Метод 3. Интегрирование по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид:

∫udv = u v − ∫v du .

Этот метод используется чаще всего для интегралов

специального	вида	∫Рп (х) f (x) dx ,	где	Pn (x)	многочлен
степени n , а	f (x)	такая функция,	что	интеграл	∫ f (x)dx

является табличным или легко сводится к такому. В таблице 3 приведены основные типы интегралов, для которых используется этот метод.

						Таблица 3.
	f (x)				u	dv
	sin αx			Pn (x)		sin αx dx
	cos αx			Pn (x)		cos αx dx
	eαx			Pn (x)		eαx dx
	aαx			Pn (x)		aαx dx
	ln k x ,	где		ln k	x	Pn (x)dx
	п ≠ −1
	arcsin k αx			arcsin k αx		Pn (x)dx
	arccosk αx			arccosk αx		Pn (x)dx
	arctgk	αx		arctgk αx		Pn (x)dx
	arcctgk αx			arcctgk αx		Pn (x)dx
				Задача 1.1
Вычислить интеграл ∫				dx	.
				2
			7x +7

6

Справочный материал

Для нахождения интегралов данного типа необходимо с помощью элементарных преобразований привести интеграл к табличному виду.

Решение задачи 1.1

∫	dx	= ∫	dx
				.
	7x2 +7		7(x2 +1)

По свойству интеграла (см. компендиум по этой теме), постоянный множитель можно вынести за знак интеграла. Полученный интеграл является табличным и его можно вычислить по формуле (10).

	dx		1		dx		1	arctgx +C .
∫		=		∫		=
	7(x2 +1)		7		(x2 +1)		7

Задача 1.2

Вычислить интеграл ∫7 (x + 2)3 dx .

Решение задачи 1.2

Используя свойство дифференциала (см. компендиум по этой теме), имеем dx = d(x + 2) . Тогда исходный интеграл можно записать в виде

3

∫7 (x + 2)3 dx = ∫7 (x + 2)3 d(x + 2)= ∫7 u3 du = ∫u 7 du .

Полученный интеграл является табличным, см. формулу (1).

	3				3		+1					10
			u 7							7					7	10
	7											7
∫u		du =						+C =			u		+C =			(x + 2)	7	+C .
			3						10					10
						+1
			7

7

Задача 2

Вычислить интеграл ∫cos7 sinx dxx .

Справочный материал

Для нахождения интегралов данного типа используется метод подведения под знак дифференциала. Все необходимые формулы приведены в таблице 2.

Решение задачи 2

Используя свойство	дифференциала cos xdx = d(sin x) ,
исходный интеграл можно записать в виде
∫ cos x dx = ∫		d sin x .
7	sin x	7 sin x
Введем обозначение	sin x =u ,	тогда интеграл запишется в

виде ∫ 7duu = ∫u−17 du . Полученный интеграл является табличным интегралом, его можно вычислить по формуле (1).

	1		u	−		1		+1		6				6
∫u −		du =			7				+C =	7	u		+C =		7	sin		x +C .
	7											7					7
					1					6				6
			−				+1
					7
													Задача 3
Вычислить интеграл ∫													x3	dx .
													4 − x8

Справочный материал для задач 3, 4, 5

Задачи этого типа похожи на задачу 2, рассмотренную в предыдущем пункте, но они более сложные. Для нахождения интегралов здесь также используется метод подведения под знак

8

дифференциала. Иногда требуется предварительно произвести некоторые алгебраические преобразования исходного интеграла.

Решение задачи 3

По свойству дифференциала x3 dx = 14 dx4 , тогда исходный интеграл можно записать в виде

∫

x3

dx =

1

∫

dx4

=

1

∫

du

.

4

− x8

4

−(x4 )2

4

4 −u 2

4

Полученный интеграл является табличным интегралом, его можно вычислить по формуле (11).

1		du		1	u		1	x4
4	∫	4 −u 2	=	4 arcsin	2	+C =	4 arcsin	2 +C .

Задача 4

dx

Вычислить интеграл ∫ x ln3 x .

Решение задачи 4

Используя свойство				дифференциала					1	dx = d(ln x) ,
исходный интеграл можно записать в виде									x
∫	dx			= ∫	d ln(x)	= ∫	du	.
	3	x			3		3
	x ln				ln x		u

Полученный интеграл является табличным интегралом, формула

(1).

∫	du		= ∫u	−3	du =	u−2	+C = −	1			+C .
	u	3				− 2		2 ln	2	x

9

Задача 5.1

Вычислить интеграл ∫ xx−+93 dx .

Решение задачи 5.1

Выполним предварительно алгебраические преобразования подынтегральной функции

∫	x −9	dx = ∫	( x +3)( x −3)dx = ∫(	x −3)dx .
	x +3		x +3

Используя свойства интеграла его можно записать в виде

∫ xdx − ∫3dx .

Каждый из полученных интегралов является табличным.

	1				3
	∫ xdx − ∫3dx = ∫x 2 dx − ∫		3x0 dx =		2	x 2	−3x + C .
					3
		Задача 5.2
	Вычислить интеграл ∫	1	dx .
			+	х

Справочный материал

Для решения задач такого типа требуется замена переменной.

Решение задачи 5.2

Для вычисления интеграла используем метод – интегрирование посредством замены переменной. Положим x = t 2 , тогда dx = 2tdt . Подставим в интеграл

∫		dx		= ∫	2tdt		= ∫	2(t +1 −1)			dt =
	1	+	х		1 +t
								1 +t
				2			= 2(t −ln			)+C.
= ∫ 2			−			dt			1 +t
				1 +t

Возвращаясь к исходной переменной, получим

10

2t −ln1 +t +C = 2 х − 2 ln1 + х +C .

Задача 6

Вычислить интеграл ∫ lnxx dx .

Справочный материал для примеров 6-7

Для нахождения интегралов данного типа используется метод интегрирования «по частям». Напомним, что формула

интегрирования по частям имеет вид: ∫udv = u v − ∫v du .

Основные приемы, связанные с интегрированием «по частям» приведены в таблице 3.

Решение задачи 6

Данный интеграл имеет вид ∫хп ln k x dx , где п ≠ −1. Такие интегралы берутся «по частям». За функцию u(x) принимается

ln k		x и применяется k раз формула интегрирования по частям.
В нашем случае						k =1 ,	поэтому формулу интегрирования «по
частям» здесь достаточно использовать только один раз.
								1
∫	ln x		dx =	u = ln x		du = x dx			=
		x			dx	v = ∫	dx
				dv =	x		x	= 2	x
= 2 x ln x − 2∫ x						1dx = 2 x ln x − 2∫ 1 dx = 2 x ln x − 4 x + C .
						x			x

Задача 7

Вычислить интеграл ∫x2 arctg2 x dx .

11

Решение задачи 7

Данный интеграл относится к виду ∫хп arctg k x dx . Такие интегралы берутся «по частям». За функцию u(x) принимается

arctg k x

и применяется

k

раз

формула

интегрирования по

частям. В нашем случае

k = 2 ,

формулу интегрирования «по

частям» здесь достаточно использовать два раза.

u = arctg 2 x

du = 2arctgx dx

∫x arctg

2

xdx =

1 + x2

x

2

=

dv = xdx

v = ∫xdx =

2

= arctg 2 x

x2

− ∫

x2

2arctgx

dx = arctg 2 x

x2

− ∫

x2

arctgxdx .

2

2

1

2

2

1 + x

2

+ x

Применим ко второму интегралу еще раз формулу

интегрирования по частям.

x2

u = arctgx

du =

1

dx

∫

arctgxdx =

1 + x2

.

