Zavdannya7
.pdfВступ
Запропонований збірник задач містить 30 варіантів індивідуальних завдань, а кожний варіант – завдання з розділів: кратні та криволінійні інтеграли.
Тема ”Кратні та криволінійні інтеграли” вивчається в другому навчальному семестрі студентами КНУБА всіх спеціальностей і форм навчання.
Даний збірник підготовлено з метою організації регулярної роботи студентів з вивчення курсу. Кожний студент розв’язує завдання одного з тридцяти варіантів.
Завдання для конкретних груп студентів викладач підбирає індивідуально з врахуванням програми, часу, який виділяється для відповідного виду роботи, можливостей аудиторії.
3
Варіант 1
1. Змінити порядок інтегрування:
|
|
|
−1 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
∫ dy |
∫ |
fdx + ∫ dy ∫ |
|
fdx. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
−2 |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
− 2+ y |
− − y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. Обчислити: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1−x2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
xy |
|
|
|
1− x2 − y2 |
|
|
|||||||||
1) |
∫∫ |
yexp |
|
|
dxdy. |
2) |
∫ |
dx |
|
∫ |
|
|
|
dy. |
|||||
|
|
|
1+ x2 |
+ y2 |
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
D:y=ln 2,y=ln 3,x=2,x=4 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||
3) |
∫∫∫ |
|
(x2 + y2 + z2 )dxdydz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x2 |
+ y2+z2 |
=4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x,y,z 0
3.Знайти площі фігур, обмежених лініями:
1)y = 3, y = 4ex, y = 3, y = 4. x
2) y2 − 2y + x2 = 0, y2 − 4y + x2 = 0; y = x , y = 3x.
3
4. Знайти масу пластинки D з густиною µ = y2,D: x2 + y2 1. 4
5.Знайти об’єми тіл, обмежених поверхнями:
1)y =162x, y = 2x,z = 0,x + z = 2.
2)z = 9 − x2 − y2 ,9z = 2(x2 + y2).
3)z = 2 −12(x2 + y2),z = 24x + 2.
6.Знайти масу тіла V з густиною :
V :64(x2 + y2) = z2;x2 + y2 |
= 4; y,z 0; = |
5(x2 |
+ y |
2) |
. |
|
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
7.Знайти координати центра мас однорідного тіла, обмеженого поверхнями: x = 6(y2 + z2), y2 + z2 = 3,x = 0.
8.Знайти довжину дуги кривої:
1)y = ln x,3 x 15.
|
3ϕ |
|
π ϕ < |
π . |
2)ρ = 3e 4 ,− |
||||
|
|
|
2 |
2 |
9. Знайти масу кривої x = tcost, y = tsint,z = t,0 t 2π з густиною
µ= 2z − x2 + y2 .
10.Знайти роботу сили F = (x2 − 2y)i + (y2 − 2x)j при переміщенні вздовж відрізка MN від точки M(−4,0) до точки N(0,2).
4
Варіант 2
1. Змінити порядок інтегрування:
1 |
0 |
|
2 |
0 |
|
|
∫dy |
∫ |
fdx + ∫ dy |
|
∫ fdx. |
||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
− y |
1 |
− 2−y2 |
2. Обчислити:
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
0 |
|
|
3−x |
2 |
|
dy |
|
|
1) |
|
∫∫ |
|
y2 sin |
dxdy. 2) |
∫ dx |
∫ |
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1+ x2 + y2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
x |
|
|
− 3 |
0 |
|
|
|
|||||||
D:x=0,y= π ,y= |
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫∫∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3) |
|
|
y x2 + y2 dxdydz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
V: |
z2 |
=4x2+4y2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
z=2,y ± x,z 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Знайти площі фігур, обмежених лініями:
1)x = 36 − y2 ,x = 6 − 36 − y2 .
2) x2 − 4x + y2 = 0;x2 − 8x + y2 = 0; y = 0; y = x .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
4. |
|
Знайти |
|
|
|
|
масу |
пластинки |
D |
з |
|
густиною |
|||||||||
|
µ = |
y |
,D:1 |
x2 |
+ |
y2 |
2,0 y |
2 |
|
x. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x |
9 |
4 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||
5. Знайти об’єми тіл, обмежених поверхнями: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
5x |
|
5 |
|
|
|
. 2) z = 15 |
|
|
17 |
|
|||||||
|
1) y = 5 |
|
, y = |
,z = 0,z = 5 + |
|
|
|
x2 + y2 ,z = |
− x2 − y2. |
||||||||||||
|
x |
|
x |
||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||
|
3) z =10((x −1)2 + y2 )+ 1,z = 21− 20x. |
|
|
|
|
6. Знайти масу тіла V з густиною :
V: x2 + y2 + z2 = 4;x2 + y2 1;x 0,µ = 4 z .
