2
.doc
Практичне заняття № 2. Лінійна залежність та незалежність векторів. Базис. Координати вектора.
Основні теоретичні факти.
Нехай задані вектори та числа . Вектор називається лінійною комбінацією векторів . Також кажуть, що вектор лінійно виражається через вектори .
Якщо рівність можлива при деяких ненульових коефіцієнтах, то вектори називають лінійно залежними. Якщо ж дана рівність виконується тільки при нульових коефіцієнтах, то вектори називають лінійно незалежними.
Вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли один із них є лінійною комбінацією інших.
Якщо серед векторів є нульовий вектор, то ці вектори лінійно залежні.
Якщо деяка система векторів містить лінійно залежну підсистему, то ці вектори лінійно залежні.
Два вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні.
Три вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони компланарні.
Будь-які чотири геометричні вектори лінійно залежні.
Упорядковану множину векторів називають базисом множини векторів , якщо дані вектори лінійно незалежні, а також будь-який вектор множини лінійно виражається через вектори множини .
У просторі компланарних векторів з деяким базисом довільний вектор можна єдиним способом представити у вигляді . Коефіцієнти біля базисних векторів називають координатами вектора відносно базису . Записують або .
У випадку векторного простору не компланарних векторів та деякого його базису для довільного вектора його координати аналогічно визначаються, як коефіцієнти біля базисних векторів у рівності . Записують або .
Два вектори, задані своїми координатами, рівні тоді і тільки тоді, коли їхні відповідні координати рівні.
Додавання та віднімання векторів, а також множення векторів на числа здійснюється виконанням відповідних операцій над координатами векторів. Тобто, для довільних векторів та
,
,
, - деякий числовий множник.
Два вектори, задані своїми координатами, колінеарні тоді і тільки тоді, коли їхні координати пропорційні.
Базис називають прямокутним декартовим або ортонормованим, якщо вектори базису одиничні та взаємно перпендикулярні. Щоб відрізняти ортонормовані базиси від інших використовують позначення базисних векторів у виді . Отже, базис - прямокутний декартовий, якщо та . У просторі ортонормованим буде базис .
Довжину вектора в ортонормованому базисі можна обчислювати за допомогою співвідношення . Довжина вектора в ортонормованому базисі обчислюється за формулою .
Приклади розв’язання задач.
Задача 1. Задано вектори , , . Довести, що вони утворюють базис. Розкласти вектор за даним базисом.
Розв’язання. Розглянемо векторну рівність . Прирівнюючи координати векторів у лівій та правій частині рівності, отримуємо систему однорідних лінійних рівнянь , визначник якої . Тому система має тільки нульовий розв’язок. Отже, дані вектори лінійно незалежні і утворюють базис.
Із векторної рівності дістаємо систему координатних рівностей , розв’язуючи яку, знаходимо .
Таким чином, .
Задача 2. Знайти лінійну залежність між векторами , , , .
Розв’язання. Нас цікавить хоча б один ненульовий набір коефіцієнтів у векторній рівності . Переходячи до координатних рівностей, одержуємо систему однорідних лінійних рівнянь , яка, як відомо із курсу лінійної алгебри, має безліч розв’язків. Одним із них є розв’язок . Відповідь отримуємо у виді рівності .
Задача 2. У трикутнику на сторонах і вибрано точки та так, що , а також проведено відрізки і , які перетинаються у точці . У якому відношенні точка ділить дані відрізки?
Розв’язання. Нехай , (рис. 1). Оскільки , то . Виразимо всі вектори в одержаній векторній рівності через та .
, .
Отже, .
Оскільки вектори та лінійно незалежні, то, прирівнюючи коефіцієнти біля цих векторів в обох частинах рівності, дістаємо систему рівнянь
,
розв’язуючи яку, знаходимо . Отже, .
Відповідь. .
Задача 3. Задано правильний шестикутник . Нехай. Знайти координати векторів та у базисі .
Розв’язання. Нехай - центр кола, описаного навколо заданого шестикутника (рис. 2). Очевидно, що
,
а також, що . Тому
,
.
Відповідь. .
Задача 4. Довести, що відрізки, які сполучають вершини трикутної піраміди з центрами протилежних граней, перетинаються в одній точці та діляться нею у відношенні 3:1, рахуючи від вершини.
Розв’язання . Нехай - задана піраміда і , точки та - точки перетину медіан відповідно трикутників і , точки належать відрізкам та , причому . Покажемо, що у базисі координати векторів та співпадають. Маємо
,
де - середина відрізка . Отже, у базисі вектор має координати . Дальше знаходимо
,
тобто . Таким чином, , а це означає, що точки та співпадають.
Задача 5. У трапеції з основами відомо, що . Обчислити координати вектора у базисі , якщо - точка перетину діагоналей трапеції, (рис. 3).
Розв’язання. Із трикутника знаходимо
.
Оскільки трикутники та подібні, то
,
звідки . Тому
.
Коефіцієнти біля векторів та дозволяють отримати відповідь: .
Задачі для самостійного розв’язання.
-
Вектори та лінійно незалежні. Визначити, при якому значенні параметра будуть лінійно залежними вектори та ?
.
-
Довести, що для будь-яких векторів вектори , та лінійно залежні.
-
У трикутнику на сторонах і вибрано точки та так, що , а також проведено відрізки і , які перетинаються у точці . У якому відношенні точка ділить дані відрізки?
-
У трикутнику вектори та напрямлені по медіанах. Виразити їх через вектори і
-
Нехай - довільний трикутник, і - середини сторін та . Виразити вектори , через і
-
Нехай - правильний шестикутник, точка - його центр. Покладемо та Виразити вектори через вектори та
-
У паралелограмі на стороні вибрана точка така, що . У якому відношенні ділить діагональ точка її перетину з відрізком ?
-
У паралелограмі на діагоналі вибрана точка така, що . У якому відношенні ділить сторону точка її перетину з прямою ?
-
У паралелепіпеді точки - середини ребер , та відповідно (рис.4). Виразити вектори через вектори .
-
Н
Рис. 4
ехай - паралелограм, і - середини протилежних сторін і , а точка - точка перетину діагоналей. Прийнявши вектори та за базисні визначити координати векторів -
Дано . Прийнявши за базисні вектори , де - середина і , де - середина , виразити через них вектори та
-
Дано трикутник ОАВ. Сторона АВ поділена точкою Р у відношенні АР:РВ=m:n. Розкласти вектор ОР за векторами та .
-
- правильний шестикутник. Вибравши вектори і за базисні, виразити через них вектори , та .
-
На векторах , та побудовано паралелепіпед. Точка М - центр грані, яка проходить через точку С паралельно до векторів і . Розкласти вектор за векторами , та .
-
Дано - чотири довільні точки простору. Прийнявши за базисні вектори , та виразити через них вектор де - середина , - середина
-
У трикутнику проведені медіана і середня лінія , яка паралельна стороні . Прямі і перетинаються у точці . Знайти координати векторів прийнявши вектори і за базисні.
-
Вектори і співпадають з сторонами трикутника . Визначте координати векторів , та , які співпадають з медіанами трикутника.
-
Серед векторів знайти лінійно залежні.
-
Визначити модулі суми і різниці векторів та .
-
При яких значеннях параметрів та вектори та будуть колінеарні?