1

+ x

2

dv =

x

2

dx

v = ∫

x

2

dx

+ x

2

1 + x

2

1

x2

Вычислим интеграл ∫1+ x2 dx отдельно, сделав предварительно

некоторые алгебраические преобразования. Сначала добавим и вычтем 1 в числителе, а затем разобьем исходный интеграл на два табличных интеграла.

x2

x2 +1 −1

1

1

∫

dx = ∫

dx = ∫ 1

−

dx = ∫dx −∫

dx =

1

+ x

2

1 + x

2

1 + x

2

1 + x

2

= x − arctgx .

Отсюда

12

x2

u = arctgx

du =

1

dx

∫

arctgxdx =

1 + x2

=

1

+ x

2

dv =

x

2

dx

v = x − arctgx

1 + x2

=arctgx (x − arctgx)− ∫(x − arctgx)1 +1x2 dx =

=arctgx (x − arctgx)− ∫1 +xx2 dx + ∫ arctgx1 + x2 dx.

Применив метод подведения под знак дифференциала последние два интеграла, можно вычислить

− ∫

x

dx + ∫

arctgx

dx = −

1

∫

d(1 + x2 )

+ ∫arctgx d(arctgx)=

2

2

2

1 + x

1 + x

2

1 + x

= −

1

ln

1 + x

2

+

arctg 2 x

+ C.

2

2

Окончательный ответ

∫x arctg 2 xdx = arctg

2 x

x2

−

∫

x2

arctgxdx =

2

1

2

+ x

= arctg 2 x

x2

− arctgx (x − arctgx)+

1

ln

1 + x2

−

arctg 2 x

+ С =

2

2

2

= arctg 2 x

x2

−arctgx x +

1 ln

1 + x

2

+ arctg 2 x

+C .

2

2

2

Задача 8

Вычислить интеграл ∫

5x3

+9x2 −

22x −8

dx .

(x2 − 4) x

Справочный материал

В данном интеграле подынтегральная функция является дробно-рациональной функцией, то есть представляет собой рациональную дробь вида

13

P		(x)		B	xn + B xn−1	+K+ B	n
n			=	0	1			.
Q		(x)		A xm + A xm−1
	m					+K+ A
				0	1		m

Метод интегрирования рациональных дробей сводится к разложению подынтегральной функции на сумму элементарных дробей, интегралы от которых являются табличными интегралами.

Если знаменатель дроби можно разложить на множители

Q

m

(x) = (x − a)K(x −b)k K(x2 + p x + q ) K (x2

+ p

2

x + q

2

)m

1

1

где

(x2 + p x + q ) и (x2 + p

2

x + q

2

)

не имеют вещественных

1

1

корней, то правильная дробь

Pn (x)

,

где т < n ,

может быть

Q (x)

m

представлена в виде суммы элементарных дробей:

	Pn (x)	=	A	+K+	B1	+	B2	+K+	Bk	+K+
	Qm (x)		x − a		(x −b)		(x −b)2		(x −b)k

+

Сx + D

+K+

M1x + N1

+K+

M m x + Nm

)

)m

x2 + p x + q

(x2 + p

2

x + q

2

(x2 + p

2

x + q

2

1

1

Приведем примеры элементарных или простейших дробей.

A

1. x −a ,

		B
2.			, ( k - целое положительное число)
		(x −b)k
3.		Mх+ N		(дискриминант D =		p2	− q < 0 ),
		x2 + px + q				4
4.		Mx + N			( D < 0 и k -	целое положительное

(x2 + px + q)k

число).

Интегралы от этих дробей имеют вид:

1. ∫ x −Aa dx = A ln x −a +C .

14

2.

∫

B

dx

= B

(x −b)−k +1

+C .

(x

−b)

k

− k +1

3.

∫

Mх+ N

dx =

x

2

+ px + q

M

x2 + px + q

Mp

1

arctg x +

p

=

ln

+ (N −

)

2

+C .

2

2

q −

p2

q −

p2

4

4

4.

∫

Mх+ N

dx .

(x

2

+ px + q)

m

Интегрирование простейших дробей этого типа требует более сложных вычислений. Мы не будем здесь подробно рассматривать вычисления, связанные с интегрированием дробей данного типа, так как эти вычисления приведены в компендиуме по данной теме. Приведем окончательную формулу.

∫

Mх+ N

dx =

(x

2

+ px + q)

m

=

M

1

+ (N −

Mp

)∫

dt

2

(x

2

+ px + q)

m−1

(1

− m)

2

(t

2

2

)

m

+ a

14243

Im

Вычисление последнего интеграла сводятся к рекуррентным соотношениям вида

Im =	t	+	2(m −1) −1	Im−1 .
	2(m −1)a2 (t 2 + a2 )m−1
			2(m −1)a2

Если дробь неправильная, предварительно следует выделить целую часть этой дроби. Неправильную рациональную дробь всегда можно представить в виде суммы рационального

15

выражения (многочлена) и правильной рациональной дроби, то

есть рациональная дробь			Pn (x)		при n ≥ m представима в виде:
			Qm (x)
	Pn (x)	= M (x)+		Tk (x)
						, где k < m .
	Qm (x)			Qm (x)

Такое представление неправильной рациональной дроби и называется выделением целой части.

Решение задачи 8

В нашем примере степень числителя и знаменателя одинакова и равна 3. Следовательно, предварительно необходимо выделить целую часть рациональной дроби. Рассмотрим подынтегральную функцию:

5x3 +9x2 − 22x −8	=	5x3	+9x2 − 22x −8
(x2 − 4) x			x3 − 4x

Выделение полной части рациональной дроби можно осуществить путем деления многочленов.

5x3 +9x2 −22x −8					x3 − 4x
–					5
5x3		− 20x
	9x2	− 2x −8
Таким образом
	5x3 +9x2 − 22x −8		= 5 +		9x2 − 2x −8
						.
	(x2 − 4) x				(x2 − 4) x

Полученную неправильную рациональную дробь разложим на простейшие дроби. Знаменатель можно представить в виде

(x2 − 4) x = (x − 2)(x + 2)x . Следовательно, дробь представима в виде

9x2 − 2x −8 A				B		C
	=		+		+		.
(x2 − 4) x		x		x − 2		x + 2

16

Приведем выражение, стоящее в правой части равенства к

общему знаменателю									A(x2 − 4)+ Bx(x + 2)+Cx(x − 2)
	9x2 − 2x −8	=	A	+	B	+	C	=
	(x2 − 4) x		x		x − 2		x + 2		(x2 − 4) x

Отсюда получим тождество

9x2 − 2x −8 = A(x2 − 4)+ Bx(x + 2)+ Cx(x − 2).

Коэффициенты A, B, C можно найти двумя способами.

1 способ. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях тождества.

Коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях тождества должны быть равны:

x2	9	=	A + B +C
x1	–2	=	2B − 2C
x0	–8	=	−4 A

Таким образом, для нахождения коэффициентов получена система линейных алгебраических уравнений, решив которую найдем неизвестные коэффициенты.

A + B +C = 9

2B − 2C = −2 .− 4 A = −8

Отсюда A = 2 , B = 3 , C = 4 .

2 способ. Придавая переменной х конкретные значения. Подставим значение х = 2 в полученное тождество

9x2 − 2x −8 = A(x2 − 4)+ Bx(x + 2)+ Cx(x − 2),

определим B = 3 .

