Координатный способ
В этом способе с выбранным телом отсчета жестко связывают определенную систему координат (декартовую, полярную, криволинейную и т.д.).
Рис. 3
Ограничимся декартовой системой координат , , (рис. 1). Изобразим радиус – вектор в этой системе координат (рис. 3).
Запишем вектор , используя орты , , :
(1.6)
где - проекции вектора на координатные оси (также функции времени).
Вектор скорости равен
. (1.7)
Здесь , , - компоненты скорости, т.е. проекции вектора на координатные оси.
Таким образом,
(1.8)
Модуль вектора скорости равен
(1.9)
Направление вектора задается направляющими косинусами по формулам
, , , (1.10)
где - углы между вектором и осями соответственно.
Дифференцируя формулу (1.7) по времени, получим выражение для ускорения
(1.11)
где , , - компоненты ускорения, т.е. проекции вектора на координатные оси.
Модуль вектора ускорения и его направление определяется аналогичными формулами (1.9) и (1.10).
Таким образом, зная зависимость координат от времени , , - закон движения точки, можно найти , , , а также решить ряд других вопросов: найти траекторию точки, зависимость пройденного пути от времени, зависимость скорости от положения точки и т.д.
Например, зная модуль скорости , можно вычислить путь, пройденный частицей от момента времени до момента времени . Согласно (1.3) . Проинтегрировав это выражение по времени от до , найдем путь за это время:
. (1.12)
«Естественный» способ
Этот способ применяют тогда, когда траектория точки известна заранее. Положение точки задается дуговой координатой - расстоянием вдоль траектории от выбранного начала отсчета (рис. 4).
Скорость точки Введем единичный вектор , связанный с движущейся точкой и направленный по касательной к траектории.
Вектор скорости направлен по касательной к траектории, поэтому
(1.13)
где - модуль вектора скорости.
Рис. 4
Ускорение точки Изменение вектора скорости может происходить как по величине, та и по направлению, поэтому, продифференцировав (1.13) по времени, будем иметь в выражении для ускорения два слагаемых:
(1.14)
Затем преобразуем второе слагаемое:
. (1.15)
Определим приращение вектора на участке (рис. 5), учитывая, что = 1.
Как видно из рис. 5, угол
, откуда , причем при и . Здесь - радиус кривизны траектории в данной точке 1, - центр кривизны.
Рис. 5
Введя единичный вектор нормали траектории в точке 1, направленный к центру кривизны, запишем последнее равенство в векторном виде:
. (1.16)
Подставим (1.16) в (1.15) и полученное выражение в (1.14).
В результате найдем
, или (1.17)
, где
- называют тангенциальным (т.е. касательным) ускорением, оно характеризует быстроту изменения модуля скорости,
- называют нормальным ускорением, оно характеризует быстроту изменения направления скорости.
Таким образом, полное ускорение точки может быть представлено как векторная сумма тангенциального и нормального ускорения.
Модуль полного ускорения точки
. (1.18)