- •Часть 1.
- •Что требуется?
- •Теорема е. М. Райта
- •Простые числа Мерсенна и Ферма
- •Скатерть Улама
- •Экспоненциальный многочлен Джулии Робинсон
- •Что мы должны сделать?
- •Что такое простое число?
- •Как вычислить факториал?
- •Биномиальные коэффициенты — это коэффициенты бинома!
- •Дальнейшие шаги
- •Темы для размышлений
Лекция №4
Часть 1.
Простые числа, генерация больших простых чисел, проверка на простоту.
!!! Предлагается ознакомиться с материалом на стр 1-14 самостоятельно для общей эрудиции, весьма любопытные и интересные сведения. Автор Ю.Матиясевич !!!
Что требуется?
Простые числа разбросаны в натуральном ряду очень прихотливым образом, и не удивительно, что издревле математики стремились найти «формулу для простых чисел». Такими формулами можно называть формулы, обладающие разными свойствами, и здесь очень важно понять, что нам требуется на самом деле.
Самая простая формула для простых чисел выглядит, по-видимому, так:
p = pn , |
(1) |
где pn обозначает n-е простое число. Чем же эта формула не устраивает нас? Дело в том, что правая часть этого равенства вычисляется слишком сложным образом — попробуйте, например, самостоятельно найти p1975! Мы же хотим получить аналогичную формулу с возможно более простым способом вычисления правой части (однако, как мы увидим, простота вычислений — понятие совсем не очевидное). Это, так сказать, программа-максимум.
Ради простоты формулы можно отказаться от требования явной зависимости от номера n и искать формулы, дающие простые числа, быть может, не по порядку. Далее, можно отказаться от желания задать одной формулой сразу все простые числа и требовать только того, чтобы формула давала бесконечно много простых чисел. Можно, наконец, допустить, чтобы эта формула давала наряду с бесконечно многими простыми числами и некоторые составные числа. Это — программа-минимум.
Формулы, кажущиеся очень простыми, на деле могут оказаться не лучше формулы (1). Именно к таким примерам мы сейчас и переходим.
Теорема е. М. Райта
В 1947 году В. X. Миллс опубликовал следующий результат:
Существует вещественное число λ такое, что при любом n = 1, 2, ... число
[ λ3ⁿ ] |
(2) |
является простым .
Впоследствии появился ещё ряд формул такого же типа. Однако все это были результаты, формулировка которых выглядит заманчивой и многообещающей, но доказательство разочаровывает. Тому, кто хочет понять, почему это так, мы предлагаем разобраться в доказательстве следующей теоремы Е. М. Райта:
Существует вещественное число μ такое, что всякое число вида
|
(3) |
является простым.
Ключевым пунктом в доказательстве теоремы Райта является так называемый постулат Бертрана. Согласно этому постулату при x≥4 между x и 2x–2 всегда есть простое число. Эту гипотезу впервые высказал французский математик Бертран: доказать её он не смог, а потому использовал в своих рассуждениях в качестве недоказуемого постулата. Доказательство гипотезы Бертрана было найдено впоследствии выдающимся русским математиком П. Л. Чебышёвым.
Чтобы найти нужное число μ выберем сначала последовательность простых чисел q1, q2, ..., такую, что при любом n=1, 2, ...
|
(4) |
(В качестве q1 можно взять любое простое число, возможность же неограниченного продолжения последовательности {qn} с соблюдением неравенства (4) гарантирует постулат Бертрана.)
Обозначим для краткости число
22 |
...2 |
α |
где берётся n возведений в степень, через exp2nα, a обратную функцию,
log2 log2 ... log2 β
— через log 2nβ.
Попробуем выбрать число μ так, чтобы при n=1, 2, ...
[exp2nμ] = qn . |
(5) |
Согласно определению целой части числа равенство (5) эквивалентно неравенству
qn ≤ exp2nμ < qn + 1.
Прологарифмировав его n раз по основанию 2, получим ещё одно двойное неравенство, эквивалентное (5):
log 2nqn ≤ μ < log 2n(qn + 1). |
(6) |
Проверьте сами, что из (4) следует
log 21q1 < log 22q2 < ... < log 2nqn < log 2n+1qn+1 < ... ... < log 2n+1(qn+1 + 1) < log 2n(qn + 1) < ... < log 22(q2 + 1) < log 21(q1 + 1).
Таким образом, последовательность
log 21q1, log 22q2, ..., log 2nqn, ...
строго возрастает и ограничена сверху; следовательно, она имеет предел. Его-то мы и возьмём в качестве числа μ; докажите, что так выбранное μ удовлетворяет даже более сильному, чем (6), неравенству
log 2nqn < μ < log 2n(qn + 1), |
(7) |
и, следовательно, равенство (5) справедливо. Теорема Райта доказана.
Основным недостатком формул (2) и (3) является то, что они (точнее, их доказательства) не дают никакого способа находить новые простые числа, ибо чтобы вычислить какое-либо простое число по формулам (2) или (3), нужно числа λ и μ знать с достаточной точностью. Таким образом, формулы (2) и (3) в некотором смысле являются всего лишь замаскированными (и ухудшенными) вариантами формулы (1). Кроме того, вид формул (2) и (3) на самом деле почти ничего не говорит именно о множестве простых чисел. Из доказательства теоремы Райта видно, что формулы, аналогичные (2), (3), можно указать для любого «достаточно густого» множества.
Недостатки формул (2) и (3) порождены тем, что в них входят вещественные числа λ и μ, задаваемые неким косвенным образом. В дальнейшем мы будем рассматривать лишь формулы, в которые входят только целочисленные коэффициенты. Такие формулы обладают важным преимуществом: они могут быть (в принципе) выписаны явно.