6 Политропические процессы

Политропическими называются процессы, в ходе которых теплоемкость тела остается постоянной.

(2.25)

Найдем уравнение политропы для идеального газа. Учитывая, что

, ,

уравнение (2.5) запишем в виде

или

(2.26)

Из уравнения следует, что

Осуществив такую замену в формуле (2.26), придем к уравнению

откуда

Разделим это уравнение на и учтем, что. В итоге получим

(2.27)

Введем величину

(2.28)

Тогда уравнению (2.27) можно придать вид

,

или

Отсюда следует, что

(2.29)

Это и есть уравнение политропы идеального газа, величина называетсяпоказателем политропы.

Решив уравнение (2.28) относительно , получим формулу для теплоемкостипри политропическом процессе через показатель политропы:

.

Политропическими являются, в частности, процессы изохорический, изобарический, изотермический и адиабатический.

Из формул (2.28) и (2.29)

, (2.30)

следует что

1. для изобарического процесса , тогда, уравнение изобары;

2. для изохорического процесса , тогда. Из уравнения политропы в видеследует, что приэто уравнение переходит в уравнение изохоры;

3. для изотермического процесса , тогда, получим уравнение изотермы;

4. для адиабатического процесса , тогда, уравнение адиабаты.

7 Работа, совершаемая идеальным газом при различных процессах

Если известна для некоторого обратимого процесса зависимость давления газа от объема, т.е. функция , то работа, совершаемая в ходе этого процесса, вычисляется путем интегрирования:

(2.31)

Здесь и- объем газа в начальном и конечном состояниях.

При изохорическом процессе , т.е.и.

При изобарическом процессе , поэтому

(2.32)

При изотермическом процессе , учитывая, что, получим

.

Учитывая, что , работа идеального газа при изотермическом процессе равна

или (2.33)

.

Работа, совершаемая при адиабатическом процессе, проще всего вычисляется из уравнения первого начала термодинамики, так как . Тогда

, (2.34)

т.е. работа совершается за счет убыли внутренней энергии. Интегрирование уравнения (2.34) дает, что

.

Подставив выражение (2.20) для , найдем

.

Напишем эту формулу в виде

Для адиабатического процесса .

Поэтому окончательно

(2.35)

Учитывая, что , получим еще одно выражение для работы

. (2.36)

Подчеркнем, что работа газа при расширении положительна , а при сжатии отрицательна.

8 Классическая теория теплоемкости идеального газа

Молекулярно-кинетическая теория позволяет установить связь между теплоемкостью идеального газа и числом степеней молекул. Ранее отмечалось, что молекулы идеального газа не взаимодействуют между собой. Поэтому внутреннюю энергию одного моля идеального газа можно найти, умножив среднюю энергию одной молекулы на постоянную Авогадро.

Согласно формуле (1.18) . Следовательно

(2.37)

Сравнение выражений (2.12) и (2.37) дает для

. (2.38)

В соответствии с формулой (2.16)

. (2.39)

Отсюда следует, что постоянная адиабаты равна

(2.40)

Таким образом, значение определяется числом и характером степеней свободы молекул идеального газа.

В таблице даны значения ,и, вычисленные для различных молекул по формулам (2.38), (2.39), (2.40).

Таблица Теоретические значения теплоемкости идеального газа

молекула	Число степеней свободы
	посту-патель-ные	враща- тельные	колеба- тельные
одноатомная	3	-	-	3			1,67
двухатомная жесткая	3	2	-	5			1,40
двухатомная упругая	3	2	1	7			1,29
трехатомная жесткая	3	3	-	6			1,33

Развитая теория теплоемкости газов является приближенной и дает хорошие результаты лишь в ограниченном диапазоне температур. Эксперименты показывают, что теплоемкость газов зависит от температуры. На рис. 5 представлена зависимость теплоемкости двухатомного газа от температуры.

Рис. 5

Объяснение характера и причины зависимости теплоемкости газов от температуры дает квантовая механика. Согласно квантовой механике как энергия вращения молекул, так и энергия их колебаний, может изменяться только скачками, причем уровни вращательной энергии разделены энергетическими интервалами примерно на порядок меньшими, чем интервалы между уровнями колебательной энергии .

На рис. 6 представлена схема энергетических уровней двухатомной молекулы: 1 – основной (т.е. самый низкий) колебательный уровень, 2 – первый возбужденный уровень. В промежутке между колебательными уровнями находятся вращательные уровни.