Подставив значение х = −2 определим C = 4 , и, наконец,

подставив х = 0 , определим A = 2 .
Теперь исходный интеграл запишется в виде:
	5x3 +9x2 − 22x −8				2		3			4
∫		dx =	∫	5 +		+		+			dx =
	(x2 − 4) x				x		x − 2			x + 2

17

= 5x + 2 ln x +3ln x − 2 + 4 ln x + 2 +C .

Полученный интеграл можно записать в более компактном виде, используя свойства логарифма.

	5x3 +9x2 −22x −8			2	3	4
∫		dx = 5x +ln	x		(x −2) (x + 2)		+C .
	(x2 −4) x

Задача 9

2x −3

Вычислить интеграл ∫ x3 −1 dx .

Справочный материал

В данном интеграле подынтегральная функция так же является дробно-рациональной функцией, и представляет собой правильную рациональную дробь, в отличие от примера, рассмотренного в предыдущем пункте. Метод решения – разложение подынтегральной функции на простейшие рациональные дроби. Этот метод был изложен в предыдущем пункте.

Решение задачи 9

Знаменатель

можно

представить

в

виде

x3 −1 = (x −1)(x2 + x +1). Следовательно, дробь представима в

виде

2x −3

A

Mx + N

=

+

.

x −1

x2 + x +1

x3 −1

Приведем выражение, стоящее в правой части равенства к

общему знаменателю

A(x2 + x +1)+(Mx + N )(x −1)

2x −3

A

Mx + N

=

+

=

x3 −1

(x −1)

x2 + x +1

x3 −1

Отсюда получим тождество

2x −3 = A(x2 + x +1)+(Mx + N )(x −1).

Коэффициенты

при

одинаковых

степенях x в

обеих

частях

тождества должны быть равны:

18

x2	0	=	A + M
x1	2	=	A − M + N
x0	-3	=	A − N

Таким образом, для нахождения коэффициентов получена система линейных алгебраических уравнений, решив которую найдем неизвестные коэффициенты.

A + M = 0
	= 2 .
A − M + N
A − N = −3

Выразим коэффициенты

M и

N через

A и подставим их во

второе уравнение

3A = −1 или A = −1/ 3 ,

M =1/ 3 , N = 8 / 3 .

Теперь исходный интеграл запишется в виде:

2x −3

−1/ 3

x / 3 +8 / 3

1

dx

x / 3 +8 / 3

∫

dx =

∫

+

dx = −

∫

+ ∫

dx

x

3

−1

x

2

3

x −1

x

2

+ x +1

x −1

+ x +1

Первый из интегралов является табличным, формула (2). Второй интеграл можно вычислить двумя способами.

1 способ. Второй интеграл представляет собой интеграл типа 3 (см. справочный материал к задаче 8), поэтому можно применить формулу.

∫

Mх+ N

dx =

x2

+ px + q

=

M

ln

x2 + px

+ q

+ (N −

Mp

)

1

arctg

x +

p

+C .

2

2

2

q −

p2

q −

p2

4

4

В нашем случае

(N −

Mp

) =

8

−

1

=

5

,

1

=

1

=

2 .

2

3 6 2

q −

p2

1

−1/ 4

3

4

x / 3 +8 / 3

1

2

5

2x +1

∫

x2

+ x +1dx =

6 ln x

+ x

+1 +

3 arctg

3

.

19

	2x −3	1		1		2			5	2x +1
∫	x3 −1dx = −	3 ln x −1	+	6 ln x			+ x +1 +		3 arctg	3	.
2	способ.	Выделение			полного			квадрата в		знаменателе

подынтегрального выражения.

Представим x2 + x +1 в виде полного квадрата.

	2		2		1		1 2			1 2			1		2	3
x		+ x +1 = x		+ 2		x +			−			+1 = x +			+		.
					2		2			2			2			4

Тогда интеграл можно переписать в виде:

																																			1							15
	x / 3 +8 / 3																					1						х			+									+
																																			2									2
∫													dx					=								∫																							dx =
	2																					3																	2
	x						+ x +1																												1										3
																												x			+										+
																																			2										4
																1
		1							х +																							5													1
																2
=						∫																				dx +										∫																					dx.
	3										1					2						3									2																1					2		3
								x +											+																					x		+											+
											2											4																																4
																																															2
Рассмотрим первый из интегралов
												1
1								х+																						1															1															1		2		3
												2
3		∫								1			2						3					dx =						6				∫										1							2			3		d			x +	2			+	4		=
					x +											+																					x				+												+
										2									4																										2									4
	1														1						2						3								1					ln(x					2			+ x +1).
=						ln			x		+											+									=
	6														2												4									6

Второй из интегралов – табличный, формула (12).

20

5		1					5		2	2x +1		5	2x +1
	∫		2		3 dx =		2		3 arctg		=	3 arctg		.
2		1								3			3
	x +			+
		2			4

Таким образом,

	x / 3 +8 / 3	1	2			5	2x +1
∫	x2 + x +1dx = 6 ln x			+ x +1	+	3 arctg	3	.
Окончательный ответ
	2x −3	1		1	2		5		2x +1
∫	x3 −1dx = −	3 ln x −1		+ 6 ln x		+ x +1 +	3 arctg		3	.
				Задача 10
	Вычислить интеграл ∫x				x + 4 dx .
		Справочный материал

В данном примере подынтегральная функция содержит иррациональное выражение. Метод решения здесь: применение подходящей замены. Обычно замену выбирают так, чтобы избавиться от иррационального выражения.

Решение задачи 10

Введем новую переменную x + 4 = t 2 . Отсюда x = t 2 − 4 , dx = 2tdt . Подставим полученные выражения в интеграл

	∫x	x + 4 dx = ∫(t 2 −4)2t			2 dt = 2∫(t 4 − 4t 2 )dt =			2t5	−	8t3	+C.
								5		3
	Вернемся к исходной переменной
	∫x	x + 4 dx ==	2(x + 4)5		−	8(x + 4)3	+C.
		5			3

Задача 11

21

dx

∫ 8 −4 sin x +7 cos xdx .

Справочный материал

В данном примере подынтегральная функция имеет вид ∫R(sin x, cos x)dx , где R(sin x, cos x) ― рациональная функция от

sin x и cos x . Метод решения здесь основан на применении так называемой универсальной подстановки

tg 2x = t , или x = 2 arctg t .

Тогда

	2dt						2 tg					х							2t
dx =		, sin x =										2				=				,
														х
	1 +t 2				1 + tg 2												1		+t 2
													2
	cos x =		1	− tg	2		х			=	1		−t 2				.
							2
				+ tg	2								+t 2
		1					х		1
							2

Таким образом, данная подстановка, приводит исходный интеграл от тригонометрических функций sin x и cos x к интегралу от рациональной функции новой переменной t .

2t

1 − t2

2dt

∫R

1

+ t

2 ,

1 + t

2

1 + t

2 .

Решение задачи 11

Применив универсальную подстановку, получим

∫

dx

= ∫

1

2dt

=

8

−4 sin x +7 cos x

2t

1 −t

2

1 +t

2

8 −4

+7

+t 2

2

1

1 +t

22

= ∫			2dt	dt = ∫	2dt		.
	t	2	−8t +15		(t −3)(t −5)

Таким образом, интеграл от тригонометрических функций свелся

к интегралу от рациональной дроби.

Разложим подинтегральную функцию на простейшие дроби

2

=

A

+

B

=

A(t −5)+ B(t −3)

.

(t −3)(t −5)

t −3

t −5

(t −3)(t −5)

Отсюда

2 = A(t −5)+ B(t −3).

