Типовик 2 семестр ч5
.pdfГЛАВА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ |
133 |
3 уровень |
|
|
|
|
|
11 3 3 x2 23 |
|||
|
x2dx |
|
dx |
|
4 |
||||
а) 2 |
|
; |
б) 2 |
|
; |
в) 4 |
|
|
dx. |
4x2 1 1 |
x3 8 1 x2 |
|
6 x13 |
Вариант 30
1. Вычислить интегралы непосредственным интегри рованием:
1 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
а) 130x dx; |
б) 17tgxdx; в) 2(x30 1 cosx)dx; |
|||||||||||||||
2 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
а) |
4 |
1 |
ex |
3 |
1 |
|
2 |
dx; |
б) |
8 |
1 |
30sinx 3 |
4 |
|||
|
4 |
|
||||||||||||||
sin2 x |
x x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|||||||||
|
8 |
1 |
30 |
3 |
8x x 2 |
|
|
|
|
|||||||
в) |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
5dx. |
|
|
|
|
|||
|
|
3 25 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|||||||
|
6 x2 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
3 уровень
г) 1 |
|
x9 |
|
dx. |
x |
2 |
|
||
|
|
x |
2
5dx;
7
|
3 |
x |
3 |
1 x 1 x |
3 |
2 x |
4 |
|
б) 9 |
1 |
3e |
x |
4 |
15 |
|
2 |
||
а) |
|
|
|
dx; |
5 |
|
|
|
|
|
6dx. |
|||||||
|
|
|
|
81x |
2 |
3 |
|
|||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
81 8 |
2. Вычислить интегралы, используя метод линейной замены:
1 уровень
а) 1 |
dx |
|
; б) 2219x dx; в) 1 tg30xdx; |
г) 2 |
|
dx |
|
|
|||
|
|
. |
|
||||||||
cos2 30x |
|
||||||||||
3 1 7x |
|
||||||||||
2 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а) 3(sin30x 2 e13x )dx; |
б) 2cos(30 1 2x)dx; |
в) 2 |
dx |
. |
|||||||
111 |
30x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
ctg(3 3 x) |
|
|
|
|
|
|
|
||
а) 512235x |
4 |
|
4 e4x 3 ch30x2dx; |
|
|
|
|
|
|
||
30 |
|
|
|
|
|
|
б) 51 (9 3 2x)11 4 e436x 4 530x39 2dx.
134ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ
3.Вычислить интегралы, используя метод замены пе ременной:
1 уровень
а) 2x6 1 1 x2 dx; |
|
б) 2x2 x3 1 30dx; |
в) 2e1 cosx sinxdx. |
||||||
2 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
sh3 x |
|
|
|
3xdx |
|
1arcctgx |
|
а) 1 |
3 x2 dx; |
|
|
б) 2 |
|
; |
|
в) 3 301 2 x2 dx. |
|
|
|
(x2 1 8)2 |
|
||||||
3 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
||
а) 2 |
tg9x 1 30 |
dx; |
б) 2 |
arccos6 x 1 30 |
dx; |
||||
|
1 1 x2 |
||||||||
cos2 x |
|||||||||
в) 3 |
|
2x 1 arctg3x |
dx. |
|
|
|
|
||
|
1 2 x2 |
|
|
|
|
|
4. Вычислить интегралы, используя метод интегриро вания по частям:
1 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) 1 x30x dx; |
б) |
1 xcos30xdx; |
в) 1 ln30xdx. |
||||||||||
2 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) 2(x 1 5)sin4xdx; |
б) |
1 x2 x lnxdx; |
|
|
|
|
|
||||||
в) 2arctg 30x 11dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) 1 e2x sinxdx; б) 1 x2e3xdx; |
в) 1 x3 x ln2 xdx. |
||||||||||||
5. Вычислить интегралы от рациональных дробей: |
|||||||||||||
1 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) 2 |
dx |
|
2 |
dx |
в) 3 |
|
dx |
||||||
|
|
; |
б) |
|
|
; |
|
|
|
. |
|||
x2 1 8x 117 |
x2 1 4x 112 |
|
(x 1 4)(x 2 8) |
||||||||||
2 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) 3 |
x 1 3 |
|
2 |
dx |
в) 3 |
2x 1 3 |
|||||||
|
dx; |
б) |
|
; |
|
dx. |
|||||||
|
|
x(x 21)2 |
|||||||||||
x2 17x 213 |
x3 1100x |
ГЛАВА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
135 |
|||||||||||||||||
