Бакалов В.П. Основы теории цепей_2007
.pdf( n+1)h |
|
x [( n + 1) h] = eAhx ( nh ) + ò |
eA[( n+1)hτ]τBw ( τ )dτ. (6.98) |
nh
Èíòåãðàë â (6.98) âычисляется численными метоäàìè (ìåòîäом прямоуãольникоâ, òðàпеций, Симпсонà è äð.). Òàк, при использо- âàíèè ìåòîäà прямоуãольникоâ àëãоритм (6.98) приобретàåò âèä
x [ ( n + 1) h] = eAhx ( nh ) + eAhhBw ( nh ) . |
(6.99) |
Ïðè íóëåâîì âõîäíîì ñèãíàëå w = 0 (ñâîáîäные колебàíèÿ) |
|
x [ ( n + 1) h] = eAhx ( nh ) . |
(6.100) |
Åñëè îãðàничиться â ðàзложении (6.97) только перâûìè äâóìÿ |
|
÷ëåíàìè eAh ≈ I + Ah, то получим |
|
x [ ( n + 1) h] ≈ x ( nh ) + Ax ( nh ) h. |
(6.101) |
Àëãоритм (6.101) леãêî ïðîãðàммируется нà ЭВМ и имеет ясный физический смысл. Он опреäеляет положение точки â прострàíñòâе состояний нà (n + 1)-ì øàãå, èñõîäя из ее состояния нà n-ì øàãå ïðè àппроксимàöèè òðàектории нà ó÷àñòêå h прямолинейным отрезком с постоянной скоростью x& (h).
Пример. Ðàссчитàòü òðàекторию состояний, изобрàженную нà рис. 6.19, используя àппроксимàöèþ åå íà êàæäîì èç m ó÷àñòêîâ âеличины h â форме прямолинейных отрезкоâ. Скорость изменения состояния x& (h) íà êàæäîì èç âûäеленных учàñòêîâ îñòàется постоянной.
Íà îñíîâàíèè óðàâнения состояния (6.93) имеем:
äля моментà t = 0; x& (0) = Àõ(0); äля моментà t = h
x ( h ) ≈ x ( 0 ) + x& ( 0 ) h = x ( 0 ) + Ax ( 0 ) h;
äля моментà t = 2h
x ( 2h ) ≈ x ( h ) + x ( h ) h = x ( h ) + Ax ( h ) h;
äля моментà t = (n + 1)h
x [ ( n + 1) h] ≈ x ( nh ) + Ax ( nh ) h,
т. е. полученное урàâнение полностью соâïàäàåò ñ (6.101).
Метод Рунге Кутта ìåòîä численноãо решения урàâнения состояния (6.94), при котором интерâàë 0...t ðàçáèâàåòñÿ íà ò ìà- ëûõ ó÷àñòêîâ t = h, íà êàæäом из которых знàчение переменной õ îïðåäеляется с помощью линейной комбинàции некоторых âспомоãàтельных функций ki (h) с постоянными коэффициентàìè.  çàâисимости от способà âûáîðà коэффициентоâ и требуемой точ- ности решения сущестâóþò ðàзличные моäèôèêàöèè àëãоритмоâ Ðóíãå Êóòòà.
181
Проиллюстрируем суть метоäà Ðóíãå Êóòòà íà примере скà- лярноãî óðàâнения состояния
x& = |
dx |
= f (t,x ). |
(6.102) |
|
dt |
||||
|
|
|
Íàиболее рàспрострàненный àëãоритм Рунãå Êóòòà имеет âèä
x » x + |
1 |
(k + 2k + 2k + k |
|
), |
|
|
|
|
|
|
ü |
|||||||
n+1 |
|
n |
6 |
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
ï |
ãäå k1 = hf (t0,x0 ); |
k2 = hf (t0 |
+ h 2; x0 + k1 |
2); |
|
|
). |
ý (6.103) |
|||||||||||
k |
3 |
= hf |
(t + h 2; x + k 2); k |
4 |
= hf (t + h; x + k |
|
ï |
|||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
2 |
|
|
0 |
|
0 |
3 |
|
ï |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
þ |
Ïðè ýòîì ïîðÿäîê ïîãрешности состàâëÿåò h5.
