11вопросы к экзамен1
.docxвопросы к экзамену
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА,
гр. 433-5 осенний семестр. 2013/14 уч. год.
Введение в анализ
-
Окрестные точки. Предел функции в точке. Геометрическая интерпретация предела.
-
Предел функции в точке. Теоремы единственности предела и об ограниченности функции, имеющей конечный предел.
-
Предел функции в точке. Теоремы о сохранении знака функции и о переходе к пределу в неравенствах.
-
Предел функции в точке. Теоремы об ограниченности \//(х) и о сжатой переменной.
-
Бесконечно малые функции в точке, их свойства.
-
Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые.
-
Бесконечно малые функции в точке. Бесконечно большие функции в точке, их связь с бесконечно малыми.
-
Предел функции в точке. Бесконечно малая функция в точке. Теорема о связи функции, имеющей конечный предел в точке, с бесконечно малой.
-
Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Теорема о существовании предела монотонной ограниченной последовательности. Число е.
-
Непрерывность функции в точке на отрезке. Теоремы Коши.
-
Непрерывность функции в точке на отрезке. Теоремы Вейерштрасса.
-
Односторонние пределы. Необходимое и достаточное условие существования предела.
-
Непрерывность функции в точке и на отрезке. Точки разрыва, их классификация.
-
Георемы об арифметических операциях над пределами.
Дифференциальное исчисление функций отгаой переменной и неопределенный интеграл
-
Производная функция в точке. Геометрическая и механическая интерпретация производной.
-
Дифференцируемые функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируем ости.
-
Производная функции в точке. Дифференцируемые функции. Непрерывность дифференцируемой функции.
-
Производная функция в точке. Правила дифференцирования суммы произведения и частного.
-
Производная функции в точке. Правила дифференцирования сложной и обратной функции.
-
Дифференцируемые функции. Дифференциал функции. Дифференциал сложной функции, инвариантность его формы.
-
Производные и дифференциалы высших порядков.
-
Теоремы Ферма и Ролля.
-
Теоремы Лагранжа и Коши.
-
Экстремумы функции. Необходимо условие существования экстремума.
-
Экстремумы функции. Достаточное условие существования экстремума.
-
Правило Лопиталя.
-
Направление выпуклости графика функции. Достаточное условие выпуклости графика функции.
-
Точки перегиба. Необходимое условие существования точки перегиба. Достаточное условие существования точки перегиба.
-
Асимптоты графика функции.
-
Полное исследование функции и построение её графика. Пример.
-
Многочлен Тейлора и его свойства.
-
Формула Тейлора. Остаточный член формулы Тейлора.
-
Формула Маклорена для функцийгзшх, созх, е
-
Формула Маклорена для функций: (1 + х)2, 1п(1+х).
-
Первообразная и неопределенный интеграл. Их свойства.
-
Первообразная и неопределенный интеграл. Интегрирование по частям. Замена переменной.
-
Рациональные дроби и их интегрирование.
-
-
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ ПО КУРСУ
-
«АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ» 1 курс, гр. 433-5
-
осенний семестр 2013/2014 уч. год.
-
Связанные и свободные векторы. Коллинеарные, компланарные векторы. Условия коллинеарности и компланарности векторов.
-
Линейные операции над векторами и их свойства. Линейно зависимые и независимые системы векторов.
-
Теоремы о линейной зависимости двух, трех, четырех векторов.
-
Базисы и координаты векторов на прямой, на плоскости и в пространстве. Ориентация базисов. Системы координат. Операции над векторами, заданными координатами.
-
Угол между векторами. Проекция вектора на ось. Координаты вектора как алгебраические проекции на базисные векторы.
-
Скалярное произведение векторов. Определение, свойства, угол между векторами. Условие ортогональности векторов.
-
Скалярное произведение векторов, заданных координатами. Длина вектора.
-
Векторное произведение векторов. Определение, свойства, геометрический смысл.
-
Векторное произведение векторов, заданных координатами в декартовой системе координат. Условие коллинеарности векторов.
-
Смешанное произведение трех векторов. Определение, свойства, геометрический смысл.
-
П. Смешанное произведение трех векторов. Заданных координатами в декартовой системе координат. Условие коллинеарности трех векторов.
-
Плоскость в пространстве. Векторное и координатное уравнение.
-
Векторное уравнение плоскости. Расстояние отточки до плоскости.
-
Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Угол между плоскостями.
-
Прямая в пространстве. Векторно-параметрическое, векторное, каноническое и параметрическое уравнение прямой.
-
Прямая в пространстве как пересечение двух плоскостей. Переход к другим уравнениям прямой.
-
Векторное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.
-
Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между прямыми.
-
Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Нахождение точки их пересечения.
-
Матрицы. Операции над матрицами, их свойства.
-
Определители. Свойства определителей и способы вычисления (на примере определителей третьего порядка).
-
Обратные и обратимые матрицы. Нахождение обратных матриц.
-
Обратимые и обратные матрицы. Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным способом.
-
Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре (формулировка). Элементарные преобразования матриц.
-
Теорема Крамера, Решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера.
-
Совместные и несовместные системы линейных алгебраических уравнений. 'Георема Кронекера-Капелли.
-
Однородные системы линейных алгебраических уравнений, их нетривиальные решения.
-
Исследование систем линейных алгебраических уравнений.
-
Преобразование координат на плоскости и в пространстве. Замена декартова базиса.
-
Ортогональные матрицы. Определение, свойства.
-
Криволинейные координаты на плоскости. Полярная система координат.
-
Криволинейные координаты в пространстве. Цилиндрическая и сферическая системы координат.
-
Линейное пространство. Базис пространства.
-
Линейные отображения и их матрицы.
-
Собственные числа и собственные векторы линейных отображений и матриц.
-
Кривые на плоскости и в пространстве. Касательная к кривой. Кривизна и кручение кривой.
-
Канонические уравнения кривых 2-го порядка: эллипса, гиперболы и параболы.
-
Алгоритм приведения кривой 2-го порядка к каноническому виду.
-
Комплексные числа. Алгебраическая форма. Геометрическая интерпретация. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Формулы Эйлера.
-
Многочлены. Основная теорема алгебры. Теорема Безу и признак делимости на двучлен.
-
Многочлены. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на линейные множители. Разложение многочлена с вещественными коэффициентами на вещественные множители.
-
Рациональные дроби. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби.
-
Поверхности в пространстве. Способы задания. Цилиндрические поверхности.
-
Поверхности второго порядка. Канонические уравнения поверхностей второго порядка.
-
Полугруппы и группы. Абелевы группы. Примеры.
-
Кольца и поля. Примеры.
-