Решение задачи

а) Конечные особые точки функции

ez

- нули ее

(z −1)3 (z + 2)

знаменателя.

При

этом,

z1 =1 -

ноль

третьего

порядка,

а

z2 = −2 - ноль первого порядка. Следовательно, точки

z1 =1 и

z2 = −2

-полюсы третьего и первого порядков соответственно.

Тогда

ez

1

(z −1)3 ez

''

1

ez

''

res

=

lim

=

lim

=

(z +2)

z1 =1

(z −1)3

(z +

2)

2! z

→1 (z −1)3 (z +2) z

2 z→1

z

1

ez (z +1)

'

1

ez (z2 +2z +2)

1 5e

5e

lim

=

lim

=

3 =

,

(z

2

3

2 3

54

2 z→1

+2)

z

2 z

→1

(z +2)

res

ez

= lim

(z + 2)ez

= −

e−2

.

(z −1)3 (z + 2)

(z

−1)3 (z + 2)

27

z2 =−2

z→−2

б) Конечная

особая точка

функции

f (z)=

ez

−1

- точка

z3

z0 = 0 - полюс второго порядка, так как

ez

−1

~

z

=

1

.

z3

z 2

Следовательно,

z→0 z3

(e

e

z

−1

z

2

z

'

z

−1

'

res

−1)

e

=

3

= lim

z

3

= lim

z

z0 =0 z

z

→0

z

z→0

z

= lim

ez z −(ez −1)

=

0

.

z 2

z→0

0

Для вычисления этого предела воспользуемся правилом Лопиталя, т. е.

26