- •Министерство образования украины
- •Донецкий государственный
- •Технический университет
- •Методические указания
- •Утверждено На заседании каф.Пм и и
- •Часть1.Решение типовых задач аналитической геометрии
- •Часть 1. Решение типовых задач аналитической геометрии……………3
- •Часть 2. Расчетные задания………………………………………………17
- •Учебное издание
- •Министерство образования украины
- •Донецкий государственный
- •Технический университет
- •Методические указания
- •Утверждено На заседании каф.Пм и и
- •22 Марта 2000 г.
Министерство образования украины
Донецкий государственный
Технический университет
Методические указания
и задания к расчетно-графической работе
по разделу курса высшей математики
«АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»
(для студентов специальностей 7.080403
«Программное обеспечение автоматизированных систем»
и 7.050102 «Экономическая кибернетика»)
Утверждено На заседании каф.Пм и и
22 марта 2000 г.
-ДонГТУ-
Донецк - 2000
УДК 517
Методические указания и задания к расчетно-графической работе по разделу курса высшей математики «Аналитическая геометрия» (для студентов специальностей 7.080403 “Программное обеспечение автоматизированных систем” и 7.050102 “Экономическая кибернетика” ) / Составители: Скворцов А.Е., Губарев А.А
– Донецк : ДГТУ , 2000.- с.30
Приведены решения типовых задач по всем темам раздела «Аналитическая геометрия».Даны рекомендации общего и конкретного характера . Приведены расчетные задания : 12 задач по 25 вариантов .
Составители А.Е. Скворцов , доц .
А.А. Губарев , асс.
Отв.за выпуск Е.А. Башков , проф.
Рецензент
Часть1.Решение типовых задач аналитической геометрии
Задача 1. Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы имело место соотношение ?
Решение. Возведем обе части данного равенства в квадрат и воспользуемся известным фактом : скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины . Будем иметь:
.
Но для скалярного произведения справедливы формулы сокращенного умножения , поэтому после упрощения получим
.
По определению φ , где φ- угол между векторами . Сравнивая это определение с последней формулой , делаем вывод : cos φ = -1 т.е. φ = π , значит векторы противоположно направлены . Кроме того , , значит не короче .
Ответ : ↑↓ и ≥ .
Задача 2. Найти вектор , направленный по биссектрисе угла , образованного векторами и .
Решение. Сумма векторов – это одна из диагоналей параллелограмма , построенного на векторах . Но в общем случае диагональ параллелограмма не является биссектрисой его углов . Чтобы это было так , параллелограмм должен быть ромбом , т.е. векторы-слагаемые должны иметь равные длины . Перейдем к ортам векторов и , для чего разделим эти векторы на их длины :
, .
Направления ортов совпадают с направлениями самих векторов (т.к. векторы делятся на положительные числа ) , а длины одинаковы . Значит сумма ортов , как диагональ ромба , направлена по биссектрисе угла , образованного ими , т.е. по биссектрисе угла , образованного векторами и .
Ответ : искомый вектор имеет вид + .
Задача 3. Векторы и - взаимно перпендикулярные орты . Выяснить при каких значениях параметра t векторы и : 1)перпендикулярны; 2) коллинеарны .
Решение. Будем использовать известные условия , .
Напомним , что при скалярном и векторном умножении векторных “многочленов” скобки раскрываем обычным образом , учитывая следующее : скалярный квадрат вектора – это квадрат его длины , “векторный” квадрат – это всегда нуль-вектор, скалярное умножение коммутативно , а векторное антикоммутативно .
Итак , имеем :
, , ибо ;
.
Из полученных соотношений делаем выводы :
-
векторы и перпендикулярны , если t –2=0 , т.е. t=2 ;
-
векторы коллинеарны , если 2 t+1=0 ,т.е. t=-1/2
, ибо и неколлинеарны .
Замечание. На второй вопрос задачи можно ответить и другим образом . Коллинеарность векторов и означает = λ , где λ - некоторое число , т.е. или . Но векторы и - неколлинеарны, значит образуют базис , поэтому разложение любого вектора ( в частности ,вектора ) по и единственно , другими словами , коэффициенты двух равных линейных комбинаций и равны : 1= λ t и 2=- λ . Отсюда t=-1/2.
