ZbLAAG_Diskant_1
.pdfІ. МАТРИЦІ І ДЕТЕРМІНАНТИ
І.І. Матриці, дії над матрицями
Означення 1.1. Матрицею називається прямокутна таблиця чисел
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
|
|
a22 |
|
|
|
|
a21 |
... |
a2n |
, |
(1.1) |
|
. |
. |
. |
. |
||
|
am2 |
|
|
|
|
am1 |
... |
amn |
|
|
|
що містить m рядків та n стовпців. |
|
|
|
|
|
Якщо m=n, то матриця називається |
квадратною, |
а число m, що |
дорівнює n, - її порядком. В загальному випадку матриця називається прямокутною (розмірів m n). Числа aij , що утворюють матрицю
називаються її елементами.
В запису aij перший індекс i означає номер рядка, а другий індекс
j - номер стовпця.
Поряд з позначенням (1.1) використовують ще й таке позначення матриці
|
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
a21 |
a22 |
... |
a2n |
|
. |
. . . |
||
|
am1 am2 ... amn |
|||
або |
скорочено aij (i=1,2,...,m; |
j=1,2,...,n). Часто матрицю (1.1) |
||
позначають однією буквою А. |
|
|
|
|
|
Матриця, що складається з одного стовпця |
a1a2..a.n
називається матрицею-стовпцем.
Матриця, що складається з одного рядка a1 a2 ... an , називається
матрицею-рядком.
Для квадратної матриці вводяться поняття головної та побічної діагоналей. Головною діагоналлю називається діагональ, яку утворюють елементи a11, a22, ..., ann, побічною - діагональ, яку утворюють елементи an1, a(n-1)2,..., a1n.
7
Квадратна матриця, всі елементи якої, за винятком елементів головної діагоналі, дорівнюють нулю, тобто матриця, що має вигляд
d1 |
0 |
... |
0 |
|
|
|
d2 |
|
|
|
|
0 |
... |
0 |
|
, |
|
. |
. |
. |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
... |
dn |
|
називається діагональною.
Діагональна матриця, у якої всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, називається одиничною і позначається буквою Е. Матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю, називається нульовою і позначається буквою О.
Рівність матриць. Дві матриці називаються рівними, якщо вони мають однакові розміри і всі їх відповідні елементи збігаються.
Додавання матриць. Сумою А+В=С двох матриць А і В, однакових розмірів m n, називається матриця С тих же розмірів, елементи якої дорівнюють сумам відповідних елементів матриць А і В, тобто
(i=1, 2,...,m; j=1, 2,..., n).
Операція знаходження суми матриць називається операцією додавання матриць.
Властивості операції додавання матриць:
1.А +В =В +А (комутативна властивість).
2.(А +В )+С =А + (В +С ) (асоціативна властивість).
Множення |
матриці |
на число. Добутком А=С |
матриці А= aij |
розмірів m n на |
число |
називається матриця С= cij |
тих же розмірів, |
елементи якої одержуються із відповідних елементів матриці А множенням на число , тобто
cij aij (i=1, 2, ..., m; j= 1, 2, ..., n).
Операція знаходження добутку матриці на число називається операцією множення матриці на число.
Властивості множення матриці на число:
1.(А + В )= А + В (дистрибутивна властивість числового множника відносно суми матриць).
2. ( )А= А+ А (дистрибутивна властивість матричного множника відносно суми чисел).
3. ( )А= ( А) (асоціативна властивість).
Різниця А-В двох матриць однакових розмірів визначається рівністю
А-В =А+(-1)В.
8
Множення матриць. Добутком АВ =С матриці А розмірів m n і матриці В розмірів n p називається матриця С розмірів m p, елемент cij якої дорівнює сумі добутків відповідних елементів i-го рядка матриці А і елементів j-го стовпця матриці В, тобто
n
cij aik bkj (i=1, 2, ..., m; j=1, 2, ..., p).
k 1
Операція знаходження добутку матриць А і В називається операцією множення матриць А і В.
Зауваження 1.1. Операція множення двох матриць можлива лише в тому випадку, коли число стовпців в першому співмножнику дорівнює числу рядків в другому.
Властивості операції множення матриць:
1.(АВ )С =А ( ВС ) (асоціативна властивість).
2.А (В + С ) =АВ +АС (дистрибутивна властивість першого множника).
3.( А + В )С = АС + ВС (дистрибутивна властивість другого множника).
Множення матриць в загальному випадку не підлягає комутативній властивості.
