Мат. аналіз (лекції)
.pdf
|
|
|
1 |
|
|
ÇÌIÑÒ |
|
Частина 1. Вступ |
6 |
||
Роздiл 1. Вступ до математичного аналiзу |
7 |
||
1.1. |
Логiчна символiка |
7 |
|
1.2. |
Елементи теорi¨ множин |
8 |
|
1.3. |
Пiдмножини дiйсних чисел |
9 |
|
Ðîçäië 2. |
Комплекснi числа |
11 |
|
2.1. Алгебра¨чнi операцi¨ над комплексними числами |
11 |
||
2.2. |
Комплексна площина |
12 |
|
2.3. Теорема про модуль i аргумент |
13 |
||
2.4. Корiнь з комплексного числа |
14 |
||
2.5. |
Коренi многочленiв |
15 |
|
Частина 2. Границi та похiднi |
17 |
||
Роздiл 3. Збiжнiсть числових послiдовностей |
18 |
||
3.1. |
Основнi означення |
18 |
|
3.2. |
Властивостi збiжних послiдовностей |
21 |
|
3.3. |
Монотоннi послiдовностi |
23 |
|
3.4. |
Поняття про пiдпослiдовнiсть |
23 |
|
3.5. |
Важливi приклади |
24 |
|
3.6. |
Число e. Натуральнi логарифми |
25 |
|
Роздiл 4. Границя функцi¨ в точцi |
27 |
||
4.1. |
Означення границi функцi¨ |
27 |
|
4.2. |
Властивостi границi функцi¨ |
29 |
|
4.3. |
Однобiчнi границi |
30 |
|
4.4. Перша та друга важливi границi |
31 |
||
Ðîçäië 5. |
Неперервнiсть функцiй |
33 |
|
5.1. |
Основнi означення |
33 |
|
|
2 |
5.2. |
Властивостi неперервних функцiй |
34 |
5.3. |
Неперервнiсть елементарних функцiй |
34 |
5.4. |
Важливi приклади |
35 |
5.5. |
Точки розриву функцi¨ |
36 |
5.6. Нескiнченно малi i нескiнченно великi функцi¨ |
38 |
|
5.7. Властивостi функцiй, неперервних на вiдрiзку |
40 |
|
5.8. |
Рiвномiрна неперервнiсть |
41 |
Границi, якi потрiбно пам'ятати |
42 |
|
Ðîçäië 6. Ïîõiäíà |
44 |
|
6.1. |
Означення i приклади |
44 |
6.2. |
Правила обчислення похiдних |
45 |
6.3. Диференцiювання функцi¨, задано¨ параметрично |
47 |
|
6.4. Похiдна неявно задано¨ функцi¨. Степенево-показникова функцiя. |
48 |
|
6.5. |
Однобiчнi похiднi |
49 |
6.6. Фiзична та геометрична iнтерпретацiя похiдно¨ |
49 |
|
6.7. |
Диференцiйовнiсть та диференцiал |
50 |
6.8. Похiднi i диференцiали вищих порядкiв |
52 |
|
6.9. Теореми про диференцiйовнi функцi¨ |
53 |
|
6.10. |
Формула Тейлора |
56 |
6.11. |
Розкриття невизначеностей |
57 |
Роздiл 7. Дослiдження функцiй за допомогою границь i похiдних |
61 |
|
7.1. Дослiдження за допомогою першо¨ похiдно¨ |
61 |
|
7.2. Дослiдження за допомогою друго¨ похiдно¨ |
62 |
|
7.3. |
Знаходження асимптот |
63 |
7.4. Схема дослiдження графiкiв функцiй |
64 |
|
7.5. |
Гiперболiчнi функцi¨ |
65 |
7.6. |
Функцiя Гауса |
70 |
Частина 3. Функцi¨ багатьох змiнних |
71 |
Роздiл 8. Поняття про функцi¨ багатьох змiнних |
72 |
|
|
3 |
8.1. |
m-вимiрний евклiдовий простiр |
72 |
8.2. |
Пiдмножини евклiдового простору Rm |
73 |
8.3. Функцi¨ вiд m çìiííèõ |
74 |
|
8.4. |
Послiдовностi точок простору Rm |
75 |
8.5. Границя та неперервнiсть функцiй m çìiííèõ |
75 |
|
Роздiл 9. Диференцiювання функцiй декiлькох змiнних |
80 |
|
9.1. Повний та частинний прирости функцi¨ |
80 |
|
9.2. |
Частиннi похiднi |
81 |
9.3. |
Диференцiйовнiсть функцiй m çìiííèõ |
81 |
9.4. Застосування повного диференцiала до наближених обчислень |
83 |
|
9.5. Геометричний змiст умови диференцiйовностi функцiй двох змiнних |
84 |
|
9.6. |
Диференцiювання складно¨ функцi¨ |
85 |
9.7. Iнварiантнiсть форми запису першого диференцiала |
87 |
|
9.8. Похiдна вiд функцi¨, задано¨ неявно |
87 |
|
Роздiл 10. Поверхнi рiвня, похiдна за напрямком, градi¹нт |
89 |
|
10.1. Поверхнi (лiнi¨) рiвня функцiй трьох (двох) змiнних |
89 |
|
10.2. Похiдна за напрямком та градi¹нт |