Подставим в ту формулу t = 5 ,

получим B =1, подставим в ту

формулу t = 3, получим A = −1. Таким образом,

∫

2dt

= ∫

dt

− ∫

2dt

= ln

t −5

−ln

t

−3

+C =

(t −3)(t −5)

(t

−

5)

(t −3)

.

= ln

t −5

.

t −3

Возвращаясь к исходной переменной, получим:

	dx				tg		x	−5
						2
∫		dx = ln								+C .
	8 −4 sin x +7 cos x				tg		x	−3
						2
					Задача 12
			3					dx
	2
	Вычислить интеграл ∫				(x	2 +16) 9 − x2
	0

23

Справочный материал

В данном примере требуется найти значение определенного интеграла. Для вычисления определенных интегралов используется формула Ньютона-Лейбница

b

∫ f (x)dx = F(b) − F(a) ,

a

где F( x) есть какая-либо первообразная для функции f ( x) .

Подынтегральная функция имеет вид ∫R(x, a2 − x2 )dx , где

R( x, a2 − x2 ) ― рациональная функция своих аргументов.

Метод решения здесь основан на применении подстановки x = asin t . Тогда dx = a cos tdt .

Решение задачи 12

1 способ. Рассмотрим сначала неопределенный интеграл. Применив подстановку x = 3sin t ,

тогда 9 − x2 = 9 −9 sin 2 t = 3 1 −sin 2 t = 3cos t

получим

dx	= ∫	3cos tdt	= ∫	dt
∫ (x2 +16) 9 − x2
		(9 sin 2 t +16)3cos t		9 sin 2 t +16

Представим в знаменателе число 16 в виде

16 =16(sin 2 x + cos2 x) , и вынесем cos2 x за скобку, получим

∫			dt			= ∫	d(tgt)	=	1	∫			d(tgt)			=
	(25tg 2 t +16)cos2 t						25tg 2 t +16		25			2	4		2
											tg		t +
													5
	1		5
=			arctg		tgt .
	20
			4

Возвратимся к исходной переменной. Найдем сначала

24

tgt = sin t					sin t							x							x .
				=						=	3					=
			cos t		1 −sin			2	t	1 −				x	2			9 − x				2
Получим:											9
3																				3
2			dx					1								5x					2		1		5
∫							=			arctg												=		arctg		.
	(x	2	+16)			2		20										2					20		8 3
0				9	− x						4 9 − x										0

2 способ. Можно интегрировать непосредственно определенный интеграл. В этом случае нужно пересчитать

пределы интегрирования.												При x = 0 ,		имеем 3sin t = 0 , отсюда
t = 0 . При x =						3 , имеем 3sin t = 3							, отсюда t =			π .
3						2			π			2				6
2			dx						6			3cos tdt
∫0							=		∫0						=
	(x2 +16)			9 − x2						(9sin2 t +16)3cos t
	1			5				π			1		5
=			arctg		tgt			6	=			arctg		.
	20		4					0			20		3
												4

Задача 13

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = −x , y = 2x − x2 .

Справочный материал

Определенный интеграл используется для нахождения площадей плоских фигур. Площадь криволинейной трапеции,

ограниченной кривыми y = f1 (x) , y = f2 (x) и прямыми x = a , x = b (рис.1), равна

. S = ∫b (f1 (x)− f2 (x))dx .

a

25

y = f1 (x) y = f2 (x)

Рис.1 Площадь криволинейной трапеции

Решение задачи 13

В данном случае фигура ограничена двумя линиями – прямой и параболой.

y

0

2

x

Рис. 2.

Для определения пределов интегрирования найдем точки пресечения этих кривых. Они находятся как решения уравнения f1 (x) = f2 (x) .

26

Для определения пределов интегрирования найдем точки пресечения этих кривых. Они находятся как решения уравнения

f	1	(x) = f				2		(x) . В нашем случае f (x) = 2x − x2							,	f	2	(x) = −x . Для
														1
определения точек пересечения имеем уравнение:
− x = 2x − x2 ,												или 3x − x2 = 0 . Решая уравнение, находим
x1 = 0, x2								= 3 . Следовательно, a = 0, b = 3 .
Осталось вычислить определенный интеграл
S = ∫b (f1 (x)− f2 (x))dx = ∫3 ((2x − x2 )−(− x))dx = ∫3 (3x − x2 )dx =
			a											0		0
			3x	2			x		3			3	9
=					−							=		.
			2					3					2
												0

Задача 14

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией:

x = 2 (t −sin t)	, при	0 ≤ x ≤ 4π.
y = 2 (1 −cos t)

Справочный материал

Для определения площади фигуры, ограниченной кривой, заданной в параметрическом виде

х = ϕ(t)

y = ψ(t),

и прямыми вида x = a и x = b , используется формула:

β

S = ∫ψ(t)ϕ′(t)dt.

α

где α ≤ t ≤ β. Пределы интегрирования α и β находятся из уравнений ϕ(α) = a; ϕ(β) = b .

27

Решение задачи 14

Данная кривая является циклоидой.

y

x

4π

Рис. 3

Внашем случае

ϕ(t)= 2 (t −sin t)

ψ(t)= 2 (1 −cos t).

Пределы

интегрирования

α

и

β

находятся

из уравнений

ϕ(α) = a; ϕ(β) = b , то

есть

из

равнений

2 (α −sin α)= 0;

2 (β−sin β)= 4π. Решая их находим

α = 0 ,

β = 2π, поэтому

искомая площадь равна значению определенного интеграла

2π

2π

−cos t)2 dt =

S = ∫2 (1

−cos t)(2 (t −sin t))′dt = ∫4(1

0

0

2π

=

∫4(1 − 2 cos t + cos2 t)dt =

0

2π

1 + cos 2t

3

1

2π

=

4 ∫ 1 −

2 cos t +

dt

= 4

t

− 2 sin t +

sin 2t

=12π

2

2

4

0

0

Задача 15

Вычислить длину дуги кривой

28

			3	t ,				π .
					при 0 ≤ t		≤
	x = cos
	y = sin 3 t							2
		Справочный материал
	Для определения длины дуги кривой, заданной в
параметрическом		виде			х = ϕ(t)		и	y = ψ(t) ,		где	t [α,β]
используется формула:
					β	(ϕ′t )2 +	(ψ′t )2 dt .
		S = ∫
					α
			Решение задачи 15
Заданная кривая является астроидой
						1
						0.5
	-1			-0.5				0.5	1
						-0.5
						-1
						Рис. 4.
					π
S = β∫	(ϕ′t )2 +(ψ′t	)2 dt = ∫2				9 cos4 t sin 2 t +9 sin 4 t cos2 t dt =
α					0
π					π				π
= 3∫2	cos2 t sin 2 t	dt = 3∫2 cos t sin t dt = 3 sin 2							t 2	= 3 .
0					0			2	0	2
						29

1 вариант

1.	∫	6	(x + 4)					5	dx .			∫		2x2 − 3x + 3
										8.							dx .
														x3 − 2x2 + x
2.	∫x 5 5 − x2 dx .											∫		dx
										9.					.
3.	∫sin			2	x		dx .							x (x2 + 1)
					2									x + 9 dx .
	∫	(arctg x)3							dx .	10.		∫
4.			1 + x				2					π		x
5.	∫	1 + ln x dx .										2		cos x
										11.		∫0 5 + 4 cos x dx .
				x
6.	∫(6 − 5x)e−3x dx .										16
7.	∫x		2	cos			3x dx .			12.		∫		256 − x2 dx .
											0

13.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

y = (x − 2)3, y = 4x − 8 .