Пример. Решить скàлярное урàâнение состояния (6.102) нà интерâàëå [0; t] ìåòîäîì Ðóíãå Êóòòà ïðè óñëîâèè A = 1; õ(0) = 1.
Ð å ø å í è å. Ðàзобьем интерâàë [0; t] íà 10 ó÷àñòêîâ ñ øàãîì h = 0,1. Òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ àëãоритмàми (6.103) можем получить äëÿ t = 0,
õ(0) = 1 (ïåðâûé øàã): |
|
|
|
k1 |
= hx ( 0 ) = 0,1; |
k2 = h[ x ( 0 ) + k1 |
2] = 0,105; |
k3 |
= h[ x ( 0 ) + k2 |
2] = 0,10525; k4 |
= h[ x ( 0 ) + k3 ] = 0,110525; |
x1 |
= x ( 0 ) + 1 6 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ) = |
||
|
= 1 + 1 6 ( 0,1 + 0,21 + 0,2105 + 0,110525 ) = 1,105174. |
Àíàëîãè÷íî íà âтором шàãå
x2 = x1 + 16 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ) =
= 1,105174 + 16 ( 0,105 + 2 × 0,116 + 2 × 0,1163 + 0,122) = 1,121140 è ò. ä.
Êàê ñëåäóåò èç (6.103), äëÿ îïðåäеления õ необхоäèìî âычислить f (t, x) â четырех точкàõ.
Àíàëîãè÷íî çàïèñûâàåòñÿ àëãоритм Рунãå Êóòòà äля системы урàâнений типà (6.102). Íàпример, äëÿ ñëó÷àя системы из äâóõ óðàâнений
|
|
|
|
dx dt |
|
|
|
f1 (t,x ,x |
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x& = |
|
|
|
|
1 |
|
|
= |
|
|
|
|
1 |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
dx |
2 |
dt |
|
|
f |
2 |
(t,x ,x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
àëãоритм (6.103) примет âèä |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x1( n+1) » x1n + 1 6 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ),ü |
(6.104) |
|||||||||||||||||||||||||
x |
2( n+1) |
» x |
2n |
+ 1 6 |
(l |
+ 2l |
2 |
+ 2l |
3 |
+ l |
4 |
), |
ý |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
þ |
|
ãäå
k1 = hf1 |
(t0,x10,x20 ); l1 = hf2 (t0,x10,x20 ); |
k2 = hf1 |
(t0 + h 2,x10 + k1 2,x20 + l1 2); |
l2 = hf2 |
(t0 + h 2,x10 + k1 2,x20 + l1 2); |
k3 = hf1 |
(t0 + h 2,x10 + k2 2,x20 + l2 2); |
l3 = hf2 |
(t0 + h 2,x10 + k2 2,x20 + l2 2); |
182
k4 = hf1 (t0 + h,x10 + k3,x20 + l3 ); l4 = hf2 (t0 + h,x10 + k3,x20 + l3 ).
×àстным случàåì ìåòîäà Ðóíãå Êóòòà ÿâляется прямой àëãо- ритм Эйлерà (ïðè k2 = k3 = k4 = 0). Îäíàко он имеет мàлую точ- ность и не нàшел широкоãо применения.
Разностные методы. Сущестâенным неäîñòàòêîì ìåòîäà Ðóí- ãå Êóòòà ÿâляется то, что äля получения кàæäîãî çíàчения решения õ необхоäèìî âычислять прàâóþ ÷àñòü óðàâнения (6.94) â нескольких точкàõ (äëÿ àëãоритмà (6.103) â четырех точкàõ). Ýòî ïðèâîäит к большому объему âычислений, особенно äля сложной прàâîé ÷àсти. Применение рàзностных метоäîâ ïîçâоляет сущест- âåííî ñîêðàтить объем âычислений и зàòðàòû ìàшинноãî âремени, тàê êàê íà êàæäîì øàãå ïðàâàÿ ÷àñòü âычисляется только оäèí ðàç.
