Экзамен математика
..docxТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
-
Множество, операции над множествами. Числовые множества. Примеры.
-
Понятие Ɛ - окрестности точки. Числовые промежутки на координатной оси. Абсолютная величина, ее геометрический смысл, свойства абсолютных величин. Примеры.
-
Функции одной переменной. Способы задания функций. Полярная система координат. Параметрический способ задания функций.
-
Сложная функция. Неявно заданная функция. Примеры.
-
Простейшие свойства функций: четность, периодичность, монотонность, ограниченность.
-
Графики основных элементарных функций.
-
Предел функции: 2 определения (на языке «окрестностей» и «Ɛ – δ» - определение). Геометрический смысл. Примеры.
-
Единственность предела функции. (теорема)
-
Ограниченность функции, имеющий конечный предел в точке (теорема).
-
Односторонние пределы. Примеры.
-
Предел функции на бесконечных промежутках. Пример.
-
Бесконечно малые функции. Основные свойства (2 теоремы). Примеры.
-
Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми функциями (прямая и обратная теоремы). Основные свойства. Примеры.
-
Основные теоремы о пределах (леммы, теоремы о пределе суммы, произведения и частного). Примеры.
-
Признаки существования пределов (теоремы о предельных переходах в равенствах и неравенствах). Примеры.
-
I Замечательный предел. Пример.
-
Числовые последовательности (определение, свойства). II Замечательный предел. Пример.
-
Сравнение бесконечно малых функций. Примеры.
-
Эквивалентные бесконечно малые функции. Примеры.
-
Условия применимости эквивалентных бесконечно малых. Примеры.
-
Непрерывность функции в точке (3 определения). Пример.
-
Классификация точек разрыва. Примеры.
-
Свойства функций, непрерывных в точке (2 теоремы). Пример.
-
Непрерывность функции на множестве. Свойства функций, непрерывных на отрезке (3 теоремы). Пример.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧЕСЛЕНИЕ
-
Определение производной. Пример.
-
Производные функций y=c, y=sinx, y=cosx, y=ax, y=ex, y=lnx, y=logax, y=xa.
-
Определение дифференцируемости функции в точке. Дифференциал 1-ого порядка. Применение дифференциала для приближенных вычислений. Пример.
-
Связь между дифференцируемостью и существованием производной в точке (теорема). Пример.
-
Связь между дифференцируемостью и непрерывностью в точке. Пример.
-
Дифференцируемость на числовом промежутке. Пример.
-
Геометрической смысл производной и дифференциала. Пример.
-
Физический смысл производной и дифференциала. Пример.
-
Основные теоремы о производных. Пример.
-
Производные функций y=tgx, y=ctgx.
-
Производная обратной функции. Пример.
-
Производные функции y=arcsinx , y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx.
-
Производная и дифференциал сложной функции (теорема). Пример.
-
Инвариантность формы 1-ого дифференциала. Пример.
-
Дифференцирование функций, заданных неявно. Пример.
-
Логарифмическое дифференцирование. Пример.
-
Производные и дифференциалы высших порядков. Примеры.
-
Дифференцирование функций, заданных параметрически. Пример.
-
Теоремы о среднем (Ферма, Ролля, Лангранжа, Коши). Пример.
-
Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя (2 теоремы). Примеры.
-
Формула Тейлора (теорема). Остаточные члены. Пример.
-
Формула Маклорена для основных элементарных функций: , y=sinx, y=cosx, y=ex, y=ln(1+x), y=(1+x)m. (с выводом одной)
-
Признак монотонности функций. Пример.
-
Экстремумы: необходимые и достаточные условия существования экстремума (теоремы). Примеры.
-
Экстремальные значения функции на отрезке. Пример.
-
Выпуклость графика функции. Точки перегиба (определения и теорема). Пример.
-
Необходимые и достаточные условия существования точки перегиба (теоремы). Пример.
-
Асимптоты графика функции. Примеры.
-
необходимые и достаточные условия существования наклонных асимптот (теорема). Пример.