3 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) 3 |
|
|
x4 11 |
|
|
|
|
dx; |
б) 2 |
|
|
|
|
4x |
|
dx; |
|||||||||||
x3 2 x2 1 x 1 1 |
x3 1 2x2 1 x 1 2 |
||||||||||||||||||||||||||
в) 2 |
|
|
|
dx |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x4 1 2x2 1 37 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6. Вычислить интегралы от тригонометрических функ |
|||||||||||||||||||||||||||
ций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) 1 sin5xsin9xdx; |
б) 2 |
dx |
|
|
|
; |
в) 1 cos5 xsinxdx. |
||||||||||||||||||||
9 1 4sinx |
|||||||||||||||||||||||||||
2 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) 1 sin |
4 |
|
|
|
|
|
|
б) 1 |
sin5 x |
|
|
|
|
в) 3 |
2 1 sinx |
||||||||||||
|
8xdx; |
|
|
|
|
|
cosx dx; |
2 2 cosx dx. |
|||||||||||||||||||
3 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) 2(11 cos3x)3 dx; |
б) 1 tg6xdx; |
в) 1 |
|
dx |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||
sin3 xcosx |
|||||||||||||||||||||||||||
7. Вычислить интегралы от иррациональных функций: |
|||||||||||||||||||||||||||
1 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) 2 |
|
|
dx |
|
|
|
; б) 2 |
dx |
|
|
; |
|
в) 2 |
dx |
|
|
. |
|
|
||||||||
x |
2 |
1 10x 1 |
2 |
x 1 |
4 |
|
|
x x 1 |
2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) 3 |
|
|
|
x 12 |
|
dx; |
б) 3 |
23 1 x2 2 6xdx; в) 2 |
|
|
|
dx |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||
|
524x 24x2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
x2 1 49 |
|||||||||||||||||||||||
3 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) 3 |
|
|
4x 11 2 2 |
|
dx; б) 2 |
3 11 x3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
(4x 11)2 1 4x 11 |
|
|
|
|
dx; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
в) 4 |
|
3 11 3 5 x4 22 |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г Л А В А В Т О Р А Я
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2.1.
ЗАДАЧА О ПЛОЩАДИ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ
Рассмотрим криволинейную трапецию ABCD (рис. 2), т. е. фигуру, ограниченную сверху графиком функции у = f(x) (уравнение линии DC), снизу — осью Ox, сбоку — прямы ми x = a и у = b. Найдем площадь этой трапеции. Разде лим основание АВ данной фигуры произвольным образом на части и проведем ординаты, соответствующие точкам деления. Тогда криволинейная трапеция разобьется на ряд прямоугольников (рис. 2).
Обозначим точки деления:
a = x0 < x1 < x2 < ... < xi < xi+1 < ... < xn–1 < xn = b. (13)
Основание i го прямоугольника (i = 0, 1, 2, ..., n – 1), очевидно, равно разности xi+1 – xi, которую обозначим че
Рис. 2
ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ |
137 |
рез xi. Высота, следовательно, равна yi = f(xi), поэтому площадь i го прямоугольника равна yi xi = f(xi) xi.
Просуммировав площади всех прямоугольников, по лучим приближенное значение площади P криволинейной
трапеции: |
n11 |
n11 |
P 3 |
5yi 4xi 2 |
5f(xi )4xi . |
|
i20 |
i20 |
|
|
n11 |
|
|
n11 |
|
|
P 4 lim |
5 |
yi 2xi 4 lim |
5 |
f(xi )2xi , |
(14) |
||
2x |
30 |
2x |
30 |
|
|
||
i |
|
i40 |
i |
|
i40 |
|
|
в предположении, что все xi одновременно стремятся к нулю. Для предельного значения суммы (14) введено обо
b
значение 1 f(x)dx — в случае площади фиксированной
a
фигуры ABCD, отвечающей изменению x от a до b.
2.2.
ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Пусть f(x) определена на отрезке [a, b]. Разделим отре зок [a, b] на n произвольных частей точками a = x0 < x1 < < x2 < ... < xn–1 < xn = b, выберем на каждом элементарном отрезке [xk–1, xk] произвольную точку zk и найдем длину каждого такого отрезка: xk = xk – xk–1.
Определение 2.1. Интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b] называется сумма вида (см. рис. 3)
n
4f(zk )2xk 1 f(z1 )2x1 3 f(z2 )2x2 3 ... 3 f(zn )2xn . (15)
k11
Обозначим через = max xk. Предположим, что после довательность интегральных сумм стремится к некоторо му пределу:
n
lim 6f(zk )5xk 3 S. (*)
n12 k31 (410)
138 |
ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ |
Рис. 3
Определение 2.2. Если существует предел (*), не зави сящий от способа разбиения отрезка [a, b] и выбора то чек zk, то этот предел называется определенным интегра? лом от функции f(x) на отрезке [a, b] (в пределах от a до b):
b |
|
n |
|
7f(x)dx 3 |
lim |
6f(zk )5xk. |
(16) |
|
|||
a |
n12 k31 |
|
|
|
(410) |
|
|
При этом f(x) — интегрируемая функция на [a, b] (по дынтегральная функция); f(x)dx — подынтегральное вы ражение; a, b — пределы интегрирования (a — нижний предел, b — верхний предел), отрезок [a, b] называется от резком интегрирования; x — переменная интегрирования.
Учитывая рассуждения, приведенные в п. 2.1, можно сделать вывод о том, что определенный интеграл от неот рицательной интегрируемой функции численно равен пло щади криволинейной трапеции.
Теорема 2.1 (о существовании определенного интеграла). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она
интегрируема на отрезке [a, b].
Непрерывность функции является достаточным усло вием ее интегрируемости, но не является необходимым. Так определенный интеграл может существовать и для некоторых разрывных функций.
ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ |
139 |
Отметим, что в отличие от неопределенного интегра ла, определенный интеграл для фиксированных значе ний a и b — число.
Например, если производительность труда, т. е. объ ем продукции, произведенной в единицу времени, явля ется непрерывной функцией от времени t, то объем вы пускаемой продукции за промежуток времени [0, T] вы
числяется по формуле
T
Q 1 2f(t)dt.
0
2.3. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
КАК ФУНКЦИЯ ВЕРХНЕГО ПРЕДЕЛА
Если функция f(x) интегрируема в промежутке [a, b], то она интегрируема и в промежутке [a, x], где x — любое значение из отрезка [a, b]. Рассмотрим функцию
x |
|
1(x) 2 3f(t)dt. |
(17) |
a
Эта функция обладает следующими свойствами:
1)если функция f(x) интегрируема на [a, b], то (x) бу дет непрерывной функцией от x в том же промежутке;
2)если функция f(x) непрерывна на [a, b], то в любой
точке x [a, b] функция (x) имеет производную, равную f(x): (x) = f(x).
Таким образом, функция (x), определенная равенством (17), является одной из первообразных функции f(x) на [a, b].
2.4.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛЫ НЬЮТОНА — ЛЕЙБНИЦА
Пусть функция f(x) непрерывна на [a, b], а F(x) — одна из первообразных для f(x) на отрезке [a, b], т. е. F (x) = f(x), тогда справедлива формула Ньютона — Лейбница
b
3f(x)dx 1 F(x) ba
1 F(b) 2 F(a). |
(18) |
a
140 |
ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ |
Таким образом, чтобы вычислить определенный инте грал по данной формуле, необходимо:
1)проверить, что функция f(x) непрерывна на отрез ке [a, b];
2)найти первообразную подынтегральной функции f(x);
3)воспользоваться формулой Ньютона — Лейбница. Отметим, что Исаак Ньютон(1643–1727) — англий
ский физик, математик и астроном, один из создателей классической физики, Готфрид Вильгельм фон Лейбниц (1646–1716) — немецкий философ, математик, юрист, дипломат. Именно Лейбниц ввел знак интеграла: ради сокращения записи он вводит начальную букву слова Summa, которая по начертанию того времени писалась как 1 (1675). До этого в первой половине XVII в. при вы числении площади фигуры операцию записывали слова ми: «совокупность всех неделимых». Слово «интеграл» употребил впервые Якоб Бернулли в 1690 г. (швейцарский математик, 1654–1705). Возможно, термин образован от латинского integer (целый). По другому предположению, Я. Бернулли произвел термин от integro (приводить в преж нее состояние, восстанавливать), действительно, восста навливается первообразная функция. Термин был обсуж ден Иоганном Бернулли (швейцарский математик, млад ший брат Якоба, 1667–1748) и Лейбницем и «принят» в 1696 г. Тогда же И. Бернулли предложил название инте гральное исчисление (calculus integralis). Он пояснил, что, по его мнению, дифференциал — это бесконечно малая часть целого, интеграла (см. подробно [1]).