14.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

x = 4	2 cos3 t	,	x = 2, при x ≥ 2 .
y = 2	2 sin 3 t

15. Найти объем тела, полученного от вращения фигуры,

y = sin x		, при	0 ≤ x ≤ π, вокруг
ограниченной линиями	y = 0

оси Ox .

30

2 вариант

1.∫ 1 − x 2dx .

x

2.	∫		x3			dx .
		x	8	+	5
3.	∫esin x +1 cos x dx .
4.	∫	arccos3 x −1						dx .
				1 − x2
5.	∫				dx			.
			3 − x2
							− 4x
6.	∫arctg					8x −1 dx .

7.∫ln2 2x dx .

x3 +1

8.∫ x ( x −1)3 dx .

	9.	∫	x		dx .
			x3 +1
	10.	∫x		x + 4 dx .
	11.
	2π3	1 +sin x
	∫
						dx .
		1 + cos x + sin x
	0
		1
	12.	∫x2		1 − x2 dx .
		0

13.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

y = 4 − x2 и y = x2 − 2x .

14.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

x =	2 cos t	,	y = 2 ,	при y ≥ 2 .
y = 2	2 sin t
15. Вычислить длину дуги кривой			y2 = 4x	от ее вершины до
точки M (1, 2).

31

3 вариант.

	1.	∫	dx	.
			2 − 2x2

2.∫(sin 2x + cos 2x)2dx .

3.∫x2 e−x3 dx .

4.∫tg x ( ln cos x)dx .

5.	∫	e2x dx
			.
		e x −1
6.	∫	(6x − 3)cos 2x dx .
7.	∫	(x2 − 2x + 5)e−x dx .

8.	∫				x2 dx			.
				(x	+ 2)(x −1)		2
9.	∫			x dx		.
				x3 −1
10.	∫				dx .
				x +1
	π
11.	∫2				cos x dx				dx .
	π	1 + sin x − cos x
	3

5 dx

12.∫0 (25 + x2 ) 25 + x2 .

13.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x 9 − x2 , y = 0, 0 ≤ x ≤ 3.

14.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

x = 4	(t − sin t)	и	y = 4 , при y ≥ 4 и 0 ≤ x ≤ 8π.
	(1− cos t)
y = 4

15. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями 2y2 = x3 и x = 4, вокруг оси

Ox .

32

4 вариант.

1.	∫	dx			.
		3x2 − 9
2.	∫			dx				.
		sin	2	x cos		2
							x
3.	∫3sin x cos x dx .
4.	∫	tg (x + 1)				dx .
		cos2(x + 1)
5.	∫cos3 x sin					2x dx .
6.	∫ln(x2 + 9)dx .
7.	∫(x + 1)2 cos x dx .

8.	∫		x2dx
						.
		(x + 2)2(x +1)
9.	∫	(x + 1)3dx
			x3 −1 .
10.	∫		x dx .
	π2		x + 3
			1 + cos x
11.	∫						dx .
			1 + cos x + sin x
	0
	3		dx
12.	∫				.
			3
	0	(9 + x2 )		2

13.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

y = 4 − x2 , y = 0, x = 0 , x = 1.

14.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

x = 16cos3 t	, x = 2 , при x ≥ 2 .
y = 2sin 3 t

15.Вычислить длину дуги линии y = 2 x , при 0 ≤ x ≤ 1.

33

5 вариант.

1.	∫	dx		.
		7x2 + 7
2.	∫	cos x dx .
		3 sin x
3.	∫	1 + tg2	x dx .
		cos	x
4.	∫	1 − cos x				dx .
		(x − sin x)			2
5.	∫	e2x		dx .
		e x +1

6.∫x ln 2 x dx .

7.∫x3 sin 3x dx .

8.	∫	dx
			.
		x3 − 2x2 + x

7x −15

9.∫ x3 − 2x2 + 5x dx .

10.∫x x − 2 dx .

	π
	2			sin x
11.	∫					dx .
			1 + cos x + sin x
	0
	5
12.	∫2			dx	.
	0			(5 − x2 )3

13.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

	y = cos x sin 2 x , y = 0, при 0 ≤ x ≤	π	.
		2

14.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

	x = 2cos t	, y = 3, при y ≥ 3.
	y = 6sin t
15.	Вычислить	объем тела, образованного	вращением
		x = a cos t		.
	вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линией:
		y = b sin t

34

6 вариант.

1. ∫	dx	.
	9 + 4x2

2.∫ctg 2 x dx .

x3 + x

3.∫ x4 +1 dx .

4.	∫		sin 2x			dx .
		1+ cos		2
					x
5.	∫		dx		.
			4x − 3 − x2

xdx

6.∫sin 2 x .

7.∫3 x ln 2 x dx .

8.	∫		dx			.
		x (x +1)			2
9.	∫		x3 + x −1				dx .
		(x2 + 2)(x −1)
10.	∫		dx4		.
			x +	x
	π2		cos x
11.	∫							dx .
			1 + cos x + sin x
	0
	2		x2 −1 dx .
12.	∫
	1		x4

13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2 4 − x2 , y = 0, при 0 ≤ x ≤ 2 .

14. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

x = 6cos t	, y = 3 , при y ≤ 3 .
y = 2sin t

15. Вычислить длину дуги кривой

x = et sin t	, при 0 ≤ t ≤	π	.
y = et cos t		2

35

7 вариант.

x3

1.∫ 4 − x2 dx .

2.∫tg 3x dx .

3.∫x ex2 dx .

4.	∫	4 arctg x − x				dx .
		1 + x2
5.	∫	sin 5	x		dx .
		4	x
		cos
6.	∫x cos 2 x dx .
7.	∫x2e−		x		dx .
			2

2x − 5

8.∫(x − 2)2(x + 1) dx .

x− 4

9.∫(x − 2)(x2 + 1)dx .

10.	∫ x +3				1 + x dx .
	π				1 + x
11.	∫2			sin x			dx .
			5 + 3sin
	0					x
		2			x4
12.		∫2					dx .
		0			(1 − x2 )3

13.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

y = e x −1, y = 0, x = ln 2.

14.	Вычислить площадь	фигуры, ограниченной линией:
	x	= 16cos3 t	.
	y = sin 3 t

15. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями:

∫x ex2 dx .

y3 = 4x2, y = 2,

36

8 вариант.

1.∫(3x − 7)17 dx .

2.∫tg 2 x dx .

3.∫sin x x dx .

x+ cos x

4.∫ x2 + 2sin x dx .

5.∫lnln 42xx dxx .

6.∫x2 ln x dx .

x2 + 2

7.∫ e3x dx .

8.	∫			dx		.
			x	3	2
				+ x
9.	∫		x3 + x2 − 5				dx .
				x3 − 8
10.	∫			x3	dx .
				x −1
	π4				dx
11.	∫							.
			cos x (1 + cos x)
	0
	3			dx
12.	∫						.
	0			(4 − x2 )3

13.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

	y =	1	,		y = 0, x = 1, x = e3.
		1 + ln x
	x
14.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
	x = 2(t − sin t)			,	y = 3,	при y ≥ 3	и 0 ≤ x ≤ 4π.
		(1 − cos t)
	y = 2
15.	Вычислить длину дуги кривой					y = ln x ,	при 3 ≤ x ≤ 8 .

37

9 вариант.

∫(x −1) x− 2 dx

1. 3 .

2.∫cos2 2x dx .

3.	∫	e x dx
					.
		e2x	+ 4
4.					dx				.
	∫cos2 x						4 − tg 2 x
		1 +		1
5.	∫			2 x				dx .
		( x				2
			+ x)
6.	∫	ln x	dx .
		3
		x

7.∫(x2 − 2) cos x dx .