Ответ : при t=2 ; при t=-0,5 .
Задача 4. Найти вектор , удовлетворяющий условиям : 1) и ; 2) ; 3) образует с осью Оу тупой угол .
Решение . Из первого условия следует , что искомый вектор коллинеарен векторному произведению , ибо по определению - это вектор , перпендикулярный каждому из векторов-сомножителей . Вычисляем по известной формуле
,
где , :
.
Итак , , т.е. , где .
Далее , используя второе условие , находим
, , т.е. .
Чтобы определить знак множителя λ , обратимся к третьему условию , которое означает , что проекция искомого вектора на ось Оу отрицательна . А так как проекция вектора на ось Оу положительна , то λ<0 .Окончательно , λ =-2 и искомый вектор имеет вид .
Замечание. Условия задачи можно использовать и другим способом . Например : так как , то , т.е. 3x+2y+2z=0 ; а равенство означает (здесь x,y,z- проекции искомого вектора). При этом пришлось бы решать нелинейную систему из трех уравнений с тремя неизвестными.
Ответ: .
Задача 5. Даны вершины треугольника : А(-1;-2) , В(4;7) , С(-4;2) . Требуется: 1) составить уравнение и найти длину биссектрисы AD угла треугольника при вершине А ; 2) составить уравнение и найти длину высоты AH , опущенной из вершины А на противоположную сторону ; 3) найти площадь треугольника S .
Решение . Уравнение биссектрисы будем искать в канонической форме , а именно :
, где - точка , принадлежащая прямой р, - направляющий вектор прямой р . В качестве точки возьмем вершину А , а в качестве направляющего вектора – вектор , направленный по биссектрисе угла, образованного векторами и ( смотри задачу 2) . Найдем сначала эти векторы и их длины , используя известные формулы : если , то ; если , то . Для нашей задачи имеем :
Вектор направлен по биссектрисе угла , образованного векторами и . Находим его :
.
Но векторы вида и - коллинеарны , т.е. являются направляющими векторами одной и той же прямой . Поэтому в качестве направляющего вектора биссектрисы AD можно взять вектор . Итак , уравнение биссектрисы имеет вид :
, или после упрощения
AD : 7x – y + 5 =0 .
Длину биссектрисы найдем как расстояние от вершины А до точки пересечения D биссектрисы с противоположной стороной . Составим сначала уравнение стороны ВС, как уравнение прямой , проходящей через две точки:
.
Берем и . Получаем :
или после упрощения
ВС : 2x – 11y + 30 = 0 .
Координаты точки D - это решение системы линейных уравнений
или
Решив ее , например , методом Крамера ,
, ,
получим D (-1/3 ; 8/3 ) . Тогда искомая длина биссектрисы равна
AD = d(A,D) = .
Замечание. Эту часть задачи можно решать в ином порядке . Сначала можно найти координаты точки D , используя известный из элементарной геометрии факт : точка D делит сторону ВС в отношении λ = BD/DC = AB/AC . В нашей задаче λ=10/5 = 2 . Теперь координаты точки , делящей отрезок в заданном отношении , находим по формулам
,
.
Теперь уравнение биссектрисы находим как уравнение прямой , проходящей через две точки .
2)Длину высоты АН , опущенной из вершины А , находим как расстояние от точки А до прямой ВС . Общая формула :
, где .
Имеем в нашей задаче :
АН=.
Уравнение высоты ищем в общем виде :
, где - нормальный вектор прямой р . В нашем случае , а :
АН : -11 (x + 1)-2 (y + 2) = 0 или после упрощения
AH : 11 x + 2 y + 15 = 0 .
Замечание. Из уравнения прямой ВС (полученного ранее) легко найти нормальный вектор этой прямой : . Для высоты АН этот вектор является направляющим и уравнение АН можно находить в канонической форме :
.
3)Для вычисления площади треугольника используем геометрический смысл : длина векторного произведения двух векторов есть площадь параллелограмма , построенного на этих векторах . А площадь треугольника – это половина площади параллелограмма . Векторы и мы уже знаем . Находим их векторное произведение :
.
Итак ,
(ед.кв.) .
Замечание. Этот способ вычисления площади треугольника является наиболее рациональным в случае , когда известны координаты его вершин .
