Математический анализ_1_сем_ЭЗ
.pdfУральский социально-экономический институт (филиал) Образовательного учреждения профсоюзов высшего профессионального образования
Академия труда и социальных отношений
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Контрольные задания для студентов заочной формы обучения направления «Экономика»
Челябинск 2011
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Общие указания................................................................................................................................. |
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Тема 1. Пределы ................................................................................................................................ |
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Тема 2. Производная ......................................................................................................................... |
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Тема 3. Исследование функции с помощью дифференциального исчисления............................. |
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Тема 4. Неопределенный интеграл: непосредственное интегрирование. ..................................... |
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Тема 5. |
Неопределенный интеграл: метод замены переменной. ................................................... |
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Тема 6. |
Неопределенный интеграл: метод интегрирования по частям. ........................................ |
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Тема 7. |
Неопределенный интеграл от дробно-рациональной функции. ....................................... |
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Тема 9. |
Определенный интеграл..................................................................................................... |
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Список литературы.......................................................................................................................... |
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Приложение ..................................................................................................................................... |
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Общие указания
Дисциплина «Математический анализ» изучается в первом семестре и содержит
следующие разделы математики:
1.Пределы.
2.Производная.
3.Исследование функции с помощью дифференциального исчисления.
4.Экстремумы функции нескольких переменных.
5.Неопределенный интеграл: непосредственное интегрирование.
6.Неопределенный интеграл: метод замены переменной.
7.Неопределенный интеграл: метод интегрирования по частям.
8.Неопределенный интеграл от дробно-рациональной функции.
9.Неопределенный интеграл от иррациональных и тригонометрических функций.
10.Определенный интеграл.
При выполнении контрольной работы необходимо строго придерживаться указанных
ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил не зачитываются и
возвращаются студенту для переработки:
1.Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клетку чернилами любого цвета, кроме красного.
2.В заголовке работы на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента,
его инициалы, учебный номер (шифр), название дисциплины, номер контрольной работы; здесь же следует указать название учебного заведения (см. приложение). В
конце работы следует поставить дату ее выполнения и подпись студента.
3.В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по положенному варианту. Контрольные работы, содержащие не все задания, а также
задачи не своего варианта, не зачитываются.
4.Решения задач надо располагать в порядке возрастания их номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач.
5.Перед решением задачи надо полностью выписать ее условие. В том случае, если несколько задач, из которых студент выбирает задачи своего варианта, имеет общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными, взятыми из соответствующего номера.
6.Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи. Вычисления должны быть доведены до конечного числового результата (в виде десятичного числа).
7.В конце работы необходимо привести список использованной литературы.
8.После получения отрецензированной работы студенту необходимо исправить все отмеченные ошибки и недочеты. Если работа возвращена на доработку, то следует переделать те задачи, на которые указывает рецензент, а при отсутствии такого указания вся контрольная работа должна быть выполнена заново. Переделанная работа высылается на повторное рецензирование обязательно с не зачтенной ранее работой и рецензией к ней. При этом на обложке следует указать фамилию рецензента.
9.На экзамен студент должен явиться с контрольными работами, допущенными к собеседованию.
10.Номера задач индивидуального задания контрольной работы определяются по таблице с помощью первой буквы фамилии студента:
Первая буква фамилии |
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А |
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В |
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Номер задачи в каждой |
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теме |
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Первая буква фамилии |
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З |
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И |
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К |
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Л |
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М |
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Н |
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О |
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Номер задачи в каждой |
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теме |
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Первая буква фамилии |
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Р |
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С |
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Т |
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У |
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Ф |
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Х |
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Номер задачи в каждой |
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теме |
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Первая буква фамилии |
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Ц |
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Ч |
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Ш |
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Щ |
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Э |
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Ю |
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студента |
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Номер задачи в каждой |
22 |
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теме |
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РАБОТЫ, ВЫПОЛНЕННЫЕ БЕЗ СОБЛЮДЕНИЯ ЭТИХ ПРАВИЛ, К ЗАЧЕТУ НЕ
ПРИНИМАЮТСЯ И ВОЗВРАЩАЮТСЯ БЕЗ РЕЦЕНЗИРОВАНИЯ ДЛЯ
ПЕРЕРАБОТКИ.