8.∫ x + 2 2dx .

x −1

x3 + x +1

9.∫ x (x2 + 1)dx .

	10.	∫			dx			.
					2x −1 −		4
		π						2x −1
	11.	∫2			sin x	dx .
					2 + sin x
		0
		1			x4dx
	12.	∫					.
					3
		0			(2 − x2 )	2

13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x2 4 − x2 , y = 0, при 0 ≤ x ≤ 2 .

14. Вычислить плошадь фигуры, ограниченной линиями:

x = 3	(t − sin t)	,	y = 3, при	y ≥ 3.
	(1 − cos t)
y = 3

15. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями: y = x2 и y = 4 , вокруг Oy .

38

10 вариант.

1.

∫5

dx

.

8.

∫

x3 + 1

dx .

3 − 2x

x3 − x2

2.

∫ctg

x

dx .

∫

dx

2

9.

.

3.

∫

e

− tg x

dx .

(x2 + 1)

(x2 + 4)

x −1

cos

2

x

10.

∫ 3

dx .

∫

2x −

arcsin x dx .

x + 1

4.

2arctg 2

dx

1− x2

11.

∫

.

sin x (1+ sin x)

5.

∫

dx

.

π

3e x

+ 1

2

2

x2dx

6.

∫x arctg x dx .

12.

∫0

16 − x2 .

7.

∫

ln 2 x

dx .

2

x

13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

y = arccos x , y = 0, x = 0 .

14. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

x = 8

2 cos3 t

,

x = 4,

при

x ≥ 4 .

y =

2 sin 3 t

15.

Найти длину дуги кривой

x =

2

y

3

,

при

0 ≤ y ≤ 3.

2

3

39

11 Вариант.

	1.	∫	dx			.
			4x2 − 4
	2.	∫	2 − 3ctg				2 x		dx .
			cos2 x
	3.	∫e x sin(e x )dx .
			x +	1
	4.	∫		x			dx .
			x2 + 1
	5.	∫		dx					.
			6 − 4x − 2x2
	6.	∫x arcsin x dx .

7.∫(x2 + 3x − 7) e−2x dx /

8.	∫				dx			.
				x	4		2
					− x
	∫				x3 + 3
9.									dx .
				(x + 1) (x2 + 1)
10.	∫			x	x	dx .
					+ 2
	π				sin 2 x dx
	2
11.	∫0
										.
				(1 + tg 2 x) sin 2x

2

12.∫ 4 − x2 dx .

0

13. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y = (x +1)2 , y 2 = x +1.

14. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
x = 2	2 cos t	,	y = 3, y ≥ 3.
y = 2	2 sin t

15. Найти объем тела, образованного	вращением вокруг оси Oy
фигуры, ограниченной линиями:	xy = 4, y = 1, y = 2,
x = 0 .

40

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

12 Вариант.

∫8 +dx4x2 .

∫sin 3x cos x dx .

∫	1− x
	x (1+ x) dx .

1dx

∫cos2(1+ ln x) x .

	∫	dx	.
		x2 − 6x + 3

∫ln (xln x) dx .

∫(arcsin x)2 dx .

	∫	x2 − 3x + 2
8.				dx .
		x (x2 + 2x + 1)
9.	∫	x2	dx .
		4
		1 − x
10.	∫	x + 4 dx .
		x

π

2dx

11.∫0 (1+ sin x + cos x)2 .

	4	dx
12.	∫				.
		(16 + x2 )	3	2
	0

13.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

	y = 2x − x2 + 3,			y = x2 − 4x + 3.
14.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
	x = 6(t − sin t)		,	y = 9,	при y ≥ 9	и 0 ≤ x ≤ 12π.
		(1 − cos t)
	y = 6
15.	Вычислить длину дуги кривой				y = 4 − x2	между точками ее
	пересечения с осью			Ox .

41

13 вариант.

1.∫sin(2 − 4x)dx .

2.∫tg x dx .

3.∫(ex + e−x )2dx .

	4.	∫	dx		.
			2
			x ln	x
	5.	∫	x dx			.
			3 + x4

6.∫x 32 dx .

7.∫x arctg 2 x dx .x

8.	∫	x3 + 6x2 + 11x + 7	dx .
		(x2 + 3x + 2) (x + 2)

2x −1

9.∫ x3 −1 dx .

10.	∫						dx			.
			sin			2	x + 4 cos	2
	0								x
							sin x dx
11.	∫											.
											2
	−	π		(1+ cos x − sin x)
		2

4

12.∫16 − x2 dx .

0

13.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

y = (x − 2)3 , y = 4x − 8.

14. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

x = 8cos3 t	, x = 3 3 , при x ≥ 3 3.
y = 4sin 3 t

15.Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:

y = x2 +1, x = ± 2, y = 0.

42

1.∫cos(1 − 2x)dx .

2.	∫	sin x − 4	dx .
		cos 2 x
3.	∫	x3
			dx .
		4 − x8
4.	∫	dx		.
		x (ln x + 5)
5.	∫	xx−+42 dx .
6.	∫x tg 2 x dx .

14вариант.

7.∫

8.∫

9.∫

10.∫

x2 e x dx .

x5 − x4 + 3x − 2 dx . x4 − x3

3x dx

x3 + x2 + 2x + 2 dx .

dx

sin 4 x cos2 x .

	2π		cos2 x dx
11.	∫3					.
			(1+ cos x + sin x)		2
	0
	4	3	dx
12.	∫			.
	0		(64 − x2 )3

13.Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями:

y =

1

,

y = 0.

x =

π

,

x = −

π

.

1 + cos x

2

2

14.

Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями:

x

= 6cos t

, y = 2 3 ,

y ≥ 2 3 .

= 4sin t

y

15.

Вычислить

длину дуги

линии

y =

1

x2 −

1

ln x ,

при

4

2

1 ≤ x ≤ 2 .

43

15 вариант.

	1.	∫	dx	.
			(5x −1)2 + 1

2.∫sin 2x cos 2x dx .

	3.	∫		dx
			(1− x2 )arc sin x
	4.	∫	2x2 −	x5	dx .
			1+ x	6

5.∫3eexx −+11 dx .

xdx

6.∫sin 2 x .

7.	∫(1−		1	)ln 2(x2 +1)dx .
			x2
8.	∫	x4 − 3x3 + 9x − 8						dx .
		x3 − 4x2 + 4x
. 9.	∫		x + 2			dx .
		x3 − 2x2
					+ 2x

10.∫3 + 5dxcos x .

		π	tg 4 x
	11.	∫4				dx .
			4
		0	cos	x
		3		dx
	12.	∫				.
		0	(1+ x2 )3

13.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

x = 4 − y 2 , x = 0 , y = 0, y = 1.

14.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

x = t − sin t	, y = 1, при y ≥ 1, 0 ≤ x ≤ 2π .
y = 1− cos t

15. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:

y = 2x , y = 5 +43x .

44

1.∫21−4x dx .

2.∫sin 2x dx .

3.	∫	e x
		dx .
		e2x − 2

4.∫lnx3 lnx +x 2 dx .

5.∫ xxdx−1 .

6.∫ x ln x dx .

7.∫x2 cos 2x dx .

16 вариант.

8.	∫	x4	− 3x2 + 3x −1		dx .
			x3 − 3x − 2

7x −15

9.∫ x3 − 2x2 + 5x dx .

10.	∫	cos 2x dx		.
		4
		sin	x

π

2sin x

11.∫0 (1+ sin x)2 dx .