Задача 6. Определить параметры , входящие в уравнения прямых и плоскостей, используя данные об их взаимном расположении : 1) прямые
и
пересекаются под прямым углом ; 2) для точки , плоскости и прямой известно , что и .
Решение . 1)Общий вид канонических и параметрических уравнений прямой : и
В этих уравнениях : - точка , принадлежащая прямой , - направляющий вектор прямой (т.е. вектор , лежащий на прямой , или параллельный ей ) . Из условий задачи сразу получаем :
Условие означает , что , т.е. . Отсюда : , значит l = 1 .Тот факт , что p и q пересекаются означает , что эти прямые определяют некоторую плоскость и в этой плоскости лежат или параллельны ей векторы и . Другими словами , эти векторы компланарны , а значит их смешанное произведение равно 0 :
.
Отсюда . Параметры найдены .
2)Известно , что в общем уравнении плоскости коэффициенты при переменных – это координаты нормального вектора плоскости (т.е. вектора перпендикулярного ей ) . В нашем случае нормальный вектор плоскости α имеет вид . Из уравнений прямой р получаем : - направляющий вектор прямой , - точка , принадлежащая прямой .
Отличное от нуля расстояние означает , что , т.е. . Отсюда получим : , значит А=2 .
Теперь воспользуемся известными формулами для расстояния от точки до прямой и плоскости ( очевидно , что = ):
, .
Вычислим эти расстояния :
;
;
;
= .
Приравняв полученные выражения к числам , данным в условии задачи , получим систему двух уравнений с одним неизвестным :
Решениями первого уравнения являются числа . Но второму уравнению удовлетворяет только значение . Итак , параметры , входящие в уравнения , найдены А = 2 , t = -1 .
Задача 7. Составить уравнение плоскости α , если известно , что 1) : и , где ; 2) α проходит через точку пересечения прямой и плоскость , причем .
Решение . Наиболее общий прием составления уравнения плоскости состоит в следующем . Берем произвольную (текущую) точку искомой плоскости , т.е. точку с переменными координатами M(x,y,z) . Далее находим три вектора ,лежащие в искомой плоскости или параллельны ей , причем конец одного из них – это текущая точка М , и векторы попарно неколлинеарны . Записываем условие компланарности этих векторов , т.е. . Это и будет уравнение искомой плоскости .
Если же известны некоторый вектор , перпендикулярный искомой плоскости , и точка , принадлежащая ей , то уравнение такой плоскости имеет вид .
1)Из канонических уравнений прямых находим их направляющие векторы и точки , принадлежащие соответствующим прямым . Берем текущую точку . Так как , то вектор лежит в плоскости α . Далее ,так как по условию и , то и . Итак , у нас есть требуемая тройка компланарных векторов . Находим их смешанное произведение
.
Приравняем это выражение к нулю и после упрощения получим уравнение искомой плоскости α : 23x – 16y + 10z – 153 = 0 .
2)Так как , то направляющий вектор прямой р является одним из нормальных векторов плоскости α : . Теперь найдем точку пересечения плоскости и прямой . Для этого запишем уравнения прямой в параметрическом виде, обозначив каждое из трех отношений , составляющих канонические уравнения , через t :
или
Подставив эти уравнения в уравнение плоскости β , получим , откуда t = -3 . Это значение параметра соответствует точке пересечения . Её координаты , и .
Составляем общее уравнение плоскости проходящей через точку с нормальным вектором : .
После упрощения получим
.
Задача 8. Даны вершины треугольника А(1;2;-1) , В(7;9;-3) и С(4;8;8) . Составить каноническое уравнение его высоты , опущенной из вершины В на противоположную сторону .
Решение . Спроектируем вершину В на сторону АС (или ее продолжение) , для чего через точку В проведем плоскость α , перпендикулярную стороне АС .Для этой плоскости вектор является нормальным . Поэтому уравнение плоскости α имеет вид
,
или после упрощения
α : .
Проекцией точки В на сторону АС является точка пересечения плоскости α и прямой р , на которой лежит сторона АС . Для этой прямой р вектор является направляющим вектором . Зная , что р проходит через точку А(1;2;-1) , можно составить параметрические уравнения р :
Найдем точку пересечения р и α :
,
откуда t =1/3 , x=1+1 = 2 , y = 2+2 = 4 , z = -1+3 = 2 .
