M3_10_14
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет)
Заочная физико-техническая школа
МАТЕМАТИКА
Последовательности. Пределы
Задание №3 для 10-х классов (2014 – 2015 учебный год)
г. Долгопрудный, 2014
2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы
Составитель: Е.Ю. Редкозубова, ассистент кафедры высшей математики МФТИ.
Математика: задание №3 для 10-х классов (2014 – 2015 учебный год), 2014, 32 с.
Дата отправления заданий по физике и математике – 30 ноября 2014г.
Составитель:
Редкозубова Елена Юрьевна
Подписано 15.09.14. Формат 60×90 1/16. Бумага типографская. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,0.
Уч.- изд. л. 1,77. Тираж 500 Заказ №13-з.
Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического института (государственного университета)
ООО «Печатный салон ШАНС»
Институтский пер., 9, г. Долгопрудный, Москов. обл., 141700, ЗФТШ, тел./факс (495) 408-5145 – заочное отделение,
тел./факс (498) 744-6351 – очно-заочное отделение, тел. (499) 755-5580 – очное отделение.
e-mail: zftsh@mail.mipt.ru
Наш сайт: www.school.mipt.ru
© ЗФТШ, 2014
2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна
2
2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы
§1. Бесконечные числовые последовательности
Определение. Бесконечной числовой последовательностью (или просто последовательностью) называется числовая функция x = x(n),
определённая на множестве N натуральных чисел.
Аргумент n этой функции записывается в виде индекса, т. е. вместо записи x(n) используют запись xn , а саму последовательность часто
обозначают (xn ) . Число xn называют n -м (читается: энным) членом последовательности (xn ) . Задать последовательность означает задать правило по которому каждому натуральному n сопостовляется действительное число xn . Приведём примеры.
(1) |
1 |
; 1; 1; ... (т. е. xn |
= 1 для всех n N ); |
||||||||
(2) |
12 ; 22 ; |
32 ; ... (т. е. |
|
x = n2 для всех n N ); |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
(3) |
1 |
; |
1 |
; |
1 |
; ... (т. е. |
x |
|
= |
1 |
для всех n N ); |
|
|
n |
n |
||||||||
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
(4)последовательность, n -й член которой равен n -му знаку после запятой в десятичной записи числа 338 ;
(5)последовательность, n -й член которой равен количеству простых чисел, не превосходящих n ;
(6) x1 = 1, x2 = 1 , xn = xn 1 xn 2 для всех n 3 (последовательность Фибоначчи).
Как видим, последовательности задаются различными способами. Например, указывается формула n -го члена (примеры (1) – (3)). Закон
соответствия между номером n и членом xn может быть описан сло-
весно (примеры (4) – (5)). Последовательность может быть также задана рекуррентным соотношением: даны несколько первых членов последовательности и формула, выражающая следующие члены последовательности через предыдущие (пример (6)).
Легко убедиться, что в примере (4) x1 = 2 , x2 = 4 , x3 = 2 , x4 = 4 и
т. д., т. е. xn = 3 ( 1)n . В примере (6) формулу n -го члена найти сложнее:
2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна
3
2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
1 |
|
1 |
5 |
|
1 |
5 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
xn |
= |
5 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А вот явную формулу n -го члена последовательности (5) написать невозможно. Тем не менее, многие её свойства установлены и без формулы.
Скажем несколько слов о геометрическом изображении последовательности. Поскольку последовательность (xn ) является функцией, то
геометрически её можно изобразить графиком (рис. 1 а). Однако чаще всего члены последовательности изображаются точками координатной прямой, снабжёнными соответствующими пометками (рис. 1 б).
x x1
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
O |
1 2 3 4 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
0 xn x4x3 x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вопрос. Каким общим свойством обладают последовательности (1), |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2), (5) и (6)? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Ответ. Каждый их член, начиная со второго, не меньше предыдуще- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
го. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Определение. Последовательность (xn ) |
называется строго возрас- |
тающей, если каждый её член, начиная со второго, больше предыдущего, т. е. xn 1 > xn для любого n N. Последовательность (xn ) называ-
ется строго убывающей, если xn 1 < xn для любого n N. Последовательность (xn ) называется нестрого убывающей, если xn 1 xn для любого n N. Последовательность (xn ) называется нестрого возрастающей, если xn 1 xn для любого n N.