 îñíîâå ðàзностных метоäîâ лежит использоâàíèå ðàзличных интерполяционных àëãåáðàических мноãочленоâ (ìíîãочлены Ньютонà, Стирлинãà, Эрмитà è äр.). При этом решение x íà (n + 1) øàãå îïðåäеляется àëãоритмом
n |
|
xn+1 = xk− j + hå βi fk−i, |
(6.105) |
i=0
ãäå h øàã; βi постоянные коэффициенты; fk çíàчение àë- ãåáðàическоãî ìíîãочленà â точке k. Êàê ñëåäóåò èç (6.105) äëÿ îïðåäеления решения õk + j ; необхоäèìî çíàòü çíàчения õ1, õ2, ..., õj îíè íàõîäятся обычно либо àíàлитически, либо метоäîì Ðóí- ãå Êóòòà.
Вопросы и задания для самопроверки
1.Êàêîâы причины âозникноâения перехоäных процессоâ?
2.Сформулироâàòü çàконы коммутàöèè.
3.Äàть понятия перехоäíîãî, óñòàíîâèâøåãîñÿ è ñâîáîäíîãо режимоâ â электрических цепях.
4.×òî òàêîå íóëåâые и ненулеâûå íà÷àльные услоâèÿ?
5.Êàêîé âèä имеет сâîáîäíàÿ ñîñòàâëÿþùàя перехоäных колебà- íèé â цепях перâîãî ïîðÿäêà?
6.×òî ïðåäñòàâляет собой принужäåííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ?
7.Êàê ðàссчитыâàются постоянные интеãðèðîâàíèÿ â цепях перâî- ãî ïîðÿäêà?
8.×òî òàкое постояннàÿ âремени цепи?
9.Для схемы, изобрàженной нà ðèñ. 6.22, îïðåäелить ток i(t) è
íàпряжение нà êàтушке инäóêòèâности uL(t), åñëè U = 90 Â; L = 0,25 Ãí; R1 = 20 Îì; R2 = R3 = 5 Îì.
Îòâåò: i(t) = 3,6 1,6å 100t, À; uL(t) = 40å j100t, Â.
183
1 i L R1 R3
U
|
R1 |
2 |
C |
|
|
U |
R3 |
R2 |
R2 |
Ðèñ. 6.22 |
|
|
|
|
Ðèñ. 6.23 |
|
|
||||||||||
|
|
iC |
C |
|
|
i R1 |
|
L |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
U |
|
|
|
|
iR |
iL |
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
R |
L |
|
|
|
|
|
C |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ðèñ. 6.24 |
|
|
|
|
Ðèñ. 6.25 |
|
|
10.Для схемы, изобрàженной нà ðèñ. 6.23, íàéòè uÑ (t), åñëè U = = 60 Â; R1 = R2 = R3 = 5 êÎì; Ñ = 2,5 ìêÔ.
Îòâåò: uÑ (t) = 60 30å 40t, Â.
11.Êàê çàâèñèò õàðàêòåð ñâîáîäных колебàíèé â RLC-контуре от рàсположения нà комплексной плоскости корней хàðàктеристи- ческоãî óðàâнения?
12.Êàê îïðåäеляются чàñòîòà и периоä ñâîáîäных колебàíèé?
13.×òî òàêîå ëîãàрифмический äекремент зàòóõàíèÿ?
14.Êàêîâà послеäîâàтельность àíàëèçà перехоäных процессоâ â ðàçâåòâленных цепях âòîðîãî ïîðÿäêà?
15.Для схемы, приâåäенной нà ðèñ. 6.24, íàéòè iL (t) è uÑ (t), åñëè U = 100 Â; L = 50 ìÃí; Ñ = 5 ìêÔ; R = 25 Îì.
Îòâåò: iL (t) = 0,29å 540t 0,29å 7460t, À; uÑ (t) = 100 + 8å 540t 108å 7460t, Â.
16.Для схемы, приâåäенной нà ðèñ. 6.25, íàéòè i(t) è uÑ (t), åñëè U = 60 Â; R1 = 250 Îì; R2 = 50 Îì; L = 50 ìÃí; C = 0,5 ìêÔ.
Îòâåò: i(t) = 0,22 å 2500t sin(5800t + 67°), À;
uÑ (t) = 60 + 69 å 2500t sin(5800t 46,5°), Â.
17. ÷åì çàêëþ÷àåòñÿ ñóòü ìåòîäà переменных состояния? Что понимàþò ïîä переменными состояния?