Тема 1. Пределы
Задача 1. Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
1. |
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2x 2 |
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125 |
25x |
3 |
x |
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cos 3x tg5x |
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x 1 |
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x |
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x |
5x 3 5x2 2x 1 |
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sin(3,5x) |
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x 5 8 x3 |
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lim |
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2cos8x arcsin 4x |
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x2 2x 1 |
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x 2 |
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x 1 |
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x |
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8 x6 |
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x2 x 2 |
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x 20 x3 |
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x 1 1 x |
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lim |
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lim |
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x 0 |
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x |
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2 |
x2 x 6 |
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x |
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x 1 tg x |
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2 |
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lim |
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lim |
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4 x |
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x 5 |
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3 |
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2 |
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2 |
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2x 1 4x 1 |
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x 0 |
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12. |
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lim |
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lim |
lim |
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lim |
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13. |
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150x 100x |
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3 |
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60x 180 |
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lim |
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lim |
54 x 162 |
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tg |
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5x |
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3 4x |
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lim |
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x |
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x |
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x |
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x 27 |
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27 x |
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14. |
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2x 3 x |
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15sin x arcsin 3x |
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6 27 x |
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lim |
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x |
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1 1 x |
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ln |
1 2x |
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1 x |
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x |
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x 0 |
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x 1 1 |
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3 |
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lim ctg(x 1) arctg 2x 2 |
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7 x |
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5x 3x |
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x 2 |
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x 1 |
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x2 x 12 |
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3 10x2 |
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x 3 |
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x |
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x |
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1 2x 3 |
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16. |
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3x |
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x2 5x 4 |
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arcsin x 2 |
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4 16x8 3x5 |
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1 |
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lim arcsin |
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ctg5x |
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x 1 |
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arcsin |
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lim |
x arcsin 2x |
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lim |
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2 x3 125 |
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5 x2 1 3x 1 |
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lim |
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2e3x 2 |
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x |
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5x 1 x2 |
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x 0 |
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1 cos |
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x 5 |
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x |
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x |
0 arcsin 2x |
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3 |
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25. |
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2x 15x |
5 |
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1 |
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x cos x |
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8x 64 |
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4x |
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240 120 x |
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lim |
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lim |
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3x2 1 5x3 x 2 |
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x |
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x |
8x |
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x |
x 8 |
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x 8 |
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x 0 |
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x |
8 |
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tg 3 |
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26. |
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esin11x2 |
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cos 3x 1 |
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sin 1 x |
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9x6 5x5 x |
lim |
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lim |
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lim |
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x 1 |
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x 5 x 1 x2 3x |
x 0 |
1 cos 2x |
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x 0 |
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x |
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x 1 |
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27. |
lim |
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x 4x 3 |
lim 2x |
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3 4x |
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5 |
lim |
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5 x |
3 x |
lim e |
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1 |
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2 |
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2 |
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3 |
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arcsin 6 x |
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x 3 x3 3x 2 x 3 |
x |
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x5 3x 1 |
x 1 |
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x x2 |
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x 0 |
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4 x 2 |
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28. |
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arcsin |
2 |
8 x |
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25 5x |
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2 |
3x 10 |
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1 tg3x 1 |
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e |
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1 |
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x |
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lim |
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lim |
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lim |
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lim |
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2x2 x 10 |
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x 0 |
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16 x 4 |
x 0 ln2 1 sin 3x |
x x2 3 2x2 8 |
x 2 |
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Тема 2. Производная
Задача 2. Найти производную y´(x).