	2	2	x2dx
12.	∫0				.
			(16 − x2 )	16 − x2

13.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

	y = arccos x ,	x = 0 ,	y = 0.
14.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
	x = 16cos3 t	, x = 2,	при x ≥ 2 .
	y = 2sin 3 t
15.	Найти длину дуги кривой		y = ln (x3 −1), при 2 ≤ x ≤ 3.

45

17 вариант.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

.

∫42−3x dx .

	∫	sin 2xdx				.
		1 + cos 2x
	∫	x3 dx			.
		9 − x8
	∫		dx				.
		x	3 + ln 2 x
	∫	e3x dx
				.
		e2x	−1

∫ln x + 1 + x2 dx

7.∫x2 sin x dx .

8.

∫

x3

+ x2 − x

+ 2

dx .

x2(x −1)

9.

∫

x − 2

dx .

x3 + 4x

10.

∫

dx

.

sin

2

x + tg

2

x

2arctg 2

dx

11.

∫

.

sin

2

x

(1 − cos x)

π

2

2

dx

12.

∫

.

0

(16 − x2 )3

13.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

y = (x −1)2 , y 2 = x −1.

14. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

x = 8cos3 t	, x = 1, при x ≥ 1.
y = 6sin 3 t

15.Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:

	y = sin x , x = 0 , y =	2	x .
		π

46

18 вариант.

1.

∫

dx

.

8.

∫

x3 − 4x + 1

dx .

5 + 3x

x

3

− 2x

2

+ x

2.

∫ctg x dx .

∫

2x2 + x + 4

x dx

9.

dx .

3.

∫

.

x3 + x2 + 4x + 4

1 − x

4

10.

∫

dx

.

∫

2arctg

2x

1 + sin

2

x

4.

dx .

2

2

1 + 4x

π

cos x

11.

∫0

dx .

∫

dx

5.

.

(1 + cos x + sin x)2

e

x

+ 1

2

2

x2 − 2

6.

arcsin

x

dx .

12.

dx .

∫

1 − x

∫

x4

7.

∫x2 sin 2x dx .

.

2

.

13.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

y = 4 − x2 , y = x2 − 2x .

14.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

x = 4 (t − sin t)		,	y = 4 , при	y ≥ 4	и 0 ≤ x ≤ 8π.
	(1 − cos t)
y = 4
15. Вычислить длину дуги кривой				y =	1− x2 + arc cos x ,
при 0 ≤ x ≤	8 .
	9

47

19 вариант.

∫

dx

7.

∫x ln

2

x dx .

1.

.

sin 2(2 − 3x)

2 + x − 20

∫

cos 3x dx

8.

∫

2x4 + 8x

3 + x

dx .

2.

.

x3(x + 5)

5 + 3sin 3x

3.

∫

3

x

dx .

9.

∫

dx

.

x3 + x2 + 2x + 2

9x + 1

∫

sin 2 x dx

4.

∫

dx

10.

.

.

1 + cos2 x

x (ln 2 x + 4)

x dx .

2arctg 2

dx

5.

∫

11.

∫

.

sin

2

x (1 + cos x )

3 x −1

π

2

∫arccos 2x dx .

6.

2

x

4

dx .

12.

∫

0

(8 − x2 )3

13.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

x = 4 − (y −1)2 , x = y 2 − 4y + 3.

14. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

x = 9cos t	, y = 2, при y ≥ 2 .
y = 4 sin t

15. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси

Ox фигуры, ограниченной линиями: y = e x , при

0 ≤ x ≤ ln 2 .

48

20 вариант.

1.∫21−x dx .

2.	∫	cos x + 1	dx .
		sin 2 x

3.∫ 2x2+dxx6 .

4.	∫	dx		.
		x 1 − ln 2 x
5.	∫	2xxdx−1 .
		arcsin	x
6.	∫	2		dx .
		2 − x
7.	∫(x2 + 1)e−2x dx .

8.

∫

x4 + 2x3 − 2x + x2 + 1

dx .

( x + 1)2( x −1)

∫

3x2 + 11x + 8

9.

dx .

( x + 2)(x2 + 2x + 2)

10.

∫

1 + cos

x

dx .

3

π3

sin

x

dx

11.

∫

.

sin

2

x

+ 9cos

2

0

x

2

dx

12.

∫0

.

(4 − x2 ) 4 − x2

13.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

	y = ln x ,	x = b ,	y = ln a ,		при	a < b .
14.	Вычислить	площадь фигуры,				ограниченной		линиями:
	x = 6( t		− sin t )	,	y = 9,		при	y ≥ 9	и
	y = 6(1− cos t )
	0 ≤ x ≤ 12π.
15.	Найти длину дуги кривой				y = e x +13, при
	ln 15 ≤ x ≤ ln		24 .

49

21 вариант.

1.

dx

.

8.

x

3

− 2x

2

−12x − 7

dx .

∫sin 2(1− 2x)

∫

x3 − 3x − 2

2.

∫sin

x

cos

x

dx .

9.

∫

dx

.

2

2

x3 − 8

3.

∫

x dx

.

∫

dx

x4 + 5

10.

.

dx

2sin x − 3cos x

π

4.

∫arccos5 x 1 − x2 .

11.

∫12

dx

.

cos 4 3x

∫

e2x − 2e x

0

5.

dx .

12

e2x + 1

dx

6.

∫arcsin x dx .

12.

∫0 (1 − x2 )

1 − x2

7.

∫

(x2 + 1) 3x dx .

13.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

	y = x2 cos x , y = 0, при	0 ≤ x ≤	π	.
			2

14. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

x = 3cos t		,
y = 8sin t
y = 4	3 ,		при	y ≥ 4 3 .

15. Найти объем тела от вращения вокруг Ox фигуры

( y −1)2 = x , x = 1.

50

22 вариант.

1.	∫	dx						.
		cos 2 4x
2.	∫			sin x						dx .
		(1− 3cos x )							3
3.	∫	x5 + x2
								dx .
			5 + x6
		sin		1
4.	∫		x			dx .
		x	2
5.	∫	e2x					dx .
		e x +1
6.	∫x ln 11+−xx dx .
7.	∫arcsin 2 x dx .

8.	∫	2x3 − 2x2						−16x + 32			dx .
			( x − 2)(x2 − 4)
9.	∫	x3 − 2x + 5								dx .
			x4 −1
10.	∫		dx		.
		3
	π	sin		x
11.	∫4		dx				.
			4
	0	1 − sin				x
	3			dx
12.	∫1 x2									.
				4 − x2

13.Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями:

y = ln x ,

y = ln 2 x .

14. Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями:

		x = 2	2 cos t		,
			2 sin t
		y = 3
	y = 3,	при		y ≥ 3
	15. Найти длину дуги кривой: y = ln sin x , при					π	≤ x ≤	π	.
						3		2

51

23 вариант.

dx2

x

4

3

2

+ 5x + 2

1.

∫

.

8.

∫

+ 2x + 9x

dx .

+ 3

2

4x

x

( x +1)

sin 2x dx

9.

∫

dx

.

2.

∫

.

x4 −1

3sin 2 x + 4

10.

∫

dx

.

cos

1

4sin x + 3cos x +1

π

3.

∫

x

dx .

4

dx

x2

11.

∫

.

2 + 3cos2

x

1 − 2x

0

4.

∫

dx .

1

1 − 4x2

12.

∫

4 − x2 dx .

e2x

0

5.

∫

dx .

e x −1

6.

∫

x cos

x

dx .

3

sin

x

7.

∫x ln 2 x dx .

13. Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями:

y = e x ,

y = e−x ,

x = 1.

