- •Федеральное агентство по образованию
- •1.2.Распределение бозе-эйнштейна для фотонного газа
- •2. Описание экспериментальной установки и методики эксперимента
- •3. Порядок выполнения работы
- •Показания мультиметра ()
- •Спектральный коэффициент излучения для приближенных значений температуры
- •4. Результаты обработки на эвм
- •Значения
- •Значения ,вычисленные по формуле планка
- •Проверка закона вина
- •Проверка закона стефана-больцмана
- •5. Контрольные вопросы
- •6. Содержание отчета
- •7.Список литературы
- •8.Приложение
1.2.Распределение бозе-эйнштейна для фотонного газа
Равновесное тепловое излучение в замкнутой полости представляет собой совокупность стоячих электромагнитных волн с дискретными частотами. Попытки теоретически объяснить наблюдаемое распределение спектральной плотности излучения по частотам с классической точки зрения оказались несостоятельными и породили так называемую «проблему теплового излучения». В 1900 г. она была решена Планком путем введения в процесс взаимодействия излучения с веществом идеи квантования.
Эйнштейн сделал следующий шаг. Он предположил, и это подтвердилось экспериментом, что само излучение представляет собой фотонный газ, газ идеальный. У фотонов спин равен единице. Значит это бозоны, а они подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна.
Число фотонов в полости не сохраняется, оно зависит от температуры. А для систем с переменным числом бозонов химический потенциал = 0, и функция (1.3) принимает вид (1.5), т.е.
.
Для фотонов = h и р=h/c, поэтому число квантовых состояний (фазовых ячеек) в интервале частот (, +d) в расчете на единицу объема фотонного газа равно согласно (1.7)
.
Графики функций f и dZ/d для фотонного газа представлены на рис. 1.1 и 1.2. Следует обратить внимание на то, что обе функции ведут себя с ростом частоты взаимно противоположно: f убывает, a dZ/d растет.
В соответствии с формулой (1.8) число фотонов с частотами в интервале (, + d) равно
.
Коэффициент 2 появился в связи с двумя независимыми поляризациями излучения во взаимно перпендикулярных плоскостях. Другими словами, он указывает на две возможные поперечные поляризации фотона. Напомним, что в случае электронов этот коэффициент учитывал две возможные «ориентации» спина электрона.
График распределения фотонов по частотам, т.е. dn/d, показан на рис.1.3.
Площадь под кривой равна полному числуn фотонов в расчёте на единицу объёма фотонного газа.
Теперь перейдем к спектральной плотности энергии излучения (фотонного газа): u = du/d, где du = h dn. В результате получим формулу Планка:
. (1.9)
При переходе от и h к циклической частоте = 2 и надо учесть, что ud = ud. Тогда формула Планка приобретает вид:
.
Вернемся к формуле (1.9), графики которой при разных температурах представлены на рис.1.4, где T < Т2 < Т3. Площадь под каждой из этих кривых равна полной плотности энергии u при соответствующей температуре. Выясним, как эта величина зависит от Т. Для этого представим (1.9) в виде: , где F — функция, вид которой до открытия Планка был неизвестен. В таком виде формула была получена Вином и получила название формулы Вина. Тогда:
u=,
здесь введена новая временная х = /T. Последний интеграл представляет собой некоторую постоянную a , и мы приходим к выводу, что
u=aT .
Вместо плотности энергии излучения u удобнее пользоваться понятием энергетической светимости , которая выражает поток энергии излучения с единицы поверхности по всем направлениям в пределах телесного угла 2. Можно показать, что обе эти величины связаны соотношением
Тогда .Эта формула и выражает закон Стефана-Больцмана. Здесь - постоянная Стефана-Больцмана, знак означает, что величина вычисляется для абсолютно черного тела. С помощью формулыПланка можно найти ее зависимость от постоянных с, h, k и ее числовое значение:
= 5.6710 Вт/(мK) .
Если в стенках полости с равновесным тепловым излучением (фотонным газом) сделать небольшое отверстие, то можно экспериментально исследовать спектральный состав выходящего через это отверстие излучения. Это было проделано для разных температур полости. Результаты оказались в прекрасном соответствии с формулой Планка и законом Стефана-Больцмана.
При теоретических исследованиях спектральный состав излучения удобнее характеризовать по частотам, в экспериментальных же - по длинам волн. Имея в виду соотношение ud =-ud, и = с/, запишем:
u= - u=F(λT)=.
Наличие знака минус в исходной формуле связано с тем, что с ростом частоты (d>0) длина волны уменьшается ().
Найдем теперь длину волны т, соответствующую максимуму функции Это значит, надо решить уравнение
.
Выражение в скобках есть некоторая функция Ф(Т). При длине волны т
соответствующей максимуму функции u, функция Ф(Т) должна обратиться в нуль: Ф(тТ) = 0. Решение последнего уравнения приводит к некоторому значению b величины тТ . Таким образом, можно записать, что Tт=b . Это и есть закон смещения Вина. Значение постоянной b можно найти экспериментально или с помощью формулы Планка: b=0,29 смK .
С ростом температуры длина волны т уменьшается, а значит, частота m увеличивается, как показано на рис.1.4. Заметим только, что m с/т , поскольку m соответствует распределению по частотам, а т - по длинам волн.