Рис. 6

Обсудим рис. 5. При низких температурах средняя энергия, приходящаяся на одну степень свободы молекулы, меньше первого разрешенного уровня вращательной энергии. Поэтому практически учитывается только поступательное движение (чему соответствуети- участок 1-2).

При повышении температуры и увеличении средней энергии молекулы вовлекаются во вращательное движение (участок 2-3). При температуре в интервале все молекулы, кроме поступательного, совершают еще и вращательное движение:и(участок 3-4). Однако средняя энергия молекул ~все еще меньше, чем(), и поэтому молекулы еще не совершают колебаний.

Молекулы вовлекаются в колебательное движение при дальнейшем повышении температуры (участок 4-5). При температурах () все молекулы участвуют в колебательном движении ии.

Задачи

Задача 1 Идеальный двухатомный газ, находившийся первоначально при температуре С, подвергается сжатию, в результате чего объем газа уменьшается в 10 раз. Считая процесс сжатия адиабатическим, определить, до какой температурынагревается газ.

Решение

Уравнение адиабаты в переменных иимеет вид. Следовательно,

, откуда

.

Для двухатомного газа и постоянная адиабаты.

Подстановка числовых значений дает К илиС.

Задача 2 Идеальный газ расширяется изотермически от объема = 0,1 м³ до объема = 0,3 м³. Конечное давление газа Па. Определить: 1) приращение внутренней энергии газа, 2) совершенную газом работу, 3) количество полученной газом теплоты.

Решение

1. Внутренняя энергия идеального газа равна

Так как процесс изотермический , то, поэтому.

2. Работа, совершаемая идеальным газом при изотермическом процессе, определяется формулой

.

Так как , то. Поэтому

кДж

3. В соответствии с первым началом термодинамики . Следовательно

кДж.

Задача 3 Водород массой = 6,5 г, находящийся при температуре 27⁰ С, расширяется вдвое при за счет притока тепла извне. Найти:

1) работу расширения ;

2) изменение внутренней энергии газа ;

3) количество тепла , сообщенное газу при расширении.

Решение

1) Водород - двухатомный газ, поэтому.

Работа расширения при равна

.

Дж.

2) Изменение внутренней энергии

Учитывая, что , получим

, так что .

Таким образом,

Дж.

3) Количество тепла определим из первого начала термодинамики

Дж = Дж.

Задача 4 Кислород массой 2 кг занимает объем 1 м³ и находится под давлением = 0,2 МПа. Сначала газ был нагрет при постоянном давлении до объема= 3 м³, а затем при постоянном объеме до давления = 0,3 МПа. Найти изменение внутренней энергии газа, совершенную им работуи теплоту, переданную газу. Построить график процесса.

Решение

Изменение внутренней энергии газа

.

Из уравнения Клапейрона – Менделеева найдем начальную и конечнуютемпературу газа

Работа расширения газа при постоянном давлении

, т.к. .

Полная работа

.

Теплота , переданная газу, определяется из первого начала термодинамики.

График процесса приведен на рис.

Приведем вычисления, учитывая, что кислород - двухатомный газ,,.

К

К

Задача 5 В цилиндре под поршнем находится водород массой = 0,02 кг при температуре= 300 К. Водород сначала расширился адиабатически, увеличив свой объем враз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился враз. Найти температуру в конце адиабатического расширения и работу, совершенную газом при этих процессах. Изобразить процесс графически.

Решение

Изобразим график процесса (рис.).

Температура и объемы газа, совершающего адиабатический процесс, связаны между собой соотношением

,

или ,

где для водорода (),;

Отсюда ;К.

Работа газа при адиабатическом расширении может быть определена по формуле

.

или

Дж

Работа газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде

или , где.

Произведем вычисления

Дж

Знак минус показывает, что при сжатии работа совершается над газом внешними силами.

Задача 6 Колебания В закрытом с обоих торцов горизонтальном цилиндре, заполненном идеальным газом с показателем адиабаты , находится поршень массыс площадью сечения. В положении равновесия давление газа равнои поршень делит цилиндр на две одинаковые части, каждая объемом. Найти частотумалых колебаний поршня около положения равновесия, считая процесс адиабатическим и трение ничтожно малым.

Решение

Запишем основное уравнение динамики для случая, когда поршень находится, например, справа от положения равновесия на расстоянии (рис.):

(1)

Из условия следует, что

,

где принято во внимание, что

, т.к. .