2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна
4
2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы
Все такие последовательности (строго возрастающие, строго убывающие, нестрого убывающие, нестрого возрастающие) называются
монотонными.
Пример 1.1. Выяснить, является ли монотонной последовательность
|
|
|
|
|
|
|
|
x = |
|
3n |
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение. |
Уточним, чему равен xn 1 . Для этого вместо n в |
||||||||||||||||
x = |
3n |
подставим n 1, т. е. |
x |
|
|
= |
3(n 1) |
. Рассмотрим разность |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n |
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
n 3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
x |
= |
3(n 1) |
|
|
3n |
= |
3[(n 1)(n 2) n(n 3)] |
= |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n 1 |
|
n |
|
n 3 |
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
(n 2)(n 3) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
= |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
> 0, |
||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
(n 2)(n 3) |
|||||||||||||
значит, xn 1 |
> xn для любого n N . По определению последователь- |
ность (xn ) является строго возрастающей.
Приведённые рассуждения являются стандартными при доказательстве монотонности последовательности. Используя особенности последовательности (xn ), можно установить её возрастание более простым
способом. Запишем x |
|
в виде |
x = |
3n 6 6 |
= 3 |
6 |
, тогда |
|||||
n |
|
|
|
|||||||||
|
|
n |
n 2 |
|
|
|
n 2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
xn 1 = 3 |
6 |
|
> 3 |
|
|
6 |
|
= xn . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
n 3 |
n |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1.2. Выяснить, является ли монотонной последовательность
xn = 3 ( 1)n .
Решение. Последовательность не является монотонной, поскольку x2m 1 = 2 < 4 = x2m и x2m = 4 > 2 = x2m 1 для всех натуральных m.
Вопрос. Каким общим свойством обладают последовательности (1),
(3) и (4)?
Ответ. Все их члены лежат на отрезке [0; 4].
Определение. Последовательность (xn ) называется ограниченной,
если существует число C > 0 такое, что для любого натурального n выполняется неравенство | xn | C.
2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна
5
2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы
Пример 1.3. Доказать, что последовательность (xn ) является огра-
ниченной тогда и только тогда, когда все её члены лежат на некотором отрезке.
Решение. Пусть последовательность (xn ) ограничена. Тогда сущес-
твует число C > 0 такое, что | xn | C для любого n N . Последнее неравенство можно переписать в виде C xn C , т. е. xn [ C; C] .
Обратно, пусть все члены (xn ) лежат на некотором отрезке [m; M ] . Выберем симметричный отрезок [ C; C] , содержащий [m; M ] , тогда
C xn |
C и, следовательно, |
| xn | C . В качестве такого C можно |
|||||||
взять, например, max{| m |, | M |}. |
|
|
|
||||||
Пример 1.4. Выяснить, |
является ли ограниченной последователь- |
||||||||
ность x |
= |
10( 1)n n |
. |
|
|
|
|
||
|
|
n2 1 |
|
|
|
|
|||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Рассмотрим |
| x |= |
|
10n |
. Поскольку при уменьшении |
||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
n2 1 |
знаменателя положительной дроби значение дроби увеличивается, имеем:
| x |= |
10n |
|
|
10n |
= |
10 |
10. |
|
|
|
|
|
|
||||
n2 1 |
n2 |
|
|
|||||
n |
|
|
|
n |
|
|||
Значит, | xn | 10 для любого |
n N . По определению последователь- |
ность (xn ) является ограниченной.
Пример 1.5. Выяснить, является ли ограниченной последователь-
ность x |
= n2 . |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
Решение. Предположим, что последовательность (xn ) |
является ог- |
||||
раниченной. Это означает, что существует такое число C > 0 , |
что при |
||||
|
|
|
|
|
|
всех n |
выполняется неравенство | n2 | C . Однако при |
n > |
|
C 1 |
неравенство не выполняется. Следовательно, предположение неверно, т. е. последовательность (xn ) не является ограниченной.
2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна
6
2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы
§2. Арифметические и геометрические прогрессии
Рассмотрим подробнее два важных класса числовых последовательностей.
Определение. Последовательность (xn ), каждый член которой, на-
чиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d , называется арифметической прогрессией. Число d разность прогрессии.
