- •РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ
- •Задача 1
- •Справочный материал
- •Решение задачи
- •Задача 2
- •Справочный материал
- •Решение задачи
- •Задача 3
- •Справочный материал
- •Решение задачи
- •Задача 4
- •Справочный материал
- •Решение задачи
- •Задача 5
- •Справочный материал
- •Решение задачи
- •Справочный материал
- •Решение задачи
- •Задача 9.1
- •Задача 9.2
- •Справочный материал
- •Решение задачи 9.1
- •Решение задачи 9.2
- •Задача 10
- •Справочный материал
- •Решение задачи 10
- •Задача 11
- •Справочный материал
- •Задача 12.1
- •Задача 12.2
- •Задача 13.1
- •Задача 13.2
- •Справочный материал
- •Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных
- •Условный экстремум функции двух переменных
- •Решение задачи 12.1
- •Решение задачи 12.2
- •Решение задачи 13.1
- •Решение задачи 13.2
- •Приложение
- •Таблица производных основных элементарных функций
- •Правила дифференцирования
- •Формулы Крамера
- •Нормальное уравнение прямой
- •Расстояние от точки до прямой
Задача 8
Вычислить ∂u , |
∂u |
, ∂v |
и ∂v |
для функций u (x, y ) и v (x, |
y ), |
||||||
∂x |
∂y |
∂x |
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ux +vy = x |
|
. |
|
|
|
|
|
заданных параметрически системой |
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uy − vx = y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Справочный материал |
|
|
|
|
|
|
|||
Для определения частных производных ∂u |
, |
∂u |
, |
∂v |
и |
∂v |
из |
||||
|
|
|
|
∂x |
|
∂y |
|
∂x |
|
∂y |
|
заданной системы следует:
1.Последовательно продифференцировать оба уравнения системы по переменной x , а затем по переменной y .
2. Полученные линейные относительно неизвестных |
∂u |
, |
∂u |
, |
|||
|
|
|
|
∂x |
|
∂y |
|
∂v |
и |
∂v |
системы решить по формулам Крамера |
(см. |
|||
∂x |
|
∂y |
|
|
|
|
|
приложение).
Решение задачи
1.Продифференцируем оба уравнения системы по переменной x .
Получим систему относительно неизвестных |
∂u |
и |
∂v . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂x |
|
∂u |
x + u + y |
∂v |
= 2x |
|
|
∂u |
+ y |
∂v |
= 2x −u |
||||||
|
∂x |
∂x |
|
x |
∂x |
∂x |
|||||||||
|
|
∂v |
|
|
, или |
|
|
|
|
. |
|||||
|
∂u |
y − |
x |
− v = 0 |
|
|
∂u |
− x |
∂v |
= v |
|
||||
|
∂x |
∂x |
|
y |
∂x |
∂x |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Теперь продифференцируем оба уравнения системы по
∂u
переменной y . Получим систему относительно неизвестных ∂y
∂v
и ∂y .
13
∂u |
x +v + y |
∂v |
= |
|
|
∂y |
∂y |
||
|
|
|
||
|
∂u |
y + u − ∂v x = |
||
|
||||
|
∂y |
∂y |
|
|
|
|
0 |
|
∂u |
+ y |
∂v |
= −v |
x |
∂y |
∂y |
|||
, или |
|
|
. |
||
|
∂u |
− x ∂v |
|||
2 y |
y |
= 2 y −u |
|||
|
|
∂y |
|
∂y |
|
|
|
|
|
3.Для решения полученных систем используем формулы Крамера. Определители этих систем равны и вычисляются по правилу
= |
x |
y |
= −x2 − y2 . |
|
y |
− x |
|
Вспомогательные определители первой системы равны
1 = |
|
2x − u |
y |
|
= −2x2 + ux − yv , |
|||
|
|
|||||||
|
|
|
|
v |
− x |
|
|
|
2 |
= |
|
x |
2x − u |
|
= xv − 2xy + uy . |
||
|
|
|||||||
|
|
|
|
y |
|
v |
|
|
Теперь найдем решение первой системы, используя формулы Крамера
|
|
|
|
∂u |
= |
− 2x2 + ux − vy |
= |
2x2 |
− ux + vy |
; |
||||||||
|
|
|
|
∂x |
|
− x2 − y2 |
|
|
x |
2 + y2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
∂v |
= |
− 2xy + vx + uy |
= 2xy − uy − vx . |
|||||||||||
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
− x2 − y2 |
|
|
|
|
x2 + y2 |
|
|
|
||
|
Вспомогательные определители второй системы равны |
|||||||||||||||||
1 |
= |
|
− v |
y |
|
= vx − 2 y2 + uy , |
2 |
= |
|
x |
− v |
|
= 2xy − ux + vy . |
|||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 y − u − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2 y − u |
|
|
|
||
|
|
|
|
Решение второй системы имеет вид: |
||||||||||||||
|
|
|
|
∂u |
= |
vx −2 y2 +uy |
= |
2 y2 −vx −uy |
; |
|
||||||||
|
|
|
|
∂y |
− x2 − y2 |
|
x2 |
+ y2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
∂v |
|
= |
2xy −ux + vy |
= ux −vy −2xy . |
|
|||||||||
|
|
|
|
∂y |
|
|
− x2 − y2 |
|
|
x2 + y2 |
|
|
|
14
Полученные формулы для частных производных имеют смысл при x2 + y2 ≠ 0 . В точке (0, 0) функции u (x, y ) и v (x, y ) не
дифференцируемы.