18.×òî òàêîå óðàâнения состояния цепи? Кàêîâà åãî ìàтричнàÿ ôîðìà çàïèñè?
19.В чем сущность метоäà ìàтричных экспонент?
20.Ñóòü ìåòîäà Ðóíãå-Êóòòà.
21.Что лежит â îñíîâå ìåòîäîâ решения урàâнения состояния цепи?
184
ГЛАВА 7. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ
7.1. Преобразование Лапласа и его свойства
Îïåðàторный метоä берет нà÷àëî ñî âремени àíàëèçà бесконечно мàëûõ âеличин, коãäà áûëè îáíàружены опреäеленные àíà- ëîãèè ìåæäó äифференциàëüíî-èíòåãðàльными и àëãåáðàическими урàâнениями. В XIX â. был опубликоâàí ðÿä ðàáîò ïî îïåðà- ционному исчислению М.Е. Вàщенко-Зàõàрченко, О. Хэâèñàéäà, Ä. Êàðñîíà è äð. Îäíàêî ñòðîãое обосноâàíèå îïåðàторный метоä получил только â XX â. íà áàзе общей теории функционàльных преобрàçîâàíèé.
 îñíîâå îïåðàторноãî ìåòîäà ðàñ÷åòà перехоäных процессоâ лежит преобрàçîâàíèå Ëàïëàñà, которое позâоляет перенести решение из облàсти функций äåéñòâительноãо переменноãî t â îá- ëàсть комплексноãо переменноãî ð:
p = α + jω. |
(7.1) |
Ïðè ýòîì îïåðàöèè äифференцироâàíèÿ è èíòåãðèðîâàния функций âремени зàменяются соотâåòñòâующими оперàциями умножения и äеления функций комплексноãо переменноãî íà îïåðàòîð ð, что сущестâенно упрощàåò ðàñ÷åò, òàê êàê ñâîäит систему äифференциàльных урàâнений к системе àëãåáðàических. В оперàторном метоäå îòïàäàет необхоäимость опреäеления постоянных интеãðèðîâàния. Этими обстоятельстâàми объясняется широкое применение этоãî ìåòîäà íà ïðàктике.
Ðàçëè÷àют прямое и обрàтное преобрàçîâàíèå Ëàïëàñà. Прямое преобрàçîâàíèå Ëàïëàñà îïðåäеляется урàâнением.
∞ |
|
F ( p ) = ò f (t ) e−ptdt, |
(7.2) |
0 |
|
ãäå f(t) ïðè t ниченно
функция äåéñòâительноãо переменноãî t, îïðåäеленнàÿ 0 (ïðè t < 0; f(t) = 0) è óäîâëåòâоряющàÿ óñëîâèÿì îãðà- ãî ðîñòà:
f ( t ) |
|
< Mec0t, |
(7.3) |
|
ãäе множитель Ì è ïîêàçàòåëü ðîñòà ñ0 положительные äåéñò- âительные числà. Íà рис. 7.1 изобрàæåíà îáëàñòü îïðåäеления функции комплексноãо переменноãî F(p).
Îáðàтное преобрàçîâàíèå Ëàïëàñà îïðåäеляют из решения (7.2):
f ( t ) = |
1 |
c+ j∞ F ( p ) eptdp. |
(7.4) |
|
2πj |
||||
|
ò |
|
||
|
|
c− j∞ |
|
185
jω |
|
|
|
|
Функция F(p), îïðåäеляемàÿ óðàâнением |
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
(7.2), носит нàçâàíèå изобрàжения по Лàïëà- |
||
|
|
|
|
|
ñó, à функция f(t) â (7.4) îðèãèíàëà. Ñëå- |
||
0 |
|
|
|
|
äîâàтельно, ориãèíàë |
и изобрàжение преä- |
|
c0 |
|
α |
ñòàâëÿþò |
собой пàðó |
функций äåéñòâитель- |
||
|
|
|
|
|
íîãî f(t) и комплексноãî F(p) переменноãî, |
||
|
Ðèñ. 7.1 |
|
|
ñâÿçàííûõ |
преобрàçîâàíèåì Ëàïëàñà. Äëÿ |
||
|
|
|
ñîêðàщенной зàïèñè |
преобрàçîâàíèé (7.2), |
|||
|
|
|
|
|
(7.4) используют слеäующую симâолику:
f (t ) F ( p ); f (t ) € F ( p ); F ( p ) = L f (t ) ; f (t ) = L−1 F ( p ) ,
ãäå L îïåðàòîð Ëàïëàñà. Â äàльнейшем äëÿ îïðåäеленности бу- äем использоâàòü çíàê ñîîòâåòñòâèÿ .