Якщо АВ =ВА, то матриці називаються комутативними. Транспонування. Нехай дана матриця
|
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
|
|
|
a22 |
|
|
|
|
|
a21 |
... |
a2n |
|
||
A = . |
. |
. |
. . |
|||
|
|
am2 |
|
|
|
|
|
am1 |
... |
amn |
|
||
Матриця |
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a21 |
... |
am1 |
|
|
|
|
a22 |
|
am2 |
|
|
T |
a12 |
... |
|
|
||
A = . |
. |
. |
. |
|
, |
|
|
|
a2n |
|
|
|
|
|
a1n |
... |
amn |
|
одержана із А заміною рядків на стовпці з збереженням порядку їх слідування, називається транспонованою до А .
Операція заміни матриці А на A Т називається транспонуванням матриці А.
9
Властивості транспонування матриці:
1.(А +В )T =А T+В T.
2.( А )T = А T.
3.(АВ )T=В TА T.
4.(А T)T=А .
Якщо квадратна матриця S збігається зі своєю транспонованою матрицею S T, тобто S =S T, то така матриця називається симетричною. Якщо квадратна матриця К відрізняється знаком від своєї транспонованої матриці К T, тобто К=-К T, то така матриця називається кососиметричною.
Означення 1.2. Цілим додатним степенем А n квадратної матриці А є добуток n матриць, рівних А .
Задача з розв'язком Задача. Знайти f(A), якщо f(x)=x2-x-1,
|
2 |
1 |
1 |
A= |
3 |
1 |
2 . |
|
|
1 |
|
1 |
0 |
Зауваження 1.2. Якщо в многочлені f(x) аргумент x покладають рівним квадратній матриці А, то вільний член a цього многочлена замінюють на матрицю aЕ, де Е - одинична матриця того ж порядку, що і
А .
Розв'язок.
|
|
|
|
2 |
1 1 |
2 1 |
|
1 |
|
2 |
1 1 |
|
|
1 0 |
0 |
|
|||||
f(A)=A2-A-Е |
|
3 |
1 |
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
0 1 |
|
|
||
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 1 |
|
0 |
1 |
0 |
|
0 0 |
1 |
|
|||||||||
|
4 3 1 2 1 1 2 2 0 |
2 1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
6 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 2 |
|
|
|
|
|||
|
2 3 1 2 3 2 0 |
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 3 |
0 1 1 0 1 2 0 |
1 |
|
0 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
8 2 |
4 |
|
|
3 |
|
1 1 |
|
|
5 1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 2 |
5 |
|
|
3 |
|
2 2 |
|
8 0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 |
1 |
1 |
1 1 |
|
2 1 |
2 |
|
|
|
|
|
10
Задачі для розв'язування
В задачах №№ 1-6 обчислити А +В :
|
|
|
|
|
1 |
2 4 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
5 0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 1 |
|
|
|
|
1 |
3 7 |
|
||||||||||||||
1. A= |
2 1 |
5 , B= |
|
2 |
|
1 7 . |
2. A= |
0 |
5 2 , |
B= |
2 |
4 3 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
3 |
0 1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
6 2 |
|
|
|
5 |
6 4 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 0 3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 0 2 |
|
|
|
|
1 1 2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3. A= |
3 |
0 5 |
, B= |
3 |
|
|
4 1 . |
4. A= |
2 |
3 0 , B= |
1 3 |
|
2 . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
1 17 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
6 2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 4 3 |
|
|
|
|
4 |
1 1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
1 3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
5 6 |
|
|
|
|
|
1 |
5 1 |
|
|
|
3 2 |
|
1 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
5. A= 1 2 |
|
3 4 5 , B= 0 |
4 1 0 |
3 . |
|
|
6. A= |
2 |
, B= |
3 |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
В задачах №№ 7-10 знайти лінійні комбінації матриць: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7. 2A+5B, якщо А= |
2 |
|
|
4 |
, В= |
3 |
6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
5 |
|
|
2 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
8. 2А-3В, якщо А= |
0 |
|
1 2 |
, В= |
1 |
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
4 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
9. А- |
1 |
В, якщо А= |
|
5 |
, В= |
|
|
0 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 2 |
|
|
|
|
1 |
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
10. -А+2В, якщо А= |
|
|
|
|
|
|
, В= |
4 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 4 |
2 |
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
В задачах №№ 11, 12 знайти x1 і x2 |
із рівнянь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
11. |
x |
2 |
1 |
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
|
x |
|
|
|
4 |
2 |
|
5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x2 |
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
В задачах №№ 13-21 транспонувати матриці: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 0 |
7 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 4 |
|
5 |
|
|
|
1 |
|
0 0 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
. 14. |
|
3 |
|
4 |
|
|
|
. 15. |
|
6 |
|
7 |
|
8 |
|
9 |
|
. 16. |
|
0 |
|
|
17. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
1 0 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
