовых рядов на сходимость, нахождения областей сходимости степенных рядов, применения рядов к приближенным вычислениям. Приведены примеры решения различных типов задач.
Пособие предназначено для студентов, обучающихся по дневной форме обучения. Библиогр: 5.
Рецензент: к.ф.-м.н., доц. Таперечкина В.А.
3
Содержание.
Введение.
1.Числовые ряды. Необходимый признак сходимости ряда. Вычисление суммы сходящегося ряда.
2.Достаточные признаки сходимости положительных рядов.
3.Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость.
4. Приближенное вычисление суммы числовых рядов
5.Степенные ряды. Нахождение области сходимости степенного ряда
6.Ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Приложения к приближенным вычислениям.
7.Ряды Фурье.
Литература.
4
Введение.
Данные методические указания состоят из двух разделов . В первом разделе указаны основные методы исследования на сходимость числовых рядов, способы приближенного и точного вычисления суммы числового ряда. . Второй раздел посвящен функциональным рядам: рассмотрены задачи на вычисление области сходимости степенных рядов, разложение функции в ряд Тейлора и приложения степенных рядов к приближенным вычислениям, рассмотрены задачи на разложение функции в ряд Фурье. Цель данного пособия -- помочь студенту самостоятельно подготовиться к экзамену. При написании пособия автор не ставила своей целью дать систематическое изложение теоретического материала. Перед каждой рассматриваемой задачей дается тот теоретический материал, который необходим для ее решения.
5
§1. Основные определения. Необходимый признак сходимости ряда. Вычисление суммы сходящегося числового ряда.
Прежде чем приступить к решению задач дадим основные определения. Определение 1. Пусть {an }-- последовательность действительных чисел. Выражение
вида:
∞
a1 + a2 + a3 +…+ an +…= ∑an
n=1
называется числовым рядом.
Сумму n первых слагаемых называют n -ой частичной суммой ряда и обозначаютSn :
Sn = a1 + a2 +…an .
К примеру, |
|
S1 = a1 , |
S2 = a1 + a2 , S3 = a1 + a2 + a3 ,… |
Частичные суммы ряда S1 , S2 , |
S3 , … образуют бесконечную числовую |
последовательность. |
∞ |
|
|
Выражение a1 + a2 + a3 +…+ an |
+…= ∑an само по себе определенного смысла не имеет, |
|
n=1 |
потому что действие сложения производится над конечным числом слагаемых. Этот смысл выражению предстоит приписать нам самим.
Введем понятие суммы ряда.
Определение 2. Суммой числового ряда S называется предел последовательности частичных сумм ряда {Sn }, если этот предел существует и конечен:
S = lim Sn .
n→∞
Числовой ряд при этом называется сходящимся.
В противном случае, т.е. если lim Sn равен бесконечности или не существует, то
n→∞
ряд называется расходящимся.
∞
Определение 3. Пусть дан ряд ∑an .
n=1
Ряд rn = an+1 +an+2 +…, полученный из исходного отбрасыванием n первых членов называется n -м остатком ряда.
Можно доказать, что если lim rn = 0 , то ряд сходится (существует конечная сумма S )
n→∞
и наоборот: остаток rn сходящегося ряда стремится к нулю с увеличением номера n .
Основной целью теории числовых рядов является установление факта сходимости или расходимости тех или иных рядов и вычисление суммы сходящихся рядов. При этом найти точное значение суммы ряда удается далеко не всегда. В этом случае используются методы приближенного вычисления суммы ряда.
Существует довольно много приемов, позволяющих устанавливать сходимость или расходимость рядов. Такие приемы называются признаками сходимости. К рассмотрению некоторых из них мы и приступаем.
Теорема (необходимый признак сходимости числового ряда).
∞
Если ряд ∑an сходится, то его общий член стремиться к нулю, т.е.
n=1
6
lim an = 0 .
n→∞
Из необходимого признака следует, что если n -ый член ряда не стремиться к нулю, то ряд расходиться. Именно это утверждение удобно использовать для решения задач.