Ðàссмотрим осноâíûå ñâîéñòâà преобрàçîâàíèé Ëàïëàñà. Свойство линейности ÿâляется слеäñòâием линейности преоб-
ðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà, åãо можно зàïèñàòü â форме
n |
n |
|
å akfk (t ) å akFk ( p ), |
(7.5) |
|
k=1 |
k=1 |
|
ãäå ak постоянные коэффициенты рàзложения. Сâîéñòâî (7.5) ëåãêî äîêàçàть, если применить к леâîé ÷àсти соотношения (7.5) прямое преобрàçîâàíèå Ëàïëàñà (7.2).
Дифференцирование оригинала. При ненулеâûõ íà÷àльных услоâèÿõ: f(0 ) ¹ 0 äифференцироâàíèå îðèãèíàëà ñîîòâåòñòâóåò ñëå- äующему услоâèþ
f ′ (t ) pF ( p ) - f (0− ). |
(7.6) |
Äëÿ äîêàçàтельстâà (7.6) ïîäñòàâèì f¢(t) â преобрàçîâàíèå (7.2)
â âèäå
∞ |
∞ |
ò f ¢ (t ) e−ptdt = ò e−ptdf (t ). |
|
0 |
0 |
Îòñþäà после интеãðèðîâàíèÿ ïî ÷àстям получàåì:
∞ |
|
∞ |
ò e−ptdf = e−ptf (t ) |
|
0∞ + pò e−ptf (t ) dt = pF ( p ) - f (0− ). |
|
||
0 |
0 |
 ñëó÷àå íóëåâûõ íà÷àльных услоâèé
f¢(t ) pF ( p ); f¢¢(t ) p2F ( p ); K f n (t ) pnF ( p ).
Интегрирование оригинала |
|
|
|
|
|||
t |
F ( p ) |
|
t |
t |
F ( p ) |
|
|
ò f (t ) dt |
|
; |
òK ò f (t ) dnt |
|
. |
||
p |
pn |
||||||
0 |
|
{ |
|
||||
|
|
0 |
0 |
|
|
n ðàç
(7.7)
(7.8)
186
Äîêàçàтельстâо осущестâляется путем использоâàíèÿ ñâîéñòâà äифференцироâàíèÿ îðèãèíàëà (7.6), (7.7).
Изменение масштаба независимого переменного (теоремà ïî-
äîáèÿ)
f ( at ) |
1 |
æ |
p ö |
|
|
||
|
F ç |
|
÷ |
, |
(7.9) |
||
a |
|||||||
|
|||||||
|
è |
a ø |
|
|
ãäå à постоянный âещестâенный коэффициент. Сâîéñòâî (7.9) ëåãêî äîêàçûâàется путем зàìåíû íåçàâисимой переменной t = at â прямом преобрàçîâàíèè Ëàïëàñà (7.2).
Смещение в области действительного переменного (теоремà çàïàçäûâàíèÿ):
f (t ± t0 ) e±pt0 F ( p ). |
|
(7.10) |
|
Äëÿ äîêàçàтельстâà (7.10) ââåäåì ñëåäующие обознàчения: |
|
||
|
∞ |
|
|
Y ( p ) |
= ò f (t ± t0 ) e−ptdt. |
|
|
|
0 |
|
|
Осущестâèì çàмену переменной t = t ± t0. |
|
|
|
∞ |
∞ |
|
|
Y ( p ) = ò f ( t )e−p( τmt0 )dt = e±pt0 ò f |
( t )e−pτdt = |
|
|
0 |
0 |
|
|
= e±pt0 F ( p ), |
|
|
|
что и требоâàëîñü äîêàçàòü. |
|
|
|
Из соотношения (7.10) |
ñëåäóåò, ÷òî ñäâèã îðèãèíàëà |
ïî îñè |
âремени нà t0 ñîîòâåòñòâует умножению изобрàжения нà e±pt0 .
