- •1. Метричні простори та приклади
- •2. Відкриті та замкнені множини
- •7.Поповнення метричного простору
- •3. Збіжність у метричних просторах
- •6.Неперервні відображення метричних просторів
- •4.Щільність множин
- •5.Повні метричні простори
- •8.Принцип стискаючих відображень
- •9.Відносна компактність.
- •10.Компактні множини в метричних просторах
- •11.Критерій компактності
- •12.Критерій відносної компактності в пр-рі
7.Поповнення метричного простору
Будь-який метр.простір можна включити до деякого повного метр.простору.
Озн.Підпростором м.п. (Х,ρ) називається підмножина МХ (М,ρ)
Озн.Повний м.п.Х* назив поповненням м.п. Х, якщо: 1) Х-підпростір простору Х* . 2) =X* мн-на х скрізь щільна у цьому просторі.
Приклади:
1. - неповний
1.2.
-поповнення простору
2. - неповний
1.
2.
Повний простір є поповненням простору
Теорема: неповн м.п. існує поповнення, це поповнення є єдиним з точністю до ізометр.відображення, яке зберігає нерухомими точки множини Х.
Дов. I єдиність поповнення
Припустимо, що для неповного м.п. Х існують два поповнення Х*,Х**, такі що:
1. , тобто це відображення зберігає нерухомими точки множини Х.
2. х*,у*Х*тобто відображенняізопериметричне
- метрика I-го простору Х*
- метрика I I -го простору Х*
Візьмемо довільний елемент х* Х*
: з іншого боку
Таким чином, ми побудували відображення:Х*Х** це відображення є взаємооднозначнимза побудовою
:,
,
Х**
бо
бо
- ізометрія
II Існування поповнення
Дві фунд.послід.{xn},{xn’}X будемо наз.еквівалентними
{xn}~{xn ‘}, якщо =0.
Це відношення є рефлексивним, симетричним, транзитивним, тобто відношення дійсно еквівалентні.
Озн: Рефлексивне:{xn}~{xn’}.
Симетр.:{xn}~{xn’}{xn’}~{xn}
Транзитивне:{xn}~{yn },
{yn}~{zn }{xn }~{zn}
X* - мн.класів еквівалентності
x*, y* X*
{xn} X*, {yn} Y*
Треба показати
1) .
2) Показати, що ця границя не залежить від послідовностей.
3) Перевірити аксіоми метрики.
метр.простору Х, x, y, z, t X справ.нер.чотирикутника.
|-|
1), при n,m , бо {xn} фунд., аналогічно при n,m , бо {yn} фунд. Отже, весь вираз , з чого слідує, що числ.послід.{} фунд., а тому вона збіжна і .
2)
3) - метрика
1°.-один клас.
2°.
3°.
Таким чином, озн.ф-ції є коректним. - метрика. - метр.простір. Залишається довести такі пункти:
1)
2)
3) X* - повний м.п.
1)
таке, що - фунд.
Побудовано відображення
, - ізометрія.
X – ізометр.простір. Далі вважаємо
2)
- фундам.
, а x* - довільна точка з X*.
,,
Звідси справ.рівність
3)
для x2*
…
для xn*
Побудуємо послідовність
{xn} – фунд.
{xn*} збіжна, простір X* повний.
Теорема доведена.
3. Збіжність у метричних просторах
Нехай Х – метричний простір, . Кажемо, що послідовність (збігається), якщо числова послідовність
Зауваження
1. Якщо х0 – гранична точка послідовності {хn}
Так наприклад у просторі R дійсних чисел послідовність(1,1,1…) збігається до числа 1, але множина {1} не має граничних точок.
2. Нехай х0 – гранична точка {хn}
Звідси не обов’язково випливає, що
Так наприклад у просторі R дійсних чисел послідовність(1,1/2,1/3,…) має граничну точку х0=0, але вона не збіжна.
Збіжність у конкретних метр. просторах.
1. точка х0
Таким чином збіжність у просторах є поокординатна.
2. Х=С[a,b] {хm}, х0
хm рівномірно збіжна на[a,b] до х0
Таким чином збіжність у м.пр.C[a,b] це рівномірна збіжність функц. послідовності
6.Неперервні відображення метричних просторів
(X,ρ1) (Y, ρ2) f: X→Y
Означення: Відображення f називається неперервним у точці x0єX, якщо
Якщо відображення f є неперервним в кожній точці простору Х, то його називають неперервним у Х.
Якщо відображення f: X→Y взаємно однозначне, то існує обернене відображення f-1: Y→X.
Означення: Взаємно однозначне відображення f: X→Y таке, що f,f-1 – неперервні, називається гомоморфним.
Якщо f: X→Y гомоморфне, то кажуть, що всі простори X,Y гомоморфні.
РИСУНОК
X=(-∞;+∞) ρ1(x,y)=|x-y|
Y=(-π/2; π/2) ρ2(x,y)=|x-y|
Якщо f: X→Y взаємно однозначне, f,f-1 – неперервні, то (X,ρ1) (Y, ρ2) – гомоморфізм.
Важливим окремим випадком гомоморфізму є ізометричне відображення (ізометрія).
Означення. Взаємно однозначне відображення f: X→Yназивається ізометрією, якщо
ρ1(x1,x2)=ρ2(f(x1),f(x2))
Якщо f: X→Y ізометрія, то кажуть, що простори X,Y ізометричні. В них метричні зв’зки між точками однакові. Різною може бути природа елементів, але з точки зору теорії МП це неістотно.