90 |
|
10.3. |
Властивостi градi¹нта |
91 |
Роздiл 11. Похiднi та диференцiали вищих порядкiв |
93 |
|
11.1. |
Похiднi вищих порядкiв |
93 |
11.2. |
Диференцiали вищих порядкiв |
94 |
11.3. Формула Тейлора для функцiй багатьох змiнних |
94 |
|
Роздiл 12. Локальнi екстремуми функцiй |
96 |
|
Частина 4. Iнтегрування |
98 |
|
Роздiл 13. Первiсна та невизначений iнтеграл |
99 |
|
13.1. Первiсна та невизначений iнтеграл |
99 |
|
13.2. |
Таблиця iнтегралiв |
100 |
13.3. Основнi властивостi невизначеного iнтеграла |
101 |
|
13.4. |
Iнтегрування методом замiни змiнно¨ чи способом пiдстановки |
102 |
|
|
4 |
13.5. |
Iнтегрування частинами |
103 |
13.6. Деякi класи функцiй, якi iнтегруються частинами |
104 |
|
Роздiл 14. Iнтегрування рацiональних функцiй |
106 |
|
14.1. |
Один важливий iнтеграл |
106 |
14.2. |
Iнтегрування елементарних дробiв |
107 |
14.3. |
Розклад рацiонально¨ функцi¨ на елементарнi дроби |
108 |
Роздiл 15. Iнтегрування деяких класiв тригонометричних та iррацiональних
функцiй |
|
111 |
|
15.1. Iнтегрування деяких класiв тригонометричних функцiй |
111 |
||
15.2. |
Iнтегрування iррацiональних функцiй |
114 |
|
15.3. |
Тригонометричнi пiдстановки |
116 |
|
15.4. |
Пiдстановки Ейлера |
117 |
|
15.5. Iнтеграли, якi не беруться в квадратурах |
117 |
||
Ðîçäië 16. |
Визначений iнтеграл |
118 |
|
16.1. |
Означення визначеного iнтеграла |
118 |
|
16.2. Геометричний змiст визначеного iнтеграла |
119 |
||
16.3. Основнi властивостi визначеного iнтеграла |
120 |
||
16.4. Властивостi iнтеграла як функцi¨ верхньо¨ межi |
121 |
||
16.5. |
Формула Ньютона-Лейбнiца |
122 |
|
16.6. Замiна змiнно¨ та iнтегрування частинами у визначених iнтегралах |
122 |
||
Ðîçäië 17. |
Застосування iнтегралiв |
124 |
|
17.1. |
Обчислення площ |
124 |
|
17.2. Обчислення довжини дуги криво¨ |
126 |
||
17.3. Обчислення об'¹мiв тiл за площами поперечних перерiзiв |
129 |
||
17.4. |
Об'¹м тiла обертання |
129 |
|
Роздiл 18. Невласнi iнтеграли та iнтеграли, залежнi вiд параметра |
131 |
||
18.1. Iнтеграли по безмежному промiжку |
131 |
||
18.2. |
Властивостi невласних iнтегралiв |
132 |
|
18.3. |
Iнтеграли вiд необмежених функцiй |
133 |
|
5 |
18.4. Iнтеграли, залежнi вiд параметра |
134 |
Таблиця iнтегралiв |
136 |
Формули для застосування iнтегралiв |
137 |
Частина 1
Вступ
7
ÐÎÇÄIË 1
ВСТУП ДО МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛIЗУ
1.Логiчна символiка.
2.Елементи теорi¨ множин.
3.Пiдмножини дiйсних чисел.
1.1. Логiчна символiка
Для спрощення запису математичних текстiв будемо використовувати такi |
|
позначення: |
|
) |
слiду¹ , виплива¹ , iмплiку¹ , . . . |
, |
тодi i тiльки тодi , необхiдно i достатньо |
^ |
i |
_ |
àáî |
9 |
iñíó¹ (Exist) |
9! |
iсну¹ ¹диний |
8 |
äëÿ âñiõ (All) |
def= , =df, := дорiвню¹ за означенням |
|
Приклад 1.1. |
|
1. |
0 < a < b ) a2 < b2; |
2. |
a < b , a3 < b3; |
3. |
(a < b) ^ (0 < a) ) a2 < b2; |
4. |
x2 ¡ 3x + 2 = 0 ) (x = 1) _ (x = 2); |
5. |
9x : x2 = 1; |
6. |
9!x : 2x = 1; |
7. |
n! def= 1 ¢ 2 ¢ 3 ¢ ¢ ¢ n. |
8
1.2.Елементи теорi¨ множин
1.2.1.Поняття множини. Поняття множини ¹ первiсне i тому не озна- ча¹ться, а тiльки опису¹ться.
Пiд множиною будемо розумiти сукупнiсть об'¹ктiв (елементiв множини), об'¹днаних за спiльною властивiстю чи для яко¨сь цiлi. Множина повинна бути задана так, щоб про кожний об'¹кт можна було сказати однозначно, належить вiн данiй множинi чи нi.