Таким образом, арифметическая прогрессия есть последователь-ность, заданная рекуррентно равенством xn 1 = xn d и первым членом x1 .
Перечислим основные свойства арифметической прогрессии. |
|
|||||||
1) Формула n -го члена арифметической прогрессии: |
|
|||||||
xn = x1 (n 1)d, |
|
n N. |
(2.1) |
|||||
2) Для конечной арифметической прогрессии x1, x2 , , xn |
суммы |
|||||||
членов, равноотстоящих от концов, равны: |
|
|
|
|||||
x1 xn = x2 xn 1 = x3 xn 2 = |
|
|||||||
= xk xn k 1, |
k = 1, 2, , n. |
(2.2) |
||||||
3) Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии: |
||||||||
S |
|
= |
x1 xn |
|
n, |
(2.3) |
||
n |
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или, учитывая 1), |
|
|
|
|
|
|
|
|
Sn = |
2x1 (n 1)d |
n. |
(2.3`) |
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Приведём ещё характеристическое свойство арифметической прогрессии.
4) Последовательность (xn ) является арифметической прогрессией
тогда и только тогда, когда каждый член последовательности, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних членов:
x = |
xn 1 xn 1 |
, |
n 2. |
(2.4) |
|
||||
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Приведём доказательство лишь 4). Пусть дана арифметическая про-
грессия (xn ) , тогда при n 2 имеем xn = xn 1 d |
и |
xn = xn 1 d . |
Складывая почленно эти равенства, получаем 2xn = xn 1 |
xn 1 . Обратно, |
|
пусть для n -го члена (xn ) , n 2 , выполнено равенство |
(2.4) , тогда |
2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна
7
2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы
2xn = xn 1 xn 1 или |
xn 1 xn = xn xn 1 . Отсюда получаем, что |
xn 1 xn = x2 x1 , т. е. |
любые два соседних члена последовательности |
отличаются на одно и то же число d = x2 x1 . По определению последовательность (xn ) является арифметической прогрессией.
Пример 2.1. Найти сумму первых 10 членов арифметической про-
грессии, если x5 x6 = 4 . |
|
|
|
|
|
|
Решение. По формуле (2.3) |
S |
|
= |
x1 x10 |
10 . Заметим, что члены x |
|
|
|
|||||
|
10 |
2 |
|
5 |
||
|
|
|
|
|
||
и x6 равноотстоят от x1 и x10 |
соответственно. По (2.2) |
x1 x10 = |
= x5 x6 , следовательно, S10 = 42 10 = 20 .
Ответ. 20.
Определение. Последовательность (xn ), первый член которой отли-
чен от нуля и каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же отличное от нуля число q , называется
геометрической прогрессией. Число q знаменатель прогрессии.
Таким образом, геометрическая прогрессия есть последовательность, заданная рекуррентно равенством xn 1 = xn q , первым членом
x1 0 и знаменателем q 0 .
Перечислим основные свойства геометрической прогрессии. 1) Формула n -го члена геометрической прогрессии имеет вид
x |
= x qn 1 |
, n N. |
(2.5) |
n |
1 |
|
|
2) Для конечной геометрической прогрессии |
x1, x2 , , xn произ- |
ведения членов, равноотстоящих от концов, равны:
x1 xn = x2 xn 1 = x3 xn 2 = = |
|
|
= xk xn k 1, |
k = 1, 2, , n. |
(2.6) |
3) Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии:
S |
|
= x |
1 qn |
при q 1 и |
S |
|
= n x |
при q 1. |
|
|
|
q |
|
||||||
|
n |
1 1 |
|
|
n |
1 |
|
Приведём ещё характеристическое свойство геометрической прогрессии.