Итак , проекция точки В на АС , т.е. основание высоты имеет координаты D(2;4;2) . Составим уравнения высоты AD как уравнения прямой , проходящей через две точки. Общий вид таких уравнений
.
В нашей задач имеем
.
После упрощения получим требуемые уравнения высоты треугольника
.
Замечание. Эту задачу можно решить и другим способом , заметив , что высота BD является линией пересечения двух плоскостей , а именно : плоскости α , проходящей через точку В перпендикулярно АС и плоскости β , проходящей через вершины треугольника . Уравнение плоскости β можно легко найти , используя общий прием. Если M(x,y,z)– текущая точка β , то векторы и лежат в β.
Записав условие компланарности этих векторов , получим уравнение β . Объединив уравнения плоскостей α и β в систему , получим общие уравнения высоты BD (переход от общих уравнений к каноническим разобран в следующей задаче ) .
Задача 9. Найти канонические уравнения проекции q прямой на плоскость α : .
Решение . Найдем уравнение проектирующей плоскости β , т.е. плоскости , содержащей в себе прямую р , и перпендикулярной плоскости α .Направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости α параллельны плоскости β . Точка и , если - текущая точка β , то вектор лежит в плоскости β . Векторы и - компланарны . Запишем условие этого
.
После упрощения получаем β : . Объединив это уравнение проектирующей плоскости с уравнением плоскости проекции α , получим общие уравнения искомой проекции q прямой р :
(1)
Последний шаг в решении задачи – переход от общих уравнений (1) к каноническим, для чего надо найти направляющий вектор прямой q и точку , ей принадлежащую (или две точки) . Нормальные векторы плоскостей α и β , будучи перпендикулярными своим плоскостям , перпендикулярны и линии их пересечения q . А значит их векторное произведение параллельно q ,(по определению и т.е. может служить направляющим вектором этой прямой:
.
Чтобы найти точку , принадлежащую q , найдем какое-нибудь решение системы (1). Так как неизвестных больше уравнений , то одно из неизвестных , например z, можно выбрать произвольно . Пусть z = 0 . Тогда система (1) имеет вид
.
Решив ее , находим : x = 1 , y = 2 . Итак , теперь можно составить канонические уравнения проекции q прямой р на плоскость α как прямой , проходящей через в направлении
.
Задача 10. Поворотом системы координат исключить из уравнения член , содержащий произведение переменных .
Решение . Решим задачу в общем виде . Уравнение линии второго порядка имеет вид
(2)
При повороте системы координат на угол α старые координаты точки (x,y) связаны с новыми известными формулами
После подстановки этих формул в уравнение (2) и элементарных преобразований получим уравнение линии в новой системе координат :
.
Здесь :
Если мы хотим , чтобы пропал член , содержащий произведение переменных , то угол α необходимо выбрать таким , чтобы , т.е.
.
Итак, ответ в общем виде такой : угол поворота α должен удовлетворять уравнению
.
В нашей задаче имеем : А=5 , В=8, С=5 . Значит ,т.е. . Одно из решений этого уравнения . Вычисляем новые коэффициенты по приведенным выше формулам :
Итак , повернув систему координат на , мы получим уравнение
.
Замечание. Старшие коэффициенты полученного уравнения (не содержащего произведения переменных ! ) позволяют частично определить вид линии : т.к. эти коэффициенты имеют одинаковый знак , то данное уравнение определяет эллипс , или одну точку , или , вообще , ничего не определяют ( в последних двух случаях говорят, что уравнение определяет вырожденный или мнимый эллипс ) .
Ответ: в новой системе координат линия имеет уравнение .
Задача 11. Уравнение линии привести к нормальному виду .
Решение . Группируем одноименные переменные и выделяем в каждой группе полный квадрат :
Разделив обе части последнего уравнения на правую часть , мы и получим нормальное уравнение линии :
(3) .
Это уравнение определяет гиперболу , оси которой параллельны осям координат (это вытекает и из общего уравнения – в нем отсутствует член , содержащий ) . Центр гиперболы расположен в точке , действительная полуось а=2 , мнимая b=3, половина расстояния между фокусами .Вершины : .Фокусы :
Гипербола (3) получается из канонической гиперболы путем параллельного переноса центра в точку . Асимптоты канонической гиперболы имеют уравнения
, т.е. .