1. |
y x arctg ln |
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15. |
y x ln x2 |
tg x 4x2 |
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x2 |
3 |
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y x |
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e x2 |
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y x |
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5x sin x |
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1 3x |
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2x |
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5x |
5 |
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2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
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y x |
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2. |
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cos 4 |
x |
2 |
3 |
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16. |
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x |
2 |
ln x |
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y x |
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y x |
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x x2 |
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y x tg 4x |
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2x 1 |
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y x |
tg2x |
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4x3 2 |
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x2 1 |
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y x arcsin 3x2 |
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8 |
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y x cos2 |
2x 4 |
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4x 1 |
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3. |
y x arctg ln 3 |
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17. |
y x ln x ex arcsin x |
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x2 |
1 |
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y x tg2 |
x sin 4x |
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y x ln x 3 |
4 |
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x2 1 |
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y x ln2 4x3 1 |
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2 x |
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y x |
27x7 |
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sin3 x 1 |
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4. |
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x2 |
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2 |
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18. |
y x x2 3 log5 x 7x2 |
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y x tg arccos |
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x 4 |
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e |
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4 |
5x |
3 |
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y x |
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y x arctg2 |
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x cos e2x 1 |
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sin 4x |
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y x 8 |
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tg 2x |
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y x |
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cos x |
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4 5x2 |
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5 x2 |
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5. |
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19. |
y x arcctg |
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y x x arcsin 5 |
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2x 1 |
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x2 x |
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3 |
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y x |
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5x sin2 9x |
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ln |
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y x |
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x x |
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2 |
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4 |
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y x tg3 6x ex |
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y x ln arcsin x |
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3 |
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6. |
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2 |
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x 1 |
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20. |
y x sin x ln 9 |
x x2 |
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y x |
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arctg |
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ln |
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5 |
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sin 2 x |
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4x sin 2x |
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y x |
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5e3x |
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y x |
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x |
4x |
2 |
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cos x2 |
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8 |
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y x ctg x 4 |
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2x5 |
1 |
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y x sin3 |
x tg3x |
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7. |
y x ln arctg x2 |
3 |
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21. |
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y x ln 3 |
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5 |
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y x |
cos2 |
4x 5x |
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x5 5x4 |
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x |
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2x2 7 |
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y x tg6 9x arcsin |
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y x |
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x |
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sin 4x |
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y x |
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cos3 4x |
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x |
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x 2 |
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8. |
y x arctg |
1 x |
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22. |
y x |
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cos ex 2 |
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1 x |
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arcsin 9x 1 |
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y x |
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4e2 x |
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y x |
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log3 x 4 |
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ln x2 |
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2 |
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tg3 6x |
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y x 2x3 sin2 x 8 |
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y x x6 |
cos x |
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x |
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9. |
y x sin2 tg x2 |
|
e5x3 |
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23. |
y x cos x x2 ln x3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y x |
ln 4x3 2 e5x |
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y x cos3 3x 4 |
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1 3x2 |
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y x |
ctg 2x |
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y x |
e |
4 x 2 |
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||||||||
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x2 1 |
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x |
2 |
4 |
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10. |
y x |
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x |
24. |
y x |
1 x2 cos x |
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5 x |
2 |
