- •Глава 1. Линейная алгебра.
- •§1. Матрицы и действия над ними.
- •1.1. Понятие матрицы
- •1.2. Основные операции над матрицами и их свойства.
- •§2. Определители.
- •2.1. Понятие определителя.
- •2.2. Свойства определителей.
- •§3. Обратная матрица.
- •3.1. Понятие обратной матрицы. Теорема об обратной матрице.
- •3.2. Метод элементарных преобразований.
- •§4. Системы линейных уравнений. Методы решения.
- •4.1. Понятие системы линейных уравнений.
- •4.2. Матричный способ решения слу.
- •4.3. Формулы Крамера.
- •§5. Ранг матрицы. Теорема кронекера-капелли. Решение произвольных методов гаусса. Однородные системы.
- •5.1.Ранг матрицы.
- •5.2. Методы нахождения ранга матрицы.
- •5.3. Теорема Кронекера-Капелли.
- •5.4.Решение произвольных систем методом Гаусса.
- •5.5. Однородные системы.
- •§6. Линейные и евклидовы пространства.
- •6.1. Понятия вектора, линейного пространства.
- •6.2. Линейная зависимость векторов. Базис.
- •6.3. Евклидовы пространства. Неравенство Коши-Буняковского.
Лекция 1.
СПИСОК РЕКОМЕНДОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1.Курош А.Г. Курс высшей алгебры. «Наука», М.,1971.
2. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. «Наука»,М.,1969.
3.Гусак А.А. Высшая математика в 2-ух томах. ТетраСистемс, Минск, 2003.
4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т.1, т.2, «Наука».
5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. «Наука» М., 1980.
6.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-ух частях. «Высшая школа». М., 1986.
7. Бугров Я.С., Никольский С.М. Задачник. «Наука», М.,1982.
8.Ефимов А.В., Каракулин А.Ф., Кожухов И.Б. и др. Сборник задач по математике для втузов. В 4-ех частях. Изд-во физ.-мат. литературы, М., 2003.
9. Добронец Б.С., Носков М.В. и др. Под общ. ред. Гульновой Б.В. Высшая математика. Линейная и векторная алгебра, элементы аналитической геометрии: Учебное пособие КГТУ. 2001.
10. Загибалов В.И., Петрова В.Г., Широкова О.Д. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии: Учебное пособие, Красноярск, КГТУ, 1999.
Глава 1. Линейная алгебра.
§1. Матрицы и действия над ними.
1.1. Понятие матрицы
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел или буквенных выражений, содержащая некоторое количествоmстрок и некоторое количествоnстолбцов. В этом случае говорят, что матрица имеет размерностьmn.
Обозначения:
А==
Числа aijназываются элементами матрицы. Первый индексi означает номер строки, а второй индексj - номер столбца.
Квадратной матрицей называется матрица, у которой число строк равно числу столбцов.
А=
При этом число nназываетсяпорядкомматрицы. Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, идущая из левого верхнего угла в правый нижний (a11,a22,...,ann). Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ, идущая из левого нижнего угла в правый верхний (an1,a(n-1)2,…,a1n).
Примеры: (просто матрица и квадратная матрица).
Матрица, содержащая один столбец , называетсяматрицей-столбцом. Матрица, состоящая из одной строки, называетсяматрицей-строкой.
Треугольнойматрицей называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные по одну сторону от главной диагонали равны нулю.
А=А=
верхняя треугольная матрица нижняя треугольная матрица
Матрица произвольных размеров
, гдеаii≠0 (i= 1,2,…r),aik=0 приi>rназываетсяквазитреугольной (ступенчатой или трапецевидной).
Две матрицы А=(аij)иB=(bij)называютсяравными, если они одинаковой размерности и их соответствующие элементы равны, т.е.аij=bij (i=1,2,…,m,j=1,2,…,n).
Нулевой матрицейО называется матрица, у которой все элементы равны нулю.Единичной матрицейЕ называется квадратная матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали равны единице, а все остальные нулю.Диагональной матрицей называется матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали равны нулю. Диагональная матрица, у которой все элементы, стоящие на главной диагонали равны, называетсяскалярной.
Пример: О=,Е=С=,D=
1.2. Основные операции над матрицами и их свойства.
а) Сложение матриц.Суммойдвух матрицА=(аij)иB=(bij) (i=1,2,…,m,j=1,2,…,n) одной и той же размерности называется матрицаС=(сij) (i=1,2,…,m,j=1,2,…,n) той же размерностиmn, элементы которой равныcij=aij+bij .Для обозначения суммы двух матриц используют запись:C=A+B.
Операция сложения матриц обладает следующими свойствами:
1. A+B=B+A (переместительное)
2. (A+B)+C=A+(B+C) (сочетательное).
Разность матриц определяется следующим образом: С=А–В=А+(–1)В
Пример:
б) Умножение матрицы на число. Произведением матрицыА=(аij)на вещественное число α называется матрицаС=(сij)(i=1,2,…,m,j=1,2,…,n), элементы которой равнысij=α аij. (i=1,…,m,j=1,…,n). Для обозначения произведения матрицы на число используют запись:C=αA (C=Aα).
Свойства операции умножения матрицы на число:
1. сочетательное свойство относительно числового множителя (αβ)А=α(βА);
2. распределительное свойство относительно суммы матриц α(А+В)=αА+αВ;
3. распределительное свойство относительно суммы чисел (α+β)А=αА+βА.
Пример:
в). Перемножение матриц.Произведением матрицыА=(аij)(i=1,m,j=1,n) размерностиmnна матрицуB=(bij)(i=1,n,j=1,l) размерностиnlназывается матрицаС=(сij)(i=1,m,j=1,l), имеющая размерностьml, элементы которой определяются по формуле:
cij=ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj=i=1,m,j=1,l. , т.е. элементcij равен сумме произведений элементовi-й строки матрицыАна соответствующие элементыj-го столбца матрицыВ.
Для обозначения произведения матриц используют запись C=AB.
Перемножаются только те матрицы, у которых число столбцов первой равно числу строк второй.
Свойства:
1. (АВ)С=А(ВС) (сочетательное);
2. распределительное относительно суммы матриц (А+В)С=АС+ВС;
Произведение двух матриц не обладает перестановочным свойством, т.е. АВ≠ВА. ЕслиАВ=ВА, то такие матрицы называютсяперестановочными.
Пример:
В силу сказанного выше AE=EA=Е, AO=OA=O.
г). Транспонирование матриц. Транспонированием матрицыАназывается такая операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования. ОбозначениеС=Ат.
Свойства:
1. (А+В)т=Ат+Вт;
2. (АВ)т=Вт Ат;
3. (αА)т=αАт.
Пример:
Лекция 2.