7.Знайти координати центра мас однорідного тіла, обмеженого поверхнями:
y= 3x2 + z2 ,x2 + z2 = 36, y = 0.
8.Знайти довжину дуги кривої:
1)y = x2 /4 − (ln x)/2,1 x 2.
4ϕ
2)ρ = 2e 3
,−π /2 ϕ < π /2.
9. Знайти масу кривої x = cost, y = sint,z = 3t,0 t 2π з густиною
µ = x2 + y2 + z2.
10. Знайти роботу сили F = (x2 + 2y)i + (y2 + 2x)j при переміщенні вздовж відрізка MN від точки M(−4,0) до точки N(0,2).
5
Варіант 3
1. Змінити порядок інтегрування:
|
y |
|
|
|
2−y2 |
1 |
2 |
|
|||
∫dy∫ fdx + ∫ dy |
∫ fdx. |
||||
0 |
0 |
1 |
|
0 |
2. Обчислити:
|
|
|
R |
|
R2−x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
tg x2 + y2 |
||||||||||||
1) |
∫∫ |
|
ycos xydxdy. 2)∫dx |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dy. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
π |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 |
||||
D:y= |
,x=1,x=2 |
− |
|
R |
2 |
−x |
2 |
|
|
|||||||
,y=π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) ∫∫∫ z2dxdydz.
V: 1 x2+ y2 36, y x;x,z 0;z 2
3.Знайти площі фігур, обмежених лініями:
1)x2 + y2 = 72, 6y = −x2(y 0).
2) y2 − 6y + x2 = 0, y2 − 8y + x2 = 0, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3y = x, y = 3x. |
|
|
|
||||
4. Знайти масу пластинки D з густиною µ = x2 y,D: |
x2 |
+ |
y2 |
1, y 0. |
||||
|
|
|||||||
9 |
25 |
|
5. Знайти об’єми тіл, обмежених поверхнями:
1) x2 + y2 = 2, y = x, y,z = 0,z =15x. 2) z = 4 − x2 − y2 ,15z = x2 + y2 .
3) z = 8(x2 + y2 ) + 3,z =16x + 3.
6.Знайти масу тіла V з густиною :
V: x2 + y2 =1,x2 + y2 = 2z, x, y 0,z = 0;µ =10x.
7.Знайти координати центра мас однорідного тіла, обмеженого поверхнями:
x = 7(y2 + z2),x = 28.
8.Знайти довжину дуги кривої:
1)y = 1− x2 + arcsin x,0 x 7. 2)ρ = 2eϕ ,− π ϕ π .
9 |
2 |
2 |
9. Знайти масу кривої x = 2cost, y = 2sint,z = 2t,0 t 2π |
з густиною |
µ= z2(x2 + y2)−1.
10.Знайти роботу сили F = (x2 + 2y)i + (y2 + 2x)j при переміщенні вздовж
параболи y = 2 − |
x2 |
від точки M(−4,0) до точки N(0,2). |
|
||
8 |
|
6
Варіант 4
1. Змінити порядок інтегрування:
1 |
|
y |
2 |
2−y |
|
∫dy ∫ |
fdx + ∫dy |
∫ fdx. |
|||
0 |
0 |
1 |
0 |
|
2. Обчислити:
|
|
|
|
xy |
1 |
1−x2 |
||
|
|
|
|
∫ ln(1+ x2 + y2 )dy. |
||||
1) |
∫∫ |
y2 exp |
− |
|
dxdy. 2)∫dx |
|||
4 |
||||||||
|
D:x=0,y=2,y=x |
|
|
|
0 |
0 |
||
|
|
|
|
|
3) ∫∫∫ ydxdydz.
x2+ y2+z2=32,
V:
y2=x2+z2,y 0
3.Знайти площі фігур, обмежених лініями:
1)x = 8 − y2,x = −2y.