Для нашей гиперболы уравнения асимптот таковы
Ответ: нормальное уравнение
Задача 12. Провести касательную q к линии : 1) , параллельную прямой 2) , перпендикулярную прямой 3) через точку М(-5;-4), принадлежащую линии; 4) через точку N(5;-7) .
Решение . Сделаем несколько общих замечаний относительно касательных к линиям второго порядка . Касательные к окружности , эллипсу , гиперболе и параболе можно определить как прямые , имеющие с линией единственную общую точку . Из этого определения надо сделать два исключения : прямые , параллельные оси параболы , и прямые ,параллельные одной из асимптот гиперболы . Эти прямые имеют с соответствующей линией одну общую точку , не являясь при этом касательными .
Если требуется провести касательную к линии через точку лежащую на ней , то можно использовать следующие свойства касательных : а) касательная к окружности перпендикулярна радиусу , проведенному в точку касания; b)касательная к эллипсу перпендикулярна биссектрисе угла , образованного фокальными радиусами точки касания ; с) касательная к гиперболе сама является биссектрисой этого угла ; d)касательная к параболе перпендикулярна биссектрисе угла , образованного осью параболы и фокальным радиусом точки касания .
1)В качестве нормального вектора касательной q берем нормальный вектор данной прямой , а именно (т.к. по условию ) . Уравнение касательной запишем в общем виде , а неизвестный параметр С определяем из того условия , что q и имеют единственную общую точку . Другими словами , система уравнений
должна иметь единственное решение. Выразим из первого уравнения y через x и подставим во второе уравнение. После преобразований получим
.
Это квадратное уравнение имеет единственное решение (лучше , конечно , говорить о двух совпадающих решениях ) , если только его дискриминант равен 0 . Итак , для определения параметра С имеем условие
.
Решая его , находим : Итак , имеется две касательные к , параллельные . Это
и .
2)Уравнение прямой запишем в форме уравнения прямой с угловым коэффициентом : . И уравнение касательной q будем искать в такой же форме : . А так как угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по величине и противоположны по знаку , то k =-2 . Неизвестный параметр b находим , как и в предыдущем пункте , из того условия , что система
имеет единственное решение . Другими словами , дискриминант квадратного уравнения равен 0 . После преобразований получаем уравнение для b :
.
Откуда . Итак , имеется две касательных к , перпендикулярные :
, .
3)Линия - это гипербола (старшие коэффициенты противоположных знаков). Ее каноническое уравнение
.
Из него находим : Ее фокусы лежат на оси Ох (коэффициент перед положительный ) и имеют координаты . Найдем векторы , направленные по фокальным радиусам точки М(-5;-4) :
и .
Теперь нетрудно найти вектор , направленный по биссектрисе угла , образованного фокальными радиусами точки М :
.
Используя свойство касательной к гиперболе , можно сделать вывод : вектор является ее направляющим вектором . Запишем уравнение касательной в канонической форме :
.
Итак , искомая касательная имеет вид
4)Уравнение касательной будем искать в форме , где , а k – угловой коэффициент прямой q . В нашем случае , а неизвестный параметр k находим , как и в пунктах 1) и 2) , из того условия , что система
имеет единственное решение . После преобразований находим уравнение для ординат точек пересечения параболы и прямой :
.
Дискриминант этого уравнения приравняем к нулю и получим уравнение для . Отсюда : Теперь можно составить уравнения искомых касательных :
и .
Задача 13. Установить , какая линия определяется уравнением
. (4)
Решение . Уединим корень в правой части уравнения и возведем обе его части в квадрат :
.
В уравнении имеется квадрат только одной переменной , значит оно определяет параболу . Приводим уравнение к нормальной форме :
. (5)
Эта форма позволяет сказать о линии следующее : вершина параболы находится в точке V(-3;2) , её ось – параллельна оси Оу , ветви направлены вниз (знак ”-” перед правой частью ) . Параметр параболы равен р=4 , поэтому фокус и директриса .
Однако , при возведении в квадрат обеих частей исходного уравнения могли появиться и появились посторонние решения . Так как выражение всегда неотрицательно , то получаем , что абсциссы точек линии (4) удовлетворяют условию , то есть эта линия лежит левее прямой .Итак , данное уравнение определяет левую половину параболы (5) .
