Вопросы к экзамену по высшей математике
.docВопросы к экзамену по высшей математике
1 курс 2 семестр 2012/2013 уч.г.
-
Первообразная и неопределенный интеграл. Теорема о виде первообразных. Оператор интегрирования. Cвойства неопределенного интеграла. Таблица основных формул интегрирования. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.
-
Понятие интеграла по мере. Основные свойства интеграла по мере.
-
Определенный интеграл. Задача о площади криволинейной трапеции. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем значении.
-
Интеграл как функция верхнего предела. Теорема о производной интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям для определенного интеграла. Замена переменной в определенном интеграле. Приложения определенного интеграла.
-
Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций. Главное значение несобственных интегралов.
-
Двойной интеграл: определение, геометрическая интерпретация. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах. Переход к полярным координатам в двойном интеграле. Приложения.
-
Общая формула замены переменных в кратных интегралах.
-
Тройной интеграл: определение, вычисление в декартовых координатах, приложения. Переход в тройном интеграле к цилиндрическим и сферическим координатам.
-
Криволинейные интегралы по длине дуги: определение, вычисление, приложения.
-
Криволинейные интегралы по координатам: определение, вычисление, приложения.
-
Формула Грина. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования.
-
Приложения интеграла по мере в геометрии и механике: площадь плоской фигуры, площадь поверхности, объём тела, масса тела, статические моменты и центр тяжести, моменты инерции.
-
-
Ряды.
-
Ряды. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Геометрическая прогрессия.
-
Необходимый признак сходимости. Теоремы об остатке ряда. Свойства сходящихся рядов.
-
Сходимость положительных рядов. Теоремы сравнения.
-
Достаточные признаки сходимости: признак Даламбера, радикальный признак Коши, интегральный признак Маклорена-Коши. Оценка остатка ряда с помощью интегрального признака.
-
Сходимость знакопеременных рядов. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
-
Абсолютная и условная сходимость. Достаточный признак сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
-
Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов: теоремы о непрерывности суммы, о почленном интегрировании и дифференцировании функциональных рядов.
-
Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов.
-
Ряд Тейлора. Теоремы о разложении функции в степенной ряд. Разложение элементарных функций в степенные ряды. Приложения степенных рядов (приближенное вычисление значений функции и определенных интегралов).
-
Ортогональная система функций. Разложение в обобщенный ряд Фурье по ортогональной системе функций.
-
Тригонометрический ряд Фурье. Разложение функций в ряд Фурье по тригонометрической системе функций. Теорема Дирихле.
-
Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций. Разложение в ряд Фурье на полупериоде.
-
-
Дифференциальные уравнения
-
Дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия. Понятие об особом решении. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Геометрическое толкование дифференциального уравнения первого порядка и его решений.
-
Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли, в полных дифференциалах.
-
Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши для дифференциального уравнения n-го порядка. Понятие о краевых задачах. Примеры физических и технических задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.
-
Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка (3 случая).
-
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков, однородные и неоднородные. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Теоремы о структуре общего решения линейного однородного и неоднородного уравнений.
-
Решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
-
Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
-
Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа.
-
Системы ДУ, методы их решения.
-
-
ТФКП
-
Комплексные числа и действия с ними. Алгебраическая, тригонометрическая, показательная формы комплексного числа.
-
Дифференцируемость и аналитичность функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана.
-
Основные элементарные функции комплексной переменной: степенная, радикал, показательная, логарифмическая, тригонометрические.
-
Интегрирование функций комплексной переменной. Теоремы Коши для односвязной и многосвязной областей.
-
Интегральная формула Коши. Интегральная формула Коши для производных.
-
Ряды с комплексными членами. Ряд Тейлора в комплексной плоскости. Ряд Лорана. Вычеты аналитической функции.Теорема Коши о вычетах.
-
-
Рекомендуемая литература:
-
Ю.П.Самарин, Г.А.Сахабиева. Математика – 5,6,7 для студентов вузов, СамГТУ, Самара 2000.
-
Н.Д.Голубева, М.Е.Лернер. Обыкновенные дифференциальные уравнения, СамГТУ, Самара.2005.
-
М.А.Евдокимов, Л.Г.Волкова. Математика – 12. СамГТУ, Самара 2008.
-
-