Умовно можна видiлити два способи задати множину. Перший спосiб перелiчити всi ¨¨ елементи. Елементи множини записуються через кому у фi-
гурних дужках. Наприклад, B = f1; 2; 3g: Другий спосiб - вказати правило,
закон чи властивiсть, за якими однозначно можна сказати, належить даний елемент множинi чи нi. Наприклад:
B= fx j (x ¡ 1)(x ¡ 2)(x ¡ 3) = 0g:
1.2.2.Позначення стандартних множин.
Через ; познача¹ться порожня множина множина, що не мiстить жо-
дного елемента (аналог нуля для множин).
N = f1; 2; 3; 4; : : : g множина натуральних чисел,
Z
Q
R
[a; b] = fx 2 R j a · x · bg сегмент або замкнений вiдрiзок, (a; b) = fx 2 R j a < x < bg iнтервал або вiдкритий вiдрiзок, (a; b] = fx 2 R j a < x · bg пiвiнтервал чи пiвсегмент.
1.2.3. Дi¨ над множинами.
Множина A назива¹ться пiдмножиною множини B (iнакше: множина A лежить в B, B мiстить A), ÿêùî A склада¹ться тiльки з елементiв множини B. Познача¹ться це так: A ½ B ÷è B ¾ A.
Множини A i B рiвнi, тодi i тiльки тодi, коли одночасно A ½ B i B ½ A.
9
Об'¹днанням множин A òà B назива¹ться така множина A[B, яка склада¹ться з тих i тiльки тих елементiв, якi належать або множинi A, або множинi B:
A [ B def= fx j x 2 A _ x 2 Bg:
Перетином множин A òà B назива¹ться така множина A \ B, яка склада¹ться з тих i тiльки тих елементiв, якi належать одночасно i множинi A, i множинi B:
A \ B def= fx j x 2 A ^ x 2 Bg:
Рiзницею множин A òà B назива¹ться така множина AnB, яка склада¹ться з тих i тiльки тих елементiв, якi належать множинi A i не належать множинi B. Познача¹ться це так:
A n B def= fx j x 2 A ^ x 2= Bg:
Доповненням до множини A |
назива¹ться така множина |
¹ |
|
A, яка склада¹- |
|
ться з тих i тiльки тих елементiв, якi не належать множинi A: |
|
|
¹ |
|
|
A def= fx j x 2= Ag: |
|
Тут ма¹ться на увазi, що множина A ¹ пiдмножиною деякого унiверсального
простору U (наприклад, U = R ÷è U = C |
). Òîìó ¹ |
||
|
A = U n A. |
||
Приклад 1.2. Нехай A = [1; 3) i B = (2; 5]. Òîäi A[B = [1; 5], A\B = (2; 3), |
|||
A n B = [1; 2], B n A = [3; 5] |
, ¹ |
|
, ¹ |
A = (¡1; 1) [ [3; 1) |
B = (¡1; 2] [ (5; 1). |
1.3. Пiдмножини дiйсних чисел
Означення 1.1. Пiдмножина A ½ R назива¹ться обмеженою зверху, якщо iсну¹ число C 2 R, таке що для всiх елементiв a з множини A викону¹ться нерiвнiсть: a · C. Символiчний запис:
A ½ R обмежена зверху def= (9C 2 R)(8a 2 A): fa · Cg
Означення 1.2. Пiдмножина A ½ R назива¹ться обмеженою знизу, якщо iсну¹ число c 2 R, таке що для всiх елементiв a з множини A викону¹ться нерiвнiсть: a ¸ C. Символiчний запис:
A ½ R обмежена знизу def= (9c 2 R)(8a 2 A): fa ¸ cg
10
Означення 1.3. Пiдмножина A ½ R обмежена, якщо вона обмежена зверху i обмежена знизу.
Означення 1.4. Число B 2 A назива¹ться максимальним елементом
множини A ½ R, якщо для всiх ¨¨ елементiв a 2 A викону¹ться: a · B.
Означення 1.5. Число b 2 A назива¹ться мiнiмальним елементом множини A ½ R, якщо для всiх ¨¨ елементiв a 2 A викону¹ться: a ¸ b.
Означення 1.6. Число B 2 R назива¹ться множини A ½ R, ÿêùî:
1. (8a 2 A): fa · Bg;
2. (8" > 0)(9a 2 A): fa > B ¡ "g.
Познача¹ться це так: B = sup A. Чита¹ться супремум (вiд латинського слова supremum найвищий)
Означення 1.7. Число b 2 R назива¹ться точною нижньою гранню множини A ½ R, ÿêùî:
1. (8a 2 A): fa ¸ Bg;
2. (8" > 0)(9a 2 A): fa < B + "g.
Познача¹ться це так: B = inf A. Чита¹ться iнфiмум вiд латинського in mum найнищий)
Приклад 1.3. Нехай A = [1; 5). Òîäi min A = inf A = 1, sup A = 5, максимального елемента ця множина на ма¹.