Теперь учтем, что

Тогда

.

Подстановка этого выражения в исходное уравнение (1) дает

.

Мы пришли к уравнению гармонических колебаний , из которого следует, что искомая частота

.

Тесты

1. Внутренняя энергия 1 моля инертного газа равна:

1. – ; 2. –; 3. –; 4. –; 5. –.

2. Работа , совершаемая газом за малое время, равна:

1. – произведению давления на время его действия ; 2. – произведению давления на изменение объема; 3. – произведению давления на объем и на время действия давления; 4. – произведению изменения объема на время изменения; 5. – произведению температуры на изменение объема.

3. Показатель политропы при изохорическом процессе равен:

1. – ; 2. –; 3. –; 4. – 0; 5. –. Здесь– коэффициент Пуассона;– удельная теплоемкость при постоянном давлении;– универсальная газовая постоянная.

4. Каково соотношение между отдаваемым количеством теплоты Q и работой A, совершаемой идеальным газом при изотермическом расширении?

1. – Q=A; 2. – Q>A; 3. – Q<A; 4. – Q=0, A>0; 5. – Q=0, A<0.

5. В каких единицах измеряется молярная теплоемкость?

1. – Дж/моль; 2. – Дж/К; 3. – Дж/кг; 4. – Дж/(кг∙К); 5. – Дж/(К∙моль).

6. Изобарический процесс происходит при:

1. – объем V=const; 2. – давление p=0; 3. – теплота неизменна Q=const; 4. – температура постоянна T=const; 5. – p=const.

7. Молярная теплоемкость определяется формулой:

1. – ; 2. –; 3. –; 4. –; 5. –.

8. От каких физических величин не зависит внутренняя энергия тела?

1. – от средней скорости теплового движения молекул в теле; 2. – от количества молекул в теле; 3. – от температуры и массы тела; 4. – от высоты тела над поверхностью Земли и от его скорости.

9. Для получения 900 Дж теплоты 100 г железа охладили на 20°С. Какова удельная теплоемкость железа?

1. – 1800 кДж/(кг∙°С); 2. – 180 кДж/(кг∙°С); 3. – 1800 Дж/(кг∙°С); 4. – 450 Дж/(кг∙°С); 5. – 4,5 Дж/(кг∙°С).

10. Молярные теплоемкости гелия в процессах 1–2 и 1–3 равны С₁ и С₂ соответственно. Тогда составляет…

1. – ; 2. –; 3. –; 4. –.

11. На рисунке схематически представлена температурная зависимость молярной теплоемкости C_v от температуры T для двухатомного газа. Молекула газа ведет себя как система, обладающая тремя поступательными, двумя вращательными и колебательной степенями свободы, на участке…

1. – 1 – 1'; 2 – 2 – 2'; 3. – 3 – 3'.

12. Теплоемкость при постоянном давлении равна:

1. – ; 2. –; 3. –; 4. –; 5. –.

13. Показатель политропы при адиабатном процессе равен:

1. – ; 2. –; 3. –; 4. –; 5. –.

14. Удельная теплоемкость определяется формулой:

1. – ; 2. –; 3. –; 4. –; 5. –.

15. Чему равно изменение внутренней энергии тела, если ему передано количество теплотыи внешние силы совершили над ним работу?

1. – ; 2. –; 3. –; 4. –; 5. –.

16. Газ адиабатно сжимается. Как изменяются при этом температура T и давление p газа?

1. – T и p увеличиваются; 2. – T увеличивается, p уменьшается; 3. – T уменьшается, p увеличивается; 4. – T и p уменьшаются; 5. – T и p не изменяются.

17. На (p, V)-диаграмме изображены два циклических процесса. Отношение работ, совершенных в каждом цикле, A_I/A_II равно:

1.– 0,5; 2. – 2; 3. – (–0,5); 4. – (–2).

18. Средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа при температуре равна. Здесь, где,и– число степеней свободы поступательного, вращательного и колебательного движений молекулы. Для азотаN₂ число равно:

1. – 1; 2. – 7; 3. – 3; 4. – 5; 5. – 6.

19. Показатель политропы при изотермическом процессе равен:

1. – единице (1); 2. – нулю (0); 3. – бесконечности (∞); 4. – половине числа степеней свободы (i/2); 5. – универсальной газовой постоянной R.