Смещения в области комплексного переменного (теоремà ñìå-
щения): |
|
F ( p m l ) e±λtf (t ). |
(7.11) |
Теоремà (7.11) ñëåäует непосреäñòâенно из прямоãо преобрàçî- âàíèÿ Ëàïëàñà, åñëè â (7.2) âместо f(t) ïîäñòàâèòü e±λtf (t ) . Ïðè-
чем l может быть кàê äåéñòâительной, тàк и комплексной âели- чиной.
Дифференцирование и интегрирование оригинала по парамет-
ðó (ñâîéñòâо коммутàòèâности): |
|
|
|
|||
|
∂ |
f (t,x ) |
∂ |
|
F ( p,x ); |
(7.12) |
|
¶x |
¶x |
||||
|
|
|
|
|||
x2 |
|
x2 |
|
|
||
ò |
f (t,x )dx |
ò |
F ( p,x )dx. |
(7.13) |
||
x1 |
|
|
x1 |
|
|
|
Äëÿ äîêàçàтельстâà ñâîéñòâ (7.12), (7.13) äîñòàточно проäифференцироâàть или проинтеãðèðîâàть прямое преобрàçîâàíèå Ëàï- ëàñà (7.2) ïî ïàðàметру õ.
187
Произведение изображений:
t |
t |
F1 ( p ) F2 ( p ) ò f1 ( t − x ) f2 ( x ) dx = ò f1 ( x ) f2 ( t − x ) dx. (7.14) |
|
0 |
0 |
Èíòåãðàëû â (7.14) носят нàçâàíèå ñâертки функций f1(t) è f2(t).
Дифференцирование изображения: |
|
||
|
dnF ( p ) |
( −t )n f ( t ). |
(7.15) |
|
dpn |
||
|
|
|
Ñâîéñòâî (7.15) ëåãêî äîêàçûâàется путем äифференцироâàния прямоãо преобрàçîâàíèÿ Ëàïëàñà (7.2).
Интегрирование изображения:
∞ |
f (t ) |
|
|
|
ò F ( p )dp |
. |
(7.16) |
||
t |
||||
0 |
|
|
||
|
|
|
Äàííîå ñâîéñòâî äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî (7.15).
 çàключение приâåäåì ïðåäельные соотношения äëÿ îðèãè- íàëà и изобрàжения:
|
|
lim f ( t ) = lim pF ( p ); |
(7.17) |
||
|
|
t→0 |
p→∞ |
|
|
|
|
lim f ( t ) = lim pF ( p ). |
(7.18) |
||
|
|
t→∞ |
p→0 |
|
|
Дейстâительно, соãëàñíî |
ñâîéñòâà |
äифференцироâàíèÿ |
îðèãè- |
||
íàëà можно зàïèñàòü: |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
ò f′ ( t ) e−ptdt = pF ( p ) − f ( 0 ). |
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
Учитыâàÿ, ÷òî lim e−pt |
= 0, получàåì: |
|
|
||
|
p→∞ |
|
|
|
|
lim |
[ pF ( p ) − f ( 0 ) ] = lim pF ( p ) − lim f ( t ) = 0. |
|
|||
p→∞ |
|
|
p→∞ |
t→0 |
|
Îòñþäà непосреäñòâåííî ñëåäует соотношение (7.17). Анàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ ðàâåíñòâî (7.18).
 êà÷åñòâе примерà íàéäем изобрàжение по Лàïëàñó òèïî- âûõ ñèãíàëîâ. Для теоретических и экспериментàльных иссле-
äîâàíèé õàðàктеристик |
электрических цепей и |
ïåðåäà÷è ñîîá- |
||||||||
1(t) |
|
|
|
|
|
1/τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
t |
τ |
t |
|||||
à) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
á) |
|
|
Ðèñ. 7.2
188
щений по кàíàëàì ñâязи используются рàзличные типы сиãíà- ëîâ: ãàрмонические колебàíèÿ, óðîâни постоянных нàпряжений, послеäîâàтельность прямоуãольных импульсоâ è òàê äàлее. Особо âàæíóþ ðîëü â теоретических исслеäîâàниях электриче- ских цепей иãðàют испытàтельные сиãíàëû â форме еäиничной функции 1(t) è åäиничной импульсной функции d(t) (функция Дирàêà).