14. Вычислить

площадь

фигуры,

ограниченную

линиями:

x

= 8

2 cos3 t

,

2 sin 3 t

y =

x = 4 ,

при

x ≥ 4 .

15. Найти объем тела

вращения вокруг оси Oy фигуры:

y =1 −

x2

,

x + y = 1.

2

52

1.	∫				dx					.
		cos 2(1 − 3x )
2.	∫		sin x dx							.
			cos 2 x + 2
3.	∫	x5dx						.
		x12 −1
4.	∫	2 + ln x							dx .
			x
5.	∫	dx				.
		e x −1
6.	∫arctg				1		dx .
					x
7.	ln 2 x			dx .
		x2

24 вариант.

8.	∫	x3 + 3x2 + 8x +12				dx .
		(x2 + 4x + 4)( x −1)
9.	∫	dx	.
		x3 + 8
10.	∫	dx			.
		2
		1+ 3sin		x

π

2cos x dx

11.∫0 (1 + cos x + sin x )2 .

3

12.∫x2 9 − x2 dx .

−3

13.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

			y = 2x − x2 + 3,		y = x2 − 4x + 3.
14.	Вычислить площадь			фигуры, ограниченной линиями:
x = 2cos t		,	y = 3, при	y ≥ 3.
	= 6sin t
y
15.	Найти		длину дуги	кривой: y = arcsin x − 1− x2 , при

0 ≤ x ≤ 1615 .

53

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

25 вариант.

∫

dx

.

8.

∫

x3 − 3x2 + 7x −1

dx .

cos 2(1 − 3x )

2x3 − x2 + 3

∫sin

3x

cos

3x

dx .

9.

∫

dx

.

x3 − 64

2

2

∫

dx

3x dx

10.

.

∫

.

sin x − 3cos x

π4

x4 + 7

dx

dx

11.

∫

.

.

4

∫arcsin 4 x 1 − x2

π

sin

2x

16

∫

e2x − 3e x

12.

∫2

− 3dx

.

dx .

0 (1− x2 ) 1 − x2

e2x +1

∫arccos x dx .

∫(x2 + 15) 5x dx .

13.Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями:

	y = x2 tg x .		y = 0,		при		0 ≤ x ≤			π	.
							2
14.	Вычислить	площадь	фигуры,	ограниченную линиями:
	x = 3cos t	,	y =1 , при		y ≥1 .
	y = 2 sin t
15.	Найти длину дуги кривой		y = ex ,	при	1	ln 3 ≤ x ≤		1	ln 8 .
					2
							2

54

26 вариант.

1.

∫ 3 − 5x dx .

8. ∫

x3 + x2 + 2

dx .

2.

∫e4−x

2

x dx .

( x + 1)(x2 + 1)

9. ∫

x

3

− 3x

2

+ x − 4

dx .

3.

∫

dx

.

(x2 + 4)(x2 + 9)

4x

10. ∫tg

4

x dx .

− x2

arctg 2

dx

∫

x3 + 2x

11. ∫

.

4.

dx .

sin

2

2x ( 2 + cos 2x)

x4 − 4

π4

5.

∫ 1 dx .

2 3

4 + x2

x + 1

x

12.

∫

x4

dx .

6.

∫x3 ln( x + 1)dx .

2

7.∫(x3 + 3x + 2) sin 2x dx .

13.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

y = 2x −1		и		y =		3	x (	4 − x ).
					4
14. Вычислить	площадь	фигуры,			ограниченной				линиями:
x = 3cos t	,	x =	3	,			при	x ≥	3		.
y = 2sin t			2						2
15. Найти объем от вращения вокруг оси Oy фигуры:
y = x2 ,		x = y 2 .

55

27 вариант.

1.∫ 3dx− 2x .

2.∫ectg x sindx2 x .

3.∫3 3 − x3 x2 dx .

	4.	∫		ex dx				2 x .
			2	+ 2e	x	+ e
	5.	∫		dx				.
			x ln x ln ln x
	6.	∫(x33 − 4x +5 ) cos 3x dx .

8.∫ x3 −1 dx .

x3 +1

		∫	3x +1
	9.				dx .
			(x +1)2 (x2 + 4)
	10.	∫tg 4 x dx .
		π	2 +sin x
	11.	∫2		dx .
		0 2 −cos x
		3
	12.	∫2	x2 9 − x2 dx .
		0

7.∫arccos2 x x dx .

13.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

	y = sin	x	,	y = cos	x	, x = 0 .
		2			2
14.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
	x = t	,				x = t		.
							−t 2
	y = t 2					y =1
15.	Вычислить длину дуги кривой y = ex , при 0 ≤ x ≤1 .

56

28 вариант.

1.

∫41−3x dx .

7.

∫(4 −3x2 + 2x3 )sin 2x dx .

2.

∫

1

+ x

2 dx .

8.

∫

(x +1)dx

.

1

− x

x

3

−6x

2

+9x

3.

∫

sin 2x

dx .

9.

∫

x4 dx

.

x4

− 2x2

+1

3 +sin 2 x

4.

∫

x

dx

2

.

10.

∫sin 4 2x dx .

4 −ln

π

2

x

dx

dx

11.

∫

.

5.

.

4 + 7 cos x

0

∫cos2 x (4 + tg 2

x )

1

6.

∫e2 x cos x dx .

12.

∫x4

1 − x2 dx

∫(4 −3x2 + 2x3 )sin 2x dx

0

13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

y = x2 −1 ,

y = x +1 .

14. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

x = 2 (t −sin t )

,

y =1, при

y ≥1,

0 ≤ x ≤ 4π.

y = 2 (1 −cos t )

15. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями: y = x2 , x = y2 .

57

cos x

1.∫cos (3 −5x)dx .

2.∫x 34−x2 dx .

			x + ln x
3.	∫			x			dx .
		x	2	+ ln	2
						x
4.	∫		x dx			dx .
			9 − x4
5.	∫			dx		.
			5 − 4x			+ x2
6.	∫ln(x + 2)x2 dx .
7.	∫(x3 − 3x2 )e−3x dx .

29 вариант.

x4 +1

8. ∫ (x2 +1)(x2 −1)dx .

dx

9. ∫ x (x + 2)2 .

10. ∫ x −1 +1 dx .

3 x −1

π

11. ∫2 3 + sin x dx .

0

1

12. ∫x4 4 − x2 dx .

0

13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x2 , x + y = 2 , x = 0 .

14. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

	2 cos	3		t
x =					,	y =1,	при	y ≥1 .
			3
	2 sin			t
y = 2

15.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг

Ox тела, ограниченного кривыми: y = e x , y =1 , x =1.

58

30 вариант.

1. ∫4 2x + 7 dx .	x +1			2	dx
8.	∫					.
					x
	x −1

2.	∫			dx		.
			3	− x2 − 2x
3.	∫				dx				.
		x		ln 2 x + 4 ln x + 5
4.	∫			2 x dx				.
		4	x	+ 2	x+1
						+1
5.	∫	x + arctg 2x					dx .
			1 + 4x2
6.	∫arccos x x dx .
7.	∫	ln x dx			.
		2
			x

dx

9. ∫ x2 (x2 − x +1). 10. ∫ xx2+1 dx .

π

11. ∫4 dx .

0 4 + 5sin 2x

2	3	4 + x	2 dx
12.	∫	x3	.
	5

13. Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями:

		y = x2 − 2x ,		x + y = 2 .
14.		Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
x = 2 (t −sin t)			,		y ≥1	.
	y = 2 (1 − cos t)			y =1 , при	≤ x ≤ 4π
				0
15.		Вычислить длину дуги кривой y = e2 x , при 0 ≤ x ≤1.

59