Ответ: уравнение определяет восходящую ветвь параболы .
-
Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы имело место указанное соотношение.
.
.
при всяких значениях и .
2. Найти вектор , удовлетворяющий указанным условиям.
где
где .
где
3.1 - 18. Выполнить указанные действия над векторами, заданными в различных формах.
3.19 – 25. Найти проекцию вектора на направление вектора .
4. Треугольник ACD задан координатами своих вершин. В каждой задаче, кроме указанного в условии, вычислить площадь треугольника, не находя длины его сторон. Принятые обозначения: точки B, H и M – точки пересечения биссектрис, высот и медиан треугольника соответственно; BA – биссектриса угла при вершине A; HC – высота, опущенная из вершины C на противоположную сторону; MD – медиана проведенная из вершины D. Сделать чертеж.
4.1 A(3;-5), C(-1;-2), D(-3;3). Найти: 1) уравнение и длину BA; 2) уравнение MC;3) угол между BA и HC.
4.2 A(2;8), C(6;4), D(-4;2). Найти: 1) уравнение и длину MA; 2) уравнение HA;3) угол между BA и MA.
4.3 A(0;5), C(-3;4), D(5;0). Найти: 1) уравнение и длину MA; 2) точку H; 3)угол между MA и HA.
4.4 A(-8;2), C(2;2), D(10;8). Найти: 1) уравнение и длину BC; 2) точку H; 3)угол между HD и MC.
4.5 A(-2;-3), C(6;-6), D(2;3). Найти: 1) уравнение и длину HD; 2) точку M; 3) угол между MD и MA.
4.6 A(4;-4), C(0;1), D(-2;4). Найти: 1) уравнение и длину HD; 2) уравнение BA;3) угол между HD и BA.
4.7 A(-3;-8), C(9;0) D(3;8). Найти: 1) уравнение и длину BD; 2) точку M; 3)угол между BD и MD.
4.8 A(0;10), C(4;6) D(-6;4). Найти: 1) уравнение и длину MD; 2) центр описанной окружности и ее радиус; 3) углы треугольника.
4.9 A(1;7), C(-2;-2) D(6;2). Найти: 1) уравнение AK║CD; 2) точку H; 3) угол между HC и MA.
4.10 A(8;6), C(2;0) D(6;8). Найти: 1) уравнение и длину HC; 2) уравнение KL, где K и L – середины сторон CD и CA; 3) угол ACM.
4.11 A(8;14), C(16;-2) D(2;-4). Найти: 1) уравнение и длину MD; 2) центр описанной окружности и ее радиус; 3) угол между HA и MD.
4.12 A(4;2), C(6;-12) D(18;0). Найти: 1) уравнение и длину MA; 2) центр вписанной окружности и ее радиус; 3) угол CBA.
4.13 A(-7;-3), C(1;9) D(9;3). Найти: 1) уравнение и длину HC; 2) точку M; 3)угол между HC и MA.
4.14 A(-5;-1), C(5;-1) D(13;5). Найти: 1) уравнение и длину MС; 2) точку H; 3) угол между BC и HD.
4.15 A(1;-2), C(-2;0) D(5;6). Найти: 1) уравнение и длину BA; 2) центр описанной окружности и ее радиус; 3) уравнение HA.
4.16 A(2;14), C(-4;-4) D(12;4). Найти: 1) уравнение и длину PQ, где P и Q – середины сторон AC и AD; 2) точку H; 3) угол между MA и HA.
4.17 A(-6;-13), C(12;-7) D(4;17). Найти: 1)уравнение и длину HC; 2)точку B; 3) угол между MC и HC.
4.18 A(2;-8), C(2;2) D(8;10). Найти: 1) уравнение и длину HC; 2) центр описанной окружности и ее радиус; 3) угол DMC.
4.19 A(0;-1), C(4;5) D(8;-4). Найти: 1) уравнение DK║AC; 2) точку M; 3)угол между HD и MD.
4.20 A(0;4), C(2;-10) D(14;2). Найти: 1) уравнение CD; 2) центр вписанной окружности и ее радиус; 3) угол между HC и MA.
4.21 A(4;5), C(-3;-1) D(0;-3). Найти: 1) уравнение и длину BD; 2) уравнение AK║CD; 3) углы треугольника.
4.22 A(3;0), C(-3;2), D(3;8). Найти: 1) уравнение и длину HA; 2) центр описанной окружности и ее радиус; 3) угол между HA и MC.