Задача 9.1
Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением
z = |
5 |
в точке |
M0 (3, − 4,1). |
|
x2 + y2 |
||||
|
|
|
Задача 9.2
Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением
x2 − y2 + 4z2 + 2xy − yz − 2 = 0 в точке M0 (1, −1, −1).
Справочный материал
Если поверхность задана явным уравнением z = f (x, y), то уравнения касательной плоскости и нормали к этой поверхности в точке M0 (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) имеют вид:
z= z0 + ∂∂xz (x0 , y0 )(x − x0 )+ ∂∂yz (x0 , y0 )(y − y0 )
-уравнение касательной плоскости;
|
x − x0 |
|
= |
y − y0 |
|
= z − z0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
(x0 , y0 ) |
|
∂z |
(x0 , y0 ) |
−1 |
|||
|
∂x |
|
∂y |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
-канонические уравнения нормали.
Вэтих уравнениях z0 = f (x0 , y0 ) - значение функции f (x, y) в
точке касания.
Если поверхность задана неявно зависимостью F(x, y, z)= 0 , то
уравнения касательной |
и |
нормали к этой поверхности в точке |
|||||
M0 |
(x0 , y0 , z0 ) имеют вид: |
|
|
|
|||
|
|
∂F |
(M0 )(x − x0 )+ |
∂F |
(M0 )(y − y0 )+ |
∂F |
(M0 )(z − z0 )= 0 , |
|
|
|
∂y |
|
|||
|
|
∂x |
|
∂z |
15
- уравнение касательной;
|
x − x0 |
|
= |
|
y − y0 |
|
= |
|
z − z0 |
|
- уравнения нормали. |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
∂F |
(M0 ) |
|
|
∂F |
(M0 ) |
|
|
∂F |
(M0 ) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∂x |
|
|
∂y |
|
|
∂z |
|
Решение задачи 9.1
Поверхность задана явным уравнением z = f (x, y). Частные производные имеют вид
|
∂z |
|
|
∂ |
|
|
(x2 |
+ y2 )− |
1 |
|
|
|
5 |
|
(x2 + y2 )− |
3 |
|
|
|
|
|
− 5x |
|
||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
5 |
|
|
|
|
= − |
|
|
|
2x = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 + y2 )3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂x ∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
∂z |
|
|
∂ |
|
|
|
(x2 |
+ y2 )− |
|
1 |
|
|
5 |
(x2 + y2 )− |
|
3 |
|
|
|
|
|
− 5y |
|
|||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
= − |
|
|
2 y = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(x2 + y2 )3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂y ∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Значения частных производных в точке (3,− 4) равны |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
(3, −4)= |
|
|
−3 5 |
= − |
15 |
|
= − 3 |
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9 +16)3 |
|
125 |
25 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
(3, −4) |
= |
|
|
|
4 5 |
= |
20 |
|
= 4 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9 +16)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
125 |
25 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Уравнение касательной плоскости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z −1 = − |
3 |
|
(x −3)+ |
|
4 |
(y + 4), 3x −4 y +25z −50 = 0 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Уравнения нормали |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x −3 |
|
= |
y +4 |
= |
z −1 |
, |
x −3 |
= |
|
y + 4 |
= |
z −1 |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
−3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
−25 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение задачи 9.2
Поверхность задана неявно уравнением F(x, y, z)= 0 , где
F (x, y, z)= x2 − y2 + 4z2 + 2xy − yz − 2 .
Частные производные имеют вид
16