2)x2 − 2x + y2 = 0,x2 − 4x + y2 = 0,
y = 0, y = x. |
|
|
|
|
|
|
4. Знайти масу пластинки D з густиною µ = |
7x2 y |
,D: |
x2 |
+ |
y2 |
1, y 0. |
|
|
|
||||
18 |
9 |
25 |
|
5. Знайти об’єми тіл, обмежених поверхнями:
1) x + y = 2, y = x,z =12y,z = 0. 2) z = 64 − x2 − y2 ,z =1,x2 + y2 60. 3)2 − z = 20((x + 1)2 + y2 ),z = −40x − 38.
6. Знайти масу тіла V з густиною :
V : x2 + y2 = 16 z2;x2 + y2 = 4 z;x, y 0; = 80yz.
497
7.Знайти координати центра мас однорідного тіла, обмеженого поверхнями:
z= 2x2 + y2 ,z = 8.
8.Знайти довжину дуги кривої:
1)y = ln 5 ,3 x 8. 2x
|
|
|
|
|
|
|
5ϕ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2)ρ = 3e12 ,−π ϕ < π . |
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|||||||||
9. |
Знайти |
масу |
кривої |
|
x = |
a |
|
cost, y = |
a |
|
|
cost,z = asint,0 t 2π з |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
густиною µ = |
2y2 + z2 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
10. |
Знайти |
роботу сили |
F = (x + y)i + 2xj |
при |
переміщенні вздовж кола |
||||||||||
|
x2 + y2 = 4 (y 0) від точки M(2,0) до точки N(−2,0). |
7
Варіант 5
1. Змінити порядок інтегрування:
|
|
−1 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
∫ |
|
dy |
∫ |
|
fdx + ∫ dy∫ fdx. |
|
|
|||||||
|
|
− 2 |
− |
2−y2 |
−1 |
|
y |
|
|
|
|
|
||||
2. Обчислити: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4−y2 |
|
|
||||
1) |
∫∫ |
ysin xydxdy. |
2) ∫ dx |
|
|
|
∫ |
|
|
|
4 − x2 − y2 dy. |
|||||
|
π |
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D:y= |
|
|
|
|
|
− |
|
|
4− y |
2 |
|
|
|
|||
,y=π,x=1,x=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) ∫∫∫ xdxdydz.
x2+ y2+z2=8,
V:
x2= y2+z2,x 0
3.Знайти площі фігур, обмежених лініями:
1) y = 3 , y = 8ex, y = 3, y = 8.
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2) y2 − 8y + x2 = 0, y2 −10y + x2 = 0, y = |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
, y = 3x. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
Знайти |
масу |
пластинки |
D |
з |
густиною |
µ = |
8y |
, |
|||||||||
x3 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
D:1 x2 4 + y2 4; 0 y x 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. Знайти об’єми тіл, обмежених поверхнями: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
, z = 0, z + y = 1 |
|
|
|
|
||||||||||
1) x = 20 |
|
, x = 5 |
|
.2)3z = |
16 − 9x2 − 9y2 ,2z = x2 + y2. |
|
||||||||||||
2y |
2y |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3)z = 4 −14(x2 + y2), z = 4 − 28x.
6.Знайти масу тіла V з густиною :
V : x2 + y2 + z2 =1,x2 + y2 = 4z2, x, y 0 (z 0);µ = 20z.
7. Знайти координати центра мас однорідного тіла, обмеженого поверхнями:
z= 5(x2 + y2)x2 + y2 = 2,z = 0.
8.Знайти довжину дуги кривої:
|
|
|
|
12ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1) y = −lncos x,0 x π . 2)ρ = 5e 5 ,− π ϕ < π . |
|
|
||||||
|
|
|
6 |
2 |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
9. |
Знайти |
масу кривої |
x = 1 cost, |
y = 1 cost,z = |
|
3 |
sint,0 t |
з |
||
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
густиною = xyz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
Знайти |
роботу сили |
F = x3i − y3j |
при переміщенні вздовж |
кола |
|||||
|
x2 + y2 = 4(x, y 0) від точки M(2,0) до точки N(0,2). |
|
|
8
Варіант 6
1. Змінити порядок інтегрування:
|
|
|
|
|
1 |
|
|
arcsin y |
1 |
|
arccos y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
∫ dy |
∫ |
fdx + ∫ dy |
|
|
∫ |
fdx. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. Обчислити: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2−x2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
xy |
|
|
||||||
1) |
∫∫ |
|
|
|
|
|
|
y2 cos |
dxdy. 2) |
∫ dx |
|
|
∫ |
|
dy. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D:x=0,y= |
π |
,y= |
x |
|
|
|
− 2 |
− 2−x2 x + y |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) ∫∫∫ ydxdydz.