4.23 A(-2;1), C(6;-5) D(-2;11). Найти: 1) уравнение и длину BA; 2) точку H; 3) угол MAC.
4.24 A(2;4), C(-12;6) D(0;18). Найти: 1) уравнение и длину HA; 2) точку B; 3) расстояние от B до стороны AD.
4.25 A(2;-6), C(-2;-3) D(-4;2). Найти: 1) уравнение и длину MC; 2)уравнение HD;3)угол между HD и MC.
5.Установить, какую линию определяет уравнение, определить фокусы, вершины, оси линии, нарисовать ее.
5.1. 4x2 – y2 –8x – 4y – 4 = 0.
-
x2 + y2 –2x – 4y + 1 = 0.
-
4y2 – 8x – 4y + 9 = 0.
-
x2 – 4y2 + 8y + 4 = 0.
-
x2 + 2x + 4y – 7 = 0.
-
4x2 + 4y2 – 8x – 24y + 31 = 0.
-
x2 + 4y2 + 4x – 8y + 4 = 0.
-
x2 – y2 – 6x – 4y + 1 = 0.
-
y2 + 8x – 6y + 25 = 0.
-
x2 + y2 + 8x + 2y + 1 = 0.
-
4x2 + y2 – 8x + 4y + 4 = 0.
-
4x2 – y2 – 8x – 6y – 9 = 0.
-
y2- 16x + 6y + 25 = 0.
-
2x2 + 2y2 + 16x – 28y + 53 = 0.
-
x2 + 9y2 –2x +18y + 1 = 0.
-
x2 – 4y2 – 8x +8y + 16 = 0.
-
x2 – 4x – 4y + 12 = 0.
-
x2 + y2 – 8x + 2y + 16 = 0.
-
9x2 + 4y2 – 18x + 24y + 9 = 0.
-
x2 – 9y2 – 8x + 18y – 2 = 0.
-
3x2 + 3y2 – 42x + 6y + 146 = 0.
-
y2 + 10x – 10y + 55 = 0.
-
9x2 – 16y2 – 36x + 32y + 164 = 0.
-
y2 – 20x – 14y + 37 = 0.
-
9x2 + 16y2 – 18x + 96y + 9 = 0.
6.Установить , какая линия определяется уравнением , нарисовать ее.
6.1. 6.2.
6.3. 6.4.
6.5. 6.6.
6.7. 6.8.
6.9. 6.10.
6.11. 6.12.
6.13. 6.14.
6.15. 6.16.
6.17. 6.18.
6.19. 6.20.
6.21. 6.22.
6.23. 6.24.
6.25.
7.1-8.Провести касательные к линии l , параллельные прямой p.
7.1. l: , p: 2x+y-7=0.
7.2. l: , p: 4x-2y+23=0.
7.3. l: , p: 10x-3y+9=0.
7.4. l: , p: 3x-2y+13=0.
7.5. l: , p: 3x-4y+7=0.
7.6. l: , p: 2x+2y-13=0.
7.7. l: , p: x-y-7=0.
7.8. l: , p: 2x-y+3=0.
7.9-16.Провести касательные к линии l , перпендикулярные прямой p.
7.9. l: , p: x-2y+9=0.
7.10. l: , p: 2x-2y-5=0.
7.11. l: , p: 4x+3y-7=0.
7.12. l: , p: 4x+2y-1=0.
7.13. l: , p: y-2x-4=0.
7.14. l: , p: 3x-2y-6=0.
7.15. l: , p: 5x+2y+8=0.
7.16. l: , p: x+y-17=0.
7.17-21.Через точку М провести касательную к линии l .
7.17. M(-9;3), l: .
7.18. M( 2;2), l: .
7.19. M(0;-6), l: .
7.20. M(0;11), l: .
7.21. M( 7;0), l: .
7.22-25.Вывести условие, при котором прямая y=kx+b касается линии l .
7.22. l : .
7.23. l : .
7.24. l : .
7.25. l : .
8. Определить параметры, входящие в уравнения прямых и плоскостей, используя данные об их взаимном расположении.
