Метрология Задача 3
Тема: Статистическая обработка результатов многократных измерений
1 Теоретическая часть
Статистическая обработка результатов многократных измерений основывается на использовании большого объёма практически полученной апостериорной информации.
Цель статистической обработки результатов измерений: получить более достоверную информацию о том, в каких границах можно ожидать появление измеряемой случайной физической величины (например: измеряемого размера).
При этом решаются три задачи:
оценивание области неопределённости исходных экспериментальных данных;
нахождение более точного усреднённого результата измерений;
оценивание погрешности этого усреднённого результата, то есть нахождение более узкой области неопределённости числового появления размера.
1.1 Определения
Статистическая обработка результатов измерений – заключается в определении границ доверительного интервала в размерном ряду, в которых может появиться ожидаемый размер объекта измерения.
Апостериорная информация – та, которая получена путём проведения практических измерений.
Доверительный интервал – границы числового ряда значений случайной величины, внутри которых с определённой вероятностью будет находиться математическое ожидание этой случайной величины. Для закона нормального распределения случайных величин эти границы расположены симметрично их среднему арифметическому значению (например, измеряемый диаметр деталей круглой формы: его размер – это случайная величина).
Доверительная вероятность – вероятность, соответствующая этому доверительному интервалу.
Число степеней свободы – для закона нормального распределения случайных величин это – число интервалов в диапазоне рассеивания размеров минус 3 (три вычисляемых с помощью этих расчётов величины).
Диапазон рассеивания размеров – разность между максимальным и минимальным размерами.
Интервалы в диапазоне рассеивания размеров – отрезки оси размеров, делящие диапазон рассеивания на равные части.
Случайная величина – которая в результате опыта может принять то или иное значение, не известное заранее (например, измеряемый диаметр одинаковых деталей круглой формы).
Дискретная величина – случайная величина, которая может принять только раздельное, отделенное от соседних величин из размерного ряда значение величины (например, возможное число очков при бросании во время игры в кости).
Действительная величина – числовой результат измерения.
Выборка – некоторое небольшое количество измерений, проделанное для того чтобы по их результатам судить о более полном диапазоне рассеивания измеренной величины.
Гистограмма – график, в прямоугольных осях «частость – диапазон рассеивания измеренных значений», состоящий из вертикальных прямоугольников различной высоты и эмпирической ломаной кривой, соединяющей серединки верхних перекладин прямоугольников, отображающей закон распределения измеряемых случайных величин.
1.2 Порядок проведения статистических измерений
В некотором количестве одинаковых измерений одной и той же физической величины размерные значения несколько отличаются друг от друга .
Если количество измерений в выборке невелико, то для определения доверительного интервала более полного разброса их значений необходимо провести статистическую обработку результатов измерений.
Статистическая обработка результатов измерений производится следующим образом.
1) Располагают полученные в процессе N измерений действительные значения xi в порядке возрастания их величины и тем самым получают ранжированный ряд случайных дискретных величин: x1; x2 …xN.
2) Диапазон рассеивания R определяется как разность между максимальной xi max и минимальной xi min величинами действительных значений измерений:
R = xi max – xi min .
3) Полученное значение диапазона рассеивания разбивают на k интервалов (рекомендуется 7 – 12 интервалов. При малых выборках число интервалов равно числу групп одинаковых значений измерений). Задавшись числом интервалов, рассчитывают дискретный шаг интервалов по формуле:
p = R/k .
4) Для каждого интервала подсчитывают число измерений nj, имеющих величину, находящуюся в пределах границ этого интервала, среднее арифметическое значение в группе измерений j-того интервала, а также частость числа измерений nj /(N – 1) в данном интервале.
Результаты измерений и расчётов заносят в таблицу 1.
Таблица 1 – Пример записи значений случайной величины при N=9 и k=5
Номер измерения |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 | ||
xi(итое) |
23 |
24 |
24 |
25 |
25 |
25 |
26 |
27 |
27 | ||
(житое) |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 | ||||||
nj(житое) |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 | ||||||
nj /(N – 1) |
1/8 |
2/8 |
3/8 |
1/8 |
2/8 |
где xi –значение i-того измерения;
–среднее арифметическое значение в группе измерений j-того интервала:
.
5) По экспериментальным данным строят гистограмму и эмпирическую кривую (полигон) распределения значений случайной величины. Масштаб гистограммы выбирают таким, чтобы её высота относилась к основанию примерно как 5:8.
6) Определяют среднее арифметическое значение всех замеренных действительных значений величин:
.
7) Рассеяние значений случайных величин в выборке из N измерений относительно эмпирического (опытного, практического) группирования их по интервалам характеризуется уточнённым эмпирическим средним квадратическим отклонением, которое определяется по формуле:
= ,
8) По результатам выборки устанавливают границы, внутри которых с определённой вероятностью будет находиться математическое ожидание F(x) случайной величины x. Эти границы определяют доверительный интервал, который зависит от доверительной вероятности β. В общем случае при малой выборке и различной доверительной вероятности доверительный интервал в своих меньшей и большей границах выразится следующими неравенствами:
F(x),
где - среднее квадратическое отклонение для распределения средних арифметических величин:
;
tδ – критерий Стьюдента, который для β=0,9 (90% доверительная вероятность) при данном числе степеней свободы К (приведён в таблице 2).
Таблица 2 – Критерий Стьюдента при доверительной вероятности β=0,9 и данном числе степеней свободы К
К |
15 – 16 |
17 |
18 – 20 |
21 – 22 |
23 – 27 |
28 – 30 |
tδ |
1,75 |
1,74 |
1,73 |
1,72 |
1,71 |
1,70 |
9) Сравнивают границы доверительного интервала с допуском на размер (если он задан в условии задачи) и делают вывод о годности всей партии деталей.
10) Ответом на решение задачи является доверительный интервал с указанием величин его меньшей и большей границ.