3 8 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 11 |
|
3 |
|
|
0 |
|
0 1 |
|
|||||||||
|
1 |
|
0 1 |
|
|
|
3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 3 |
4 |
|
|
|
|
1 1 1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
4 |
|
2 |
. 18. |
4 |
|
5 . |
19. |
3 . |
|
20. |
5 |
|
1 |
0 . |
|
21. 1 1 |
1 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
5 3 |
|
|
7 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
3 1 |
1 |
|
|
|
|
1 1 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11
В задачах №№ 22, 23 знайти добутки матриць АВ і ВА:
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
1 |
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 0 |
4 |
|
|
2 1 |
||||||||||
22. A= |
1 |
|
2 |
|
|
4 |
, B= |
|
2 |
4 |
6 |
. |
23. A= |
2 |
3 |
3 |
, B= |
1 |
|
1 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
3 |
6 9 |
|
|
|
|
|
|
1 2 |
1 |
|
3 2 |
|||||||||||||
|
|
|
В задачах №№ 24, 25 обчислити АВ-ВА: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
2 1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
1 1 |
|
|
|
|
|
2 1 |
0 |
|
3 |
|
1 |
|||||||||||||
24. A= |
2 |
|
1 |
2 |
, |
B= |
4 |
2 |
0 . |
25. A= |
|
1 |
|
|
1 |
2 , B= |
3 |
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
|
1 |
|
2 1 |
|
|
|
1 2 |
1 |
3 5 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
В задачах №№ 26-35 обчислити АВ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 1 2 |
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 0 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
26. A= |
, B= |
|
|
|
|
|
|
|
27. A= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
, B= |
|
|
1 |
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 1 |
|
0 |
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
||||||||||||
28. |
A= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, B= |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, B= |
0 |
4 . |
|
|
|
29. A= |
|
|
|
|
2 . |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 |
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
30. |
A= |
|
2 |
|
2 |
|
|
1 |
, B= |
2 |
. |
|
|
31. A= |
|
3 |
|
|
2 1 , |
B= |
1 . |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
4 5 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
32. |
A= |
|
|
, B= |
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
33. A= |
|
4 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
1 . |
|
|
|
|
|
5 |
, B= 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 3 |
|
|
|
2 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
3 |
|
|
1 |
||||||||||||
34. |
A= |
2 |
|
1 |
1 |
, B= |
1 |
|
0 |
|
1 |
. |
35. A= |
2 |
4 |
6 |
, B= |
1 . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
3 1 |
|
|
5 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 6 |
9 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
В задачах №№ 36, 37 знайти добутки матриць: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
36. |
|
4 |
|
3 |
|
|
|
|
93 |
|
7 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
7 |
|
5 38 |
|
|
|
126 2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
2 |
1 |
70 |
|
34 |
|
107 |
27 |
18 |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
37. |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
52 |
|
|
26 |
|
68 |
46 |
31 |
|
|
|
17 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 101 |
|
|
140 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0
0 .
1
2
4 .
1
12
В задачах №№ 38-44 обчислити вирази:
|
|
1 |
2 3 |
|
|
1 |
1 5 |
|
|
2 |
|
1 n |
|
cos |
|
sin |
|
n |
|
1 |
1 n |
||||||
38. |
|
|
|
39. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 42. |
|
|
||||||
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
. 40. |
|
|
|
. 41. |
|
|
cos |
|
|
|
|
. |
||||||
|
3 |
4 |
|
0 |
2 |
|
3 |
|
2 |
sin |
|
|
|
|
0 |
1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
|
0 |
0 |
... |
|
0 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
a |
1 |
|
|
|
|
0 |
|
b2 |
0 |
... |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
43. |
|
|
44. |
|
|
|
|
b3 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
. |
0 |
|
0 |
... |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
a |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
. . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
bn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
45. Довести, що T 2 |
|
ch2 |
sh2 |
, якщо |
T |
ch |
|
sh |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sh2 |
ch2 |
|
|
|
|
sh |
|
ch |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
А=О. |
|
|
|
|
46. Знайти загальний вигляд матриці А, для якої |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||
47. Дано матриці |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
1 0 |
0 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
1 0 |
1 |
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
А= |
, В= |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 2 |
, C