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
8.9
8.10
8.11
8.12 )
8.13
8.14
8.15
8.16
8.17
-
- пересекаются
-
p и q – пересекаются
-
p и q – пересекаются
9. Составить уравнение плоскости и найти расстояние точки N от неё. Выяснить, лежат ли точка N и начало координат по одну или по разные стороны относительно плоскости .
9.1 А.
9.2 .
9.3 .
9.4 линии пересечения плоскостей
.
9.5 .
9.6 .
9.7 .
9.8 .
9.9 .
9.10 проходит через линию пересечения плоскостей
.
9.11 .
9.12
.
9.13 .
9.14 .
9.15 .
9.16 .
9.17 .
9.18 .
9.19 .
9.20 .
9.21 .
9.22 .
9.23 .
9.24 .
9.25
10.Составить канонические, параметрические или общие уравнения прямой р,проходящей через точку N, используя данные о расположении p относительно других объектов.
-
N (-1,2,-3) , p|| q:.
-
N (2,2,5) , p ={1,2,0}, ={0,3,7}.
-
N (1,0,5) , p||: 3x-y+7z=0 , p пересекается с прямой
q: ==
-
N (2,-3,1) , p={2,1,-1} , p пересекается с прямой q:.
-
N (3,1,0) , p||: x-3y+z-1=0 , p||: 2x+3y+z+3=0.
-
N (4,-3,1) , p||: x+2y-3z-1=0 , p пересекается с прямой .
-
N (5,7,-5) , pq: == , p и q – пересекаются.
-
N (3,2,-2) , p пересекается с прямыми q: и r:.
-
N (4,1,-3) , p={3,-2,1} , p пересекается с прямой q: ==.
-
N (5,7,3) , p пересекается с прямой q:и pq.
-
N (7,1,1) , p={3,4,-1} , p||: 2x-3z+6=0.
-
N (-2,3,1) , p: 3x+y+3=0 , p||: 2y-z+1=0.
-
N (4,2,1) , p={7,1,2} , pq: .
-
N (2,3,2) , p: 3x-2y+z-2=0 , p={2,0,1}.
-
N (-3,-,5) , p||:2x-3y-z+1=0 , pq:.
-
N (1,7,9) , pq: , p и q –пересекаются.
-
N (2,-3,-5) , p={2,-1,-3} , pq: .
10.18 N (7,-3,1) , p={1,-1,2} , p пересекается с прямой q:.
10.19 N (-1,2,1) , p={3,5,1} , p ={1,2,2}.
10.20 N (6,3,7) , p:3x-y+z-2=0 , pq: ==.
-
N (4,2,2) , pq:, pr:==.
-
N (1,1,3) , p|| :2x-3y-z=0 , pq:.
-
N (5,0,1) , p||:x-3y+z=0 , p||:2x+3z-1=0.
-
N=q , где q:==, :2x+7y-z+0 ,p|| r:.
-
N=q , где,: x+2y+z-13=0 , p.
11. Найти угол между прямой р из задачи 10 и плоскостью из задачи 9.
12.1-4. Найти проекцию точки М на прямую р или плоскость .
12.5-7.Найти расстояние от точки M до прямой p.
12.8-11.Найти точку N , симметричную точке М относительно плоскости или прямой р .
12.12-15.Не находя точку пересечения , доказать , что прямые p и q пересекаются.
12.16-18.Составить уравнение плоскости ,проходящей через прямую р и параллельную прямой q.
12.19-22.Найти расстояние между прямыми p и q .
12.23-25.Составить каноническое уравнение проекции прямой р на плоскость .
Список рекомендованной литературы
1.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия . –М.: Наука . –223с.
2.Пак В.В., Носенко Ю.Л. Вища математика : Підручник . –К.: Либідь, 1996. –440с.
3.Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. - СПб.: Спец. лит.,1998. –200с.
4.Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. –М.: Наука , 1970. –336с.
5.Сборник задач по математике для ВТУЗов . Линейная алгебра и основы математического анализа . / Под ред. Ефимова А.В., Демидовича Б.П. – М.:Наука,1986. -462 с.
6.Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике . –М.: Высш.шк., 1983. –175с.
7.Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии . –М. : Наука , 1975. –272с.
Содержание