20. Выражение pdV (p – давление, dV – изменение объема) в термодинамике может быть представлено как:

1. – приращение импульса; 2. – импульс тела; 3. – мощность газового потока; 4. – полную работу газа; 5. – элементарную работу газа.

21. Работа газа при постоянном объеме может быть вычислена из выражения:

1. – ; 2. –; 3. –; 4. –; 5. –

22. Внутренняя энергия 2 молей идеального одноатомного газа равна 5000 Дж. В результате изотермического расширения газ совершил работу 1000 Дж. Внутренняя энергия газа после расширения равна:

1. – 3000 Дж; 2. – 4000 Дж; 3. – 5000 Дж; 4. – 6000 Дж; 5. – 7000 Дж.

23. Циклический процесс состоит из изотермы, изобары и изохоры. Определите знак работы, совершаемой системой в каждом из процессов.

1. – A₁₂ = 0, A₂₃ < 0, A₃₁ > 0; 2. – A₁₂ > 0, A₂₃ < 0, A₃₁ < 0; 3. – A₁₂ > 0, A₂₃ = 0, A₃₁ < 0; 4. – A₁₂ < 0, A₂₃ < 0, A₃₁ = 0; 5. – A₁₂ > 0, A₂₃ < 0, A₃₁ = 0.

24. Показатель политропы при изобарическом процессе равен:

1. – нуль (0); 2. – единице (1); 3. – теплоемкости при постоянном давлении C_p; 4. – бесконечности; 5. – универсальной газовой постоянной R.

25. Элементарная работа, совершаемая газом, равна:

1. – pdV; 2. – Vdp; 3. – TdV; 4. – Tdp; 5. – pdT.

26. Укажите номер теплового процесса, при котором передача теплоты идеальному газу производится таким образом, что в любой момент времени переданное количество равно работе, совершенной газом.

1. – изохорический; 2. – изобарический; 3. – адиабатический; 4. – изотермический; 5. – такой процесс невозможен.

27. Работу, совершаемую газом при его расширении от объема доможно вычислить по формуле:

1. – ; 2. –; 3. –; 4. –; 5. –.

28. Работа идеального газа равна нулю при…

1. – адиабатическом процессе; 2. – изотермическом процессе; 3. – циклическом процессе; 4. – изохорическом процессе; 5. – изобарическом процессе.

29. Укажите номер теплового процесса, при котором передача теплоты идеальному газу производится таким образом, что в любой момент времени переданное количество равно работе, совершенной газом.

1. – изохорический; 2. – изобарический; 3. – адиабатический; 4. – изотермический; 5. – такой процесс невозможен.

30. Если воздух – идеальный газ, и связь между атомами имеет жесткий характер, то молярная теплоемкость воздуха при постоянном объеме равна:

1. – ; 2. –; 3. –; 4. –; 5. –.

31. На рисунке схематически представлена температурная зависимость молярной теплоемкости C_v от температуры T для двухатомного газа. На участке 3 – 3' молекула ведет себя как система, обладающая…

1.– тремя поступательными, двумя вращательными и колебательной степенями свободы; 2 – тремя поступательными и двумя вращательными степенями свободы; 3. – только тремя поступательными степенями свободы.

32. Определите показатель адиабаты  = C_P/C_V для гелия.

1. – 5/2; 2. – 3/2; 3. – 4/3; 4. – 7/5; 5. – 5/3.

33. Какое из выражений является уравнением Пуассона?

1. – ; 2. –; 3. –; 4. –; 5. –.

34. Укажите, какие изопроцессы представлены на графике (U – внутренняя энергия, V – объем).

1. – 1-изобара, 2-изохора, 3-изотерма; 2. – 1-изохора, 2-изобара, 3-изотерма; 3. – 1-изобара, 2-изотерма, 3-изохора; 4. – 1-изотерма, 2-изохора, 3-изобара; 5. – 1-изохора, 2-изотерма, 3-изобара.

34. Площадь какой из отмеченных фигур соответствует работе, совершаемой идеальным газом в процессе 1 – 2?

1. – А; 2. – В; 3. – С; 4. – D; 5. – Е.

35. В какой строке представлены: уравнения адиабаты, изотермы, Менделеева-Клапейрона?

1. – PV = const, P = nkT, P= const; 2. – P= const, PV = const, PV = mRT/m; 3. – P= const,,; 4. – P = nkT,, PV = mRT/m; 5. – P= const, PV = const, P = nkT.

23