4 x2+ y2+z2 16,
V:
y 3x;y,z 0
3.Знайти площі фігур, обмежених лініями:
1)y = x ; y = 1 ;x =16.
22x
2)x2 − 4x + y2 = 0;x2 − 8x + y2 = 0; y = 0, y = x.
4. Знайти масу пластинки D з густиною µ = 7xy6,D: |
x2 |
+ y2 1,x 0. |
|
||
9 |
|
|
5. Знайти об’єми тіл, обмежених поверхнями: |
|
1) x = 5 y ,x = 5y ,z = 0,z = 5 (3 + y). 2) z = 3 x2 + y2 ,z =10 − x2 − y2. |
||
2 |
6 |
6 |
3)z = 28((x + 1)2 + y2 )+ 3,z = 56x + 59.
6.Знайти масу тіла V з густиною :
V :36(x2 |
+ y2 ) = z2,x2 + y2 |
=1, x,z 0;µ = |
5(x2 |
+ y |
2 ) |
. |
|
6 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
7.Знайти координати центра мас однорідного тіла, обмеженого поверхнями:
x = 6y2 + z2 , y2 + z2 = 9,x = 0.
8.Знайти довжину дуги кривої:
|
|
|
|
|
3ϕ |
|
|
1) y = ex + 6,ln |
|
|
|
2)ρ = 3e |
|
,0 ϕ π |
|
8 |
x ln |
15. |
4 |
. |
|||
|
3 |
|
|||||
9. Знайти масу кривої |
x = acost, y = asint,z = bt,0 t 2π з густиною |
µ= x2 + y2 + z2.
10.Знайти роботу сили F = (x + y)i + (x − y)j при переміщенні вздовж
параболи y = x2 від точки M(−1,1) до точки N(1,1).
9
Варіант 7
1. Змінити порядок інтегрування:
−1 |
2+ y |
0 |
− y |
|
∫ dy |
∫ |
fdx + ∫ dy |
∫ fdx. |
|
−2 |
0 |
−1 |
0 |
|
2. Обчислити:
|
|
|
|
0 |
R2−x2 |
|
|
1) |
∫∫ |
|
|
4yexydxdy. 2) ∫ dx |
∫ cos x2 + y2 dy. |
||
|
D:y=ln 3,y=ln 4,x= |
1 |
,x=1 |
−R |
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
3) ∫∫∫ ydxdydz.
z= 8−x2− y2 ,
V:
z=x2+ y2 ,y 0
3.Знайти площі фігур, обмежених лініями:
1)x = 5 − y2,x = −4y.
2)y2 − 4y + x2 = 0, y2 − 6y + x2 = 0, x = 0, y = x.
4.Знайти масу пластинки D з густиною µ = 4y4,D: x2 + y2 1.
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
5. Знайти об’єми тіл, обмежених поверхнями: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ y2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
1) x2 + y2 = 2,x = y,x,z = 0,z = 30y. 2) z = |
25 − x2 − y2 |
,z = |
||||||||
|
|
. |
||||||||
|
99 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) z = 32(x2 + y2 ) + 3,z = 3 − 64x.
6.Знайти масу тіла V з густиною :
V : x2 + y2 + z2 =16,x2 + y2 4;
µ= 2 z .
7.Знайти координати центра мас однорідного тіла, обмеженого поверхнями:
z= 8(x2 + y2),z = 32.
8.Знайти довжину дуги кривої:
|
|
|
|
|
1 |
;1 |
|
4ϕ |
|
π . |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
1) y = 2 + arcsin x + x − x2 ,x |
. 2)ρ = 4e 3 |
,0 ϕ < |
||||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||
9. Знайти масу кривої x = tcost, y = tsint,z = t,0 t 2π з |
густиною |
µ= 2z − x2 + y2 .
10.Знайти роботу сили F = x2 yi − y j при переміщенні вздовж відрізка MN від точки M(−1,0) до точки N(0,1) .
10
Варіант 8
1. Змінити порядок інтегрування:
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
e |
−ln y |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫dy |
∫ |
|
fdx + ∫dy ∫ fdx. |
|||||||
|
|
|
|
0 |
|
− |
|
y |
|
1 |
−1 |
|
|
||
2. Обчислити: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
R2 − x2 |
|
1) |
∫∫ |
|
|
4y2 sin xydxdy. |
2) ∫ dx |
∫ tg(x2 + y2)dy. |
|||||||||
D:x=0, y= π , y= x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−R |
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
∫∫∫ |
|
|
y2dxdydz |
|
. |
|
|
|
||||||
|
|
2 |
+ y |
2 |
+ z |
2 |
|
|
|
||||||
|
4 x2 + y2 + z2 36, x |
|
|
|
|
|
|
|
V:
x,z 0;y 3x
3.Знайти площі фігур, обмежених лініями:
1)x2 + y2 = 12,−6y = x2 (y 0).