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arcsin |
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5 |
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1 arctg x |
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y x arctg 2x 24 x3 |
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y x tg x 6 x |
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1 x |
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y x |
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3 |
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y x |
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e |
2 x |
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sin 2x 1 |
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x |
2 |
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1 |
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11. |
y x 6 |
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25. |
y x cos2 x 7 10x2 |
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x2 2 sin(ln x) |
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y x 4 |
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5 |
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2 x3 |
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2x2 |
1 sin3 5x |
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y x |
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|
y x |
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4x |
2 |
|
1 |
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tg x |
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y x ctg 2x 3 e 4x |
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tg7x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12. |
|
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26. |
y x x tg x ln tg x2 |
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2 |
|
|
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|
x |
2 |
7 |
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|
y x tg x |
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y x |
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|
2x |
2 |
1 |
|
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|
y x ctg2 |
x 7 |
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|
|
4x3 1 |
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4 2 x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y x |
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|
cos 4x |
|
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|
y x tg4x e2 x |
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||||||||||||||||||||||||||||||
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x2 |
5 |
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||||||||||||
13. |
y x cos3 tg x4 2x |
|
|
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|
27. |
y x arctg ex cos x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y x |
|
|
arcsin 5x |
|
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|
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|
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|
e4 x |
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e8x 1 |
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y x 5 |
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||||||||||||||||
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|
4 |
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|
2 3x |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
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y x 4x |
5 |
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|
y x 4x |
3 |
arcsin 5x |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
ln tg |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
x2 |
|
|
|
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|
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|||||||||
14. |
y x sin x log2 ex 7 |
|
|
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|
28. |
y x |
|
|
|
|
|
|
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|
tg x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y x 4 |
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|
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|
|
|
|
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|
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|
|
2 arcctg |
|
|
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|
x |
|||||||||||||||||||||
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|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x3 8 tg 2x |
|
|
|
|
|
|
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y x |
4 sin |
2 |
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x |
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y x |
6 |
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4 x2 |
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ln 5x 3 |
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x |
2 |
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1 |
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y x arcsin x3 4xx2 |
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Тема 3. Исследование функции с помощью дифференциального исчисления.
Задача 3. Выполнить полное исследование функции по следующей схеме:
1)найти область определения функции;
2)определить, является ли функция четной или нечетной;
3)определить, является ли функция периодической;
4)найти точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства функции;
5)найти точки разрыва функции, односторонние пределы функции в этих точках;
6)найти наклонные и горизонтальные асимптоты графика функции;
7)найти интервалы возрастания и убывания функции, экстремумы функции;
8)найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба графика функции.
1. |
y |
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x2 |
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15. |
y |
x 4 2 |
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4 x 2 |
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2 x 2 |
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2. |
y x |
2 |
x 7 |
16. |
y x |
2 |
9 |
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x 1 |
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x 2 |
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3. |
y |
x |
2 |
x 2 |
17. |
y x |
2 |
7x 10 |
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||||||
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|
x 1 |
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|
x 1 |
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4. |
y |
|
x2 |
18. |
y |
|
x2 |
||||||||||||||||||||||||
|
3 x 3 |
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|
|
4 x 4 |
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5. |
y |
x |
2 |
2x 2 |
19. |
y |
x 1 |
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|
2 |
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|
x 1 |
|
|
|
|
x 3 |
|||||||||||||||||||
6. |
y |
x2 8x |
20. |
y |
x2 2x 10 |
||||||||||||||||||||||||||
|
2 x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x 3 |
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||||||||||||||||||
7. |
y |
2x x2 6 |
21. |
|
|
x 2 2 |
|||||||||||||||||||||||||
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|
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|
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|
y 4 x 1 |
|||||||||||||||||
|
|
2 x 1 |
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|
|
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|
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8. |
y |
3 x 2 |
22. |
y x |
2 |
3x 6 |
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|
2 |
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||||||
|
|
|
|
4 x 3 |
|
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||||||||||||||||
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|
x 1 |
|||||||||||||||||||||
|
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9. |
y x |
2 |
4 |
23. |
y x |
2 |
4x |
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|
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|||||||||||||||||||
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
x 1 |
|||||||||||||||||||||||
10. |
y x |
2 |
3x 11 |
24. |
y x |
2 |
2x 5 |
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|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
2 x 1 |
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11. |
y |
x 3 2 |
25. |
y |
8x x2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
2 x 1 |
|
2 x 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||
12. |
y |
x2 3x 11 |
26. |
y |
x 2 2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x 2 |
|
2 x 1 |