- •1. Множина дійсних чисел. Упорядкованість, щільність, повнота множини дійсних чисел.
- •2. Числова послідовність. Види числових послідовностей. Границя послідовності. Властивості збіжних послідовностей.
- •3.Неск-но малі і неск-но великі посл-ті, спів. Між ними. Леми про нескінченно малі.
- •4. Відповідність. Відоброження, функція. Способи задання. Види функції.
- •5.Границя функції в розумінні Гейне та Коші. Еквівалентність означень. Визначні границі: .
- •6.Неперервність функції в точці. Різні означення. Одностороння неперервність і її зв’язок з неперервністю в точці.
- •8.Задачі, які приводять до поняття похідної. Означення похідної. Таблиця похідних. Геометричний та механічний зміст. Правила відшукання похідних. Похідна композиції функцій.
- •9.Застосування похідної до дослідження функції на сталість, монотонність.
- •10. Локальний екстремум функції. Необхідна умова. Достатні умови. Знаходження найбільшого і найменшого значення функції на сегменті
- •11. Напрям опуклості графіка функції. Достатні умови. Точка перегину. Необхідна умова перегину. Достатні умови.
- •12.Первісна функція (неозначений інтеграл). Таблиця основних інтегралів. Інтегрування підстановкою, частинами.
- •13.Інтеграл Рімана. Необхідна умова. Необхідна і достатня умова інтегрованості. Класи інтегрованих функцій. Теорема Ньютона-Лейбніца.
- •16. Частинні похідні, диференційованість функції багатьох змінних. Достатня умова диференційованості. Диференціал функції. Правила диференціювання.
1. Множина дійсних чисел. Упорядкованість, щільність, повнота множини дійсних чисел.
Множина дійсних чисел складається із множини раціональних та ірраціональних чисел. Раціональним називається число, яке можна подати у вигляді звичайного дробу , деp, q − цілі числа, причому . Ірраціональним називається дробове число, що не може бути виражене відношенням цілих чисел.
Для будь-яких дійсних чисел a, b має місце одне із співвідношень: Відношення "=" має властивість: якщоі, то.Для будь-яких дійсних чисел a, b, c виконуються наступні аксіоми:
Якщо і, то.
Якщо , то.
Якщо і, то.
Існує єдине число 0, таке, що для будь-якого числа.
Для будь-якого числа існує таке число, що(числоназивається протилежним числу).
Існує єдине число 1, таке, що для будь-якого числа.
Для будь-якого числа існує таке число, що; числопозначається також символомі називається оберненим до.
Нехай і дві множини, які складаються із дійсних чисел. Тоді, якщо , виконується нерівність, то існує принаймні одне дійсне число, для якого виконується нерівність.
Теорема (Дедекінда). Для будь-якого перерізу у множині дійсних чисел існує число, яке здійснює цей переріз. Це число буде або найбільшим в нижньому класі А. або найменшим у верхньому класі
2. Числова послідовність. Види числових послідовностей. Границя послідовності. Властивості збіжних послідовностей.
Послідовністю називається ф-я натурального аргумента, тобто коли кожному натуральному числу n ставиться у відповідність дійсне число.
Види:обмежені(знизу,зверху);монотонні(зрост.,спадні)
Послідовність називається зростаючою (спадною), коли при збільшенні(зменшенні) n члени послідовності зростають (зменшуються), тобто якщо при n1<n2 ().
Послідовність називається обмеженою з верху, якщо: Існує МєR : ¥ nєN nn≤M
Число називаєтьсяграницею послідовності якшо для довільного існує таке натуральне число, яке залежить від, що для всіхвиконується нерівність.
Якщо послідовність має границею число а, то кажуть, що вона збігається до ч.а і її називають збіжною (в прот. випадку - розбіжною).
Теорема1. Якщо послідовність має границю, то ця границя єдина.
Доведення.
Припустимо супротивне. Нехай послідовність має дві границі . Виберемоa<b . Візьмемо довільне , таке, щоб. Знайдемо числаі, при яких, а для. Якщо вибратиN більшим з чисел N1 N2 , то і, що неможливо, тому що.
Теорема 2. Якщо послідовність має границю, то вона обмежена.
Доведення.
Нехай . Тоді в будь-якийокіл точкипотрапляють всіза винятком хіба лише скінченного числа точок. Нехай, починаючи з, всіпотрапили до околу. Виберемо з чиселнайбільше за модулем М. Тодідля. Виберемо. Тоді для, тобто послідовність -- обмежена.
Теорема 3. Якщо для послідовностей і, що мають скінченні (не обов'язково) границіі, і починаючи з деякого номера для всіх наступних членів виконуються нерівностіабо, то.
Теорема4. Якщо з трьох послідовностей ,,дві мають одну й ту саму границю, і при всіх, починаючи з деякого номера, справджуються нерівності, то.
Дійсно, нехай дано . Оскільки, то існує таке, що, Оскільки, то існує таке, що. Нарешті , нехай нерівностісправджуються при всіх. Виберемо тепер. Тодівсі нерівності справджуватимуться одночасно :,,, звідси, або. Це означає, що.
Лема.Якщо послідовність {yn}, yn≠0 має границю, відмінну від нуля, то послідовність обмежена.
Д-ня: Нехай . Тоді для будь-якого δ>0 існує такеN(δ), що виконується нерівність. Якщоb>0, то вибираємо δ таким чином, щоб виконувалася нерівність b–δ>0. Тоді .Вибравши–>. Взявши з чисел,,…,,M’ і позначивши його через M, отримаємо, що , це означає, що посл-тьобмежена.■