2)x2 − 2x + y2 = 0, x2 −10x + y2 = 0, y = 0, y = 3x.
4. Знайти |
|
масу |
пластинки D з густиною µ = |
x |
, |
||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
D:1 |
x2 |
+ |
y2 |
4; x 0; y |
3x |
. |
|||
|
|
|
|||||||
4 |
|
9 |
|
2 |
|
|
|
5. Знайти об’єми тіл, обмежених поверхнями:
1) x + y = 2, x = y, z = 0,5z = 12x. 2) z = 100 − x2 − y2 , z = 6, x2 + y2 51.
3)z = 4 − 6((x −1)2 + y2), z = 12x − 8.
6.Знайти масу тіла V з густиною :
V : x2 + y2 = 4,x2 + y2 = 8z, x, y 0,z = 0;µ = 5x.
7. Знайти координати центра мас однорідного тіла, обмеженого поверхнями:
y= 3x2 + z2 , y = 9.
8.Знайти довжину дуги кривої:
1)y = ln(x2 −1),2 x 3. 2)ρ = 2eϕ ,0 ϕ π .
3
9. Знайти масу кривої x = t, y = 3 t2, z = t3,0 t 1 з густиною = x + z.
2
10. Знайти роботу сили F = (2xy − y)i + (x2 + x)j при переміщенні вздовж кола x2 + y2 = 9(y 0) від точки M(3,0) до точки N(−3,0) .
11
Варіант 9
1. Змінити порядок інтегрування:
−1 |
2−y2 |
0 |
y2 |
||
∫ |
|
dy |
∫ |
fdx + ∫ dy ∫ fdx. |
|
− |
2 |
|
0 |
−1 |
0 |
2. Обчислити:
|
|
|
|
|
|
1 |
1− x2 |
1− x2 − y2 |
|
|
|||
1) |
|
∫∫ |
|
|
|
ycos xydxdy. 2)∫dx |
∫ |
|
|
|
|
|
dy. |
π |
|
|
|
1+ x |
2 |
+ y |
2 |
||||||
D:y= |
,y=π |
,x= |
1 |
,x=1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22
3) |
∫∫∫ |
y2zdxdydz |
|
. |
|||
|
|
|
|||||
|
|||||||
V: |
z=3x2 +3y2 , |
|
(x2 + y2)3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 y 3x,z=3 |
|
|
|
|
3.Знайти площі фігур, обмежених лініями:
1)y = 23 − 12 − x2 , y = 12 − x2 ,x 0;
|
|
|
|
2) y2 − 6y + x2 = 0, y2 −10y + x2 = 0, x = 0, y = x. |
|
|||||||
4. |
Знайти |
масу |
пластинки |
D |
з |
густиною |
µ = x y, |
|||||
|
D:1 |
x2 |
+ |
y2 |
4; x 0; y |
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
16 |
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
5. Знайти об’єми тіл, обмежених поверхнями:
1) y = 72x, y = 22x, z = 0, x + z = 12. 2) z = 12 x2 + y2 , z = 232 − x2 − y2.
3)z = 2 − 4(x2 + y2 ), z = 8x + 2.
6.Знайти масу тіла V з густиною :
V : x2 + y2 = 425z2;x2 + y2 = 25 z;x, y 0;µ = 28xz.
7. Знайти координати центра мас однорідного тіла, обмеженого поверхнями:
9y = x2 + z2,x2 + y2 = 4, y = 0. 8. Знайти довжину дуги кривої:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5ϕ |
π . |
|
|
1) y = 1− x2 + arccos x,0 x 8 |
|
|
|
|
||||||||||||
9 |
. |
2)ρ = 5e12 ,0 ϕ < |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
9. Знайти масу кривої x = |
R |
|
cost, |
y = |
|
R |
|
cost,z = Rsint,0 t |
з |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|||||||||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
густиною = x + y.
10. Знайти роботу сили F = (x + y)i + (x − y)j при переміщенні вздовж еліпса
x2 + y2 |
9 |
=1(x, y 0) від точки M(1,0) до точки N(0,3) . |
|
|
12