Пример 2.1.
1
1 x2dx.
0
Р е ш е н и е. Подынтегральная функция x2 непрерыв на на промежутке интегрирования, поэтому формулой Нью тона — Лейбница пользоваться можно:
1 |
2 |
x3 |
|
1 |
1 |
1 |
|
||||||
2x dx 1 3 |
|
0 |
3. |
|||
0 |
|
|
|
|
|
|
ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ |
141 |
Пример 2.2. |
1 /4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 /6 cos x |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
Р е ш е н и е. Подынтегральная функция |
|
|
непре |
||||||||
cos2 x |
|||||||||||
рывна на промежутке интегрирования, поэтому |
|
||||||||||
1 /4 |
dx |
|
|
1 /4 |
2 tg 1 3 tg 1 2 1 3 |
3 |
|
|
|||
|
2 tgx |
|
. |
|
|||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
4 cos2 x |
|
1 /6 |
4 |
6 |
3 |
|
|
||||
1 /6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2.3.
1
2 dx.
11 x2
1
Р е ш е н и е. Здесь подынтегральная функция x2 тер
пит разрыв в точке x = 0. Поэтому формулой Ньютона — Лейбница в данном примере воспользоваться нельзя, одна ко выражения такого типа имеют определенный смысл, ко торый рассмотрим в дальнейшем (см. п. 2.8.2, пример 2.14).
2.5. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
b a
1.3f(x)dx 1 23f(x)dx.
a |
b |
|
a |
|
|
2. 2f(x)dx 1 0. |
|
|
a |
|
|
b |
c |
b |
3. 3f(x)dx 1 3f(x)dx 2 3f(x)dx.
a |
a |
c |
b |
b |
b |
4. 3[f1 (x) 1 f2 (x)]dx 2 3f1 (x)dx 1 3f2 (x)dx.
a a a
b b
5.2Cf(x)dx 1 C2f(x)dx.
aa
142 ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ
6. Оценка определенного интеграла: если m f(x) M
на [a, b], то
b
m(b 1 a) 2 3f(x)dx 2 M(b 1 a).
a
7. Если f(x) четная функция, то
aa
3 f(x)dx 2 23f(x)dx.
1a |
0 |
8. Если f(x) нечетная функция, то
a
3 f(x)dx 2 0.
1a
Пример 2.4.
4
3 ex2 x3dx 2 0,
14
поскольку подынтегральная функция — нечетная.
Пример 2.5.
3/2 |
3/2 |
|
03/2 2 5 21sin 23 4 sin02 5 261 5 2, |
7 |
cosxdx 5 2 7 cosxdx 5 21sinx |
|
|
|
|||
|
|||
43/2 |
0 |
|
|
так как подынтегральная функция — четная. |
|||
|
2.6. |
|
|
|
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ |
||
|
В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ |
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], а функция x = (t) непрерывна вместе со своей производ
ной (t) на [t1, t2], множеством значений функции x = (t) |
|||
при t [t1, t2] является отрезок [a, b], причем если a = (t1), |
|||
b = (t2), то |
b |
t2 |
|
|
4f(x)dx 2 4 f(3(t))31(t)dt. |
(19) |
at1
Порядок вычисления:
1) ввести новую переменную с помощью подстановки вида x = (t) или t = (x). Выбор подходящей переменной см. по п. 1.4.1 (табл. 2), п. 1.6, 1.7;