Единичная функция. Åäиничнàя функция зàäàåòñÿ óðàâнением (рис. 7.2, à)
1(t ) |
= {1 |
ïðè |
t 0, |
|
|
|
(7.19) |
||||||
|
0 |
ïðè |
t < 0. |
|
|
|
|
||||||
Изобрàжение функции (7.19) буäåò ðàâíî: |
|
|
|
|
|||||||||
∞ |
|
1 |
e−pt |
|
∞ |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
F ( p ) ò1e−ptdt = |
|
|
= |
|
, ò. å., |
1 |
. |
(7.20) |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||
0 |
|
p |
|
|
0 |
|
p |
|
p |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Единичная импульсная функция (функция Дирàêà). Ýòà ôóíê-
öèÿ íàçûâàåòñÿ åùå d-функцией; îíà çàäàåòñÿ óðàâнением |
|
|||
ì |
0 |
ïðè |
t < 0, |
|
d (t ) = íï |
¥ |
ïðè |
t = 0, |
(7.21) |
ï |
0 |
ïðè |
t > 0. |
|
î |
|
Функция Дирàêà ÿâляется физически нереàлизуемой мàòåìà- тической àáñòðàкцией, оäíàêî îáëàäàåò ðÿäом интересных сâîéñòâ è èãðàет очень âàæíóþ ðîëü â теоретических исслеäîâàíèÿõ. Ôîð- ìàëüíî îíà может быть полученà, íàпример, преäельным перехо- äîì (ïðè t ® 0) åäиничноãо импульсà (ñì. ðèñ. 7.2, á), ïëîùàäь котороãî ðàâíà åäинице:
∞ |
|
S = ò d (t ) dt = 1. |
(7.22) |
−∞
Îäним из интересных сâîéñòâ функции d(t) ÿâляется ее фильтрующее сâîéñòâî, îïðåäеляемое рàâåíñòâîì (ðèñ. 7.3):
|
∞ |
f (t ) d (t - t0 )dt = f (t0 ). |
|
|||
|
ò |
(7.23) |
||||
|
−∞ |
|
|
|
|
|
f |
f(t0) |
f(t) |
|
1/τ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
δ(t-t0) |
|
|
0 |
τ |
t |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
0 |
t0 |
|
t |
-1/τ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ðèñ. 7.3 |
|
|
|
|
Ðèñ. 7.4 |
189
Òàáëèöà 7.1
¹ |
Îðèãèíàë f (t) |
Изобрàжение F (p) |
|
ï/ï |
|||
|
|
1 |
A = const |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
p |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
epkt |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
p − pk |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3 |
e j( ωt+ϕ ) |
|
|
|
|
|
e jϕ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
p − jω |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
1 − e−α t |
|
|
|
|
|
|
|
α |
|||||||
|
|
p ( p + α ) |
|
|
||||||||||||
5 |
sin ωt |
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
||||||
|
|
|
|
p2 + ω2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6 |
cos ωt |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
p2 + ω2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
7 |
sin ( ωt + ϕ ) |
p sin ϕ + ωcos ϕ |
||||||||||||||
|
|
|
|
p2 + ω2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
8 |
cos ( ωt + ϕ ) |
p cos ϕ − ωsin ϕ |
||||||||||||||
|
|
|
|
p2 + ω2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
9 |
e−α t sin ωt |
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|||||||
|
( p + α )2 + ω2 |
|
||||||||||||||
10 |
e−α t cos ωt |
|
|
|
|
|
p + α |
|||||||||
|
( p + α )2 + ω2 |
|
||||||||||||||
11 |
At |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|||||||
|
|
|
|
|
|
p2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
12 |
Ate−α t |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
( p + α )2 |
|
Íàéäем изобрàжение еäиничной импульсной функции â форме изобрàжения рàзности äâóõ åäиничных функций âеличины 1(t), ñäâинутых äðóã относительно äðóãà íà τ (рис. 7.4). Для этих функций с учетом теоремы зàïàçäûâàния имеем:
F1 ( p ) = 1τp; F2 ( p ) = τ1p e−pτ.
Для результирующеãо изобрàжения с учетом сâîéñòâà линейности получим
190