2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна
8
2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы
4) Числовая последовательность (xn ) ненулевых членов является
геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда модуль каждого её члена, начиная со второго, равен среднему геометрическому соседних членов:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
= |
|
|
xn 1 xn 1 , |
n 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.8) |
||||||||||||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x )2 |
= x |
x |
|
|
, |
n 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.8`) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n 1 |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Докажем свойство 4). Пусть последовательность (xn ) |
является гео- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
метрической прогрессией, тогда x2 |
= (x qn 1 )2 |
= x qn 2 x qn = x |
x |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
n 1 |
|
n 1 |
|
|
||||||||
Обратно, пусть все члены последовательности (xn ) |
|
отличны от нуля и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
для n -го её члена, |
n 2 , выполнено |
x2 = x |
|
|
|
x |
, |
тогда |
xn 1 |
= |
|
xn |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n 1 |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
xn 1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Следовательно, |
|
xn 1 |
= |
x2 |
, или |
x |
= x q , |
где q = |
x2 |
|
. |
|
По определению |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
xn |
|
x1 |
|
|
n 1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
последовательность (xn ) является геометрической прогрессией. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 2.2. Известно, что |
x1, |
x2 , |
|
|
, |
xn геометрическая прогрес- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сия. Известны числа S = x x x |
и T = |
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
. Найти |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
x2 |
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
P = x1 x2 |
xn . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. Обозначим знаменатель прогрессии через q . Преобразуем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
искомую величину |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x x x = x x q x qn 1 = xnq1 2 n 1 = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
n |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n(n 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= xnq |
2 |
|
|
= (x2qn 1) |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пусть |
q 1, |
|
|
тогда |
|
S = x |
|
qn 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
Последовательность |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
q 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 / x1, 1 / x2 , |
, |
|
1 / xn является геометрической прогрессией со знаме- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нателем 1 / q . Следовательно, T = |
|
|
1 |
|
1 q n |
, т. е. T |
= |
1 |
|
qn 1 |
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
q 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x qn 1 (q |
1) |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отсюда заключаем, |
что S / T = x2qn 1 . Последнее равенство, очевидно, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
справедливо и при q = 1. Следовательно, |
P |
|
|
S n |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
T n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
S n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
T n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна
9
2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы
Пример 2.3. Три положительных числа образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Если среднее из них уменьшить на 40%, то получится геометрическая прогрессия, сумма членов которой равна 39. Найти эти числа.
Решение. Обозначим данные числа x1, x2 , x3. По условию сумма x1 0,6x2 x3 равна 39. По характеристическому свойству арифмети-
ческой прогрессии 2x2 = x1 x3 и, следовательно, x1 0,6x2 x3= 2,6x2 .
Отсюда получаем, что x2 = 15 . По характеристическому свойству гео-
метрической |
|
прогрессии |
(0,6x )2 = x x . |
Итак, |
x x |
= 30 |
и |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
3 |
|
|
1 |
3 |
|
|
|
x1 x3 = 81, т. е. по обратной теореме Виета x1 |
и x3 являются корнями |
|||||||||||||||||||||
уравнения |
x2 30x 81 = 0 . Корни этого уравнения равны 3 и 27, сле- |
|||||||||||||||||||||
довательно, |
x1 = 3 и x3 = 27 , поскольку последовательность |
x1, x2 , |
x3 |
|||||||||||||||||||
по условию является возрастающей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Ответ. 3 , 15 и 27. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Пример 2.4. Найти формулу n -го члена последовательности, задан- |
||||||||||||||||||||
ной рекуррентно: x = |
1 |
; x |
= 2x 1 , |
n N. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
n 1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
Рассмотрим |
вспомогательную |
последовательность |
||||||||||||||||
yn = xn a , где число a |
подбирается так, чтобы последовательность |
|||||||||||||||||||||
yn |
была |
геометрической |
прогрессией. |
Подставляя |
xn = yn a |
и |
||||||||||||||||
xn 1= yn 1 a |
в рекуррентное соотношение, имеем |
yn 1 a = 2( yn a) 1, |
||||||||||||||||||||
т. |
|
е. yn 1 = 2yn (1 a) . Последовательность |
yn |
будет геометричес- |
||||||||||||||||||
кой прогрессией, если 1 a = 0 , т. е. |
a = 1. Поскольку |
y = x a = |
3 |
, |
||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формула общего члена геометрической прогрессии yn |
запишется так: |
|||||||||||||||||||||
y |
|
= |
3 |
2n 1 |
( y = |
3 |
, q = 2) |
. Тогда x = y a = 3 2n 2 |
1, |
n 2 . |
|
|
|
|||||||||
|
n |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Ответ. |
x |
= 3 2n 2 1, |
n 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна
10