Отметим, что необходимый признак не является достаточным, т.е. если lim an = 0 ,
n→∞
то о сходимости ряда ничего сказать нельзя: он может быть как сходящимся, так и расходящимся.
|
∞ |
|
|
Задача №1. Исследовать ряд на сходимость ∑n2 =12 +22 +32 +…+n2 +… . |
|||
Решение. |
n=1 |
|
|
= n2 , lim an |
= lim n2 |
|
|
an |
= ∞. |
||
|
n→∞ |
n→∞ |
|
Используя необходимый признак сходимости, делаем вывод о том, что ряд расходиться, поскольку n -ый член ряда не стремиться к нулю.
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: ряд ∑n2 расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задача №2. Исследовать ряд на сходимость ∑nsin |
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
Решение. Общий член ряда |
|
|
n=1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an |
= n sin |
, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
n |
|
|
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
= lim |
sin |
|
|
|
||||
lim a |
n |
= lim n sin |
|
n |
|
=1 . |
|||||||
n |
1 |
|
|
||||||||||
n→∞ |
n→∞ |
|
|
n→∞ |
|
|
|
n
Следовательно, ряд расходиться по необходимому признаку. Здесь для вычислений
использовали первый замечательный предел: lim sin x =1.
x→0 x
Ответ: ряд расходится.
∞
Задача №3. Исследовать ряд на сходимость ∑(−1)n .
n=1
Решение.
an = (−1)n ,
lim an = lim(−1)n
n→∞ n→∞
не существует. Ряд расходится по необходимому признаку. Ответ: ряд расходится.
Приведем пример ряда, для которого необходимый признак не дает ответа о его сходимости:
|
∞ |
1 |
|
|
||
Задача №4. Исследовать ряд на сходимость ∑ |
|
. |
||||
n |
||||||
Решение. |
n=1 |
|
||||
|
|
1 |
|
|
||
lim an = lim |
|
|
= 0 . |
|||
|
n |
|||||
n→∞ |
n→∞ |
|
Необходимый признак для данного ряда выполняется, поэтому он может быть или сходящимся, или расходящимся. Докажем, что этот ряд на самом деле расходится. Оценим частичную сумму ряда Sn снизу:
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sn =1 + |
1 |
+ |
1 |
+…+ |
1 |
> |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
+…+ |
1 |
= n |
1 |
= n . |
|
2 |
3 |
n |
n |
n |
n |
n |
n |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом,
Sn > n и lim Sn ≥ lim n = ∞. |
|
n→∞ |
n→∞ |
Тогда по определению суммы ряда имеем:
S = lim Sn
n→∞
Ответ: ряд расходится.
∞
Задача №5. Исследовать ряд на сходимость ∑
n=1
= ∞ .
2n −1 .
7n +2
Решение. Воспользуемся необходимым признаком и найдем предел n -го члена ряда:
|
|
|
|
an |
= |
2n −1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
7n + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
2n −1 |
= lim |
n(2 − |
|
|
) |
|
|
2 |
− |
|
|
|
|
2 |
|
||
lim a |
n |
= lim |
|
n |
= lim |
|
n |
|
= |
≠ 0 . |
||||||||||
7n + 2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
7 |
||||||||||||
n→∞ |
n→∞ |
n→∞ |
|
2 |
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
n(7 + |
|
) |
|
|
7 |
+ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
Ответ: ряд расходится.
В предыдущих задачах нашей целью было установить сам факт существования суммы ряда. Рассмотрим задачи, в которых удается вычислить точное значение суммы ряда.
∞
Пусть дан числовой ряд ∑a1qn−1 , составленный из членов геометрической
n=1
прогрессии. Здесь a1 -- первый член прогрессии, q -- знаменатель прогрессии. Если знаменатель прогрессии удовлетворяет условию q <1 , то прогрессия называется
бесконечно убывающей, а ряд, составленный из членов такой прогрессии, сходится, причем сумма ряда равна:
|
|
|
|
|
|
S = |
|
a1 |
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 − q |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача №6. Найти сумму ряда |
∑ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
2n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение. |
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
∞ |
1 |
|
1 |
n−1 |
|
∑ |
|
|
= ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∑ |
|
|
|
|
||
2 |
2n−1 |
2 |
|
2 |
2n−2 |
|
2 |
4 |
||||||||||
n=1 |
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
Этот ряд составлен из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии,
|
|
|
a = 1 |
, |
q = 1 . |
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
4 |
|
||
Сумма ряда равна: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 4 |
|
2 . |
|||
|
|
|
S = |
|
2 |
|
|
|
= |
= |
|||
|
|
|
1 |
|
2 3 |
||||||||
|
|
|
|
1− |
|
|
|
3 |
|||||
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
||||
Ответ: |
S = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задача №7. Найти сумму ряда ∑(−1)n |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
2 |
|
|
1 |
n−1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∑(−1) |
|
|
|
|
|
|
= |
|
∑ − |
|
|
− |
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
n |
3 |
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Здесь первый член геометрической прогрессии |
a = −2 , знаменатель q = −1 . Тогда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
|
1 . |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = |
|
|
|
3 |
|
|
|
= − |
= − |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Ответ: S = − |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Задача №8. |
Найти сумму ряда ∑(−1) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
n−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 (−1)n−1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
∞ |
n+1 |
|
3 |
|
|
∞ |
|
(−1) |
∞ |
|
|
1 n−1 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∑(−1) |
|
|
|
= ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
= ∑12 |
− |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
n−2 |
|
|
4 |
−1 |
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
4 |
|||||||||
. Для этого ряда |
|
a =12, |
|
q = −1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Находим сумму: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
12 4 |
|
|
48 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = |
|
|
|
|
|
|
= |
|
= |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
48 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Ответ: S = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5 |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Задача №9. Найти сумму ряда ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(n +2)(n +3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Для того чтобы найти сумму этого ряда, представим общий член ряда в виде суммы дробей:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
= |
|
|
A |
|
+ |
|
|
B |
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(n +2)(n +3) |
|
n + |
2 |
|
n +3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Найдем неизвестные коэффициенты следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
A |
|
|
+ |
B |
|
= |
A(n +3) + B(n +2) |
|
= |
|
|
1 |
|
|
, |
|
||||||||||||
|
n + |
2 |
|
n + |
3 |
|
|
(n |
+2)(n +3) |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(n +2)(n +3) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
отсюда |
|
|
|
|
|
|
A(n +3) + B(n +2) =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
При n = −3 из последнего равенства получаем B = −1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
При n = −2 B =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
− |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
(n +2)(n +3) |
n + |
2 |
n +3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Найдем n -ую частичную сумму ряда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|||||||||
Sn = |
|
|
− |
|
+ |
|
|
|
− |
+ |
|
− |
+…+ |
|
|
|
− |
|
|
|
. |
||||||||
3 |
4 |
5 |
|
|
|
n +3 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
5 |
|
|
6 |
|
|
|
|
n +2 |
|
|
После сокращения противоположных слагаемых получим
9
Sn = 13 − n 1+3 ,
откуда
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
S = lim Sn = lim |
|
− |
|
|
= |
|
. |
||
3 |
n +3 |
3 |
|||||||
n→∞ |
n→∞ |
|
|
|
|
Ответ: S = 13 .
§2. Достаточные признаки сходимости положительных рядов.
1. Признак Даламбера.
Теорема (признак Даламбера сходимости положительных рядов).
∞
Рассмотрим положительный числовой ряд ∑an . Если существует конечный предел
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
lim |
an+1 |
= l , то |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
при l <1 ряд сходится, |
|
|
|
|
|
n→∞ |
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при l >1 ряд расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, при k =1 вопрос о сходимости ряда остается нерешенным и нужно |
|||||||||||||||||||||||||
подобрать другой признак для исследования данного ряда. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача №1. Исследовать на сходимость ряд ∑ |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. |
an = |
|
|
, |
|
an+1 = |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||||
n! |
(n +1)! |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
an+1 |
= lim |
|
(n +1)! |
|
= lim |
|
n! |
|
= lim |
1 |
= 0 |
<1, |
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
(n +1)! |
|
||||||||||||||||||
n→∞ |
an n→∞ |
|
|
|
n→∞ |
n→∞ n |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
Задача №2. Исследовать на сходимость ряд ∑ |
n + |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
an = n +1 |
, an+1 = n +2 ,поэтому |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
5n |
|
|
|
|
|
|
|
|
5n+1 |
|
|
|
|
|
an+1 |
|
n +2 |
|
|
(n +2)5n |
||
lim |
= lim |
|
5n+1 |
|
= lim |
|||
an |
|
n +1 |
|
(n +1)5n+1 |
||||
n→∞ |
n→∞ |
|
|
n→∞ |
||||
|
|
|
|
5n |
|
|
|
|
ряд сходится по признаку Даламбера. Ответ: ряд расходится.
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 lim n +2 |
= 1 lim |
n 1 |
+ |
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
||||||
= |
|
|
|
= |
<1, |
||||
|
|
1 |
5 |
||||||
|
5 n→∞ n +1 |
5 n→∞ |
|
|
|
||||
|
|
|
n 1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача №3. Исследовать на сходимость ряд ∑∞ (3n ) . n=1 2n !
Решение.
10
lim an+1
n→∞ an
an = |
3n |
an+1 |
= |
3n+1 |
= |
3n+1 |
, тогда |
|
|
|||||||
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(2n)! |
(2(n +1))! |
(2n + 2)! |
|
|
||||||||||||
|
|
3n+1 |
|
(2n)! 3n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= lim |
|
(2n |
+ 2)! |
|
|
= lim |
= 3 lim |
|
1 |
|
= 0 <1, |
|||||
|
3n |
(2n + 2)! 3n |
|
+1)(2n |
+ 2) |
|||||||||||
n→∞ |
n→∞ |
|
n→∞ (2n |
|
(2n)!
Ряд сходится по признаку Даламбера. Ответ: ряд сходится.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
2n−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача №4. Исследовать на сходимость ряд ∑ |
4 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n+1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
4n−2 |
|
|
|
|
|
4n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
an = |
|
|
, |
an+1 |
= |
|
|
, тогда |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
32n+1 |
|
32n+3 |
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
42n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
an+1 |
= lim |
3n+2 |
n +1 |
= lim |
|
42n |
3n+1 n |
|
= lim |
4 |
2 n |
|
= |
16 |
lim |
n |
= |
16 |
>1, |
||||||||
an |
|
42n |
−2 |
|
42n−2 |
3n+2 n + |
1 |
3 |
n + |
1 |
|
3 |
n +1 |
|
3 |
|||||||||||||
n→∞ |
n→∞ |
|
n→∞ |
|
n→∞ |
|
n→∞ |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
3n+1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по признаку Даламбера ряд расходится. Ответ: ряд расходится.
Рассмотренные примеры позволяют сделать вывод о том, что к большинству рядов, общий член которых содержит функции an , n!, nn целесообразно применять признак Даламбера.
2. Интегральный признак.
Теорема (интегральный признак сходимости Коши-Маклорена).
Пусть дан ряд
∞
∑an = a1 + a2 +…+ an +…,
n=1
члены которого положительны и не возрастают.
Пусть f (x) -- функция, которая определена для всех действительных x ≥1, непрерывна, не возрастает и такая, что
f (1) = a1 , f (2) = a2 , …, f (n) = an , …,
∞
тогда для сходимости ряда ∑an необходимо и достаточно, чтобы сходился (существовал)
n=1
интеграл
∞
∫ f (x)dx .
1
Достоинство интегрального признака состоит в его высокой чувствительности: этот признак четко проводит различие между сходящимся и расходящимся рядами, даже если члены одного из них незначительно отличаются от членов другого.
Сформулируем важное следствие интегрального признака: если положительный ряд можно исследовать на сходимость по интегральному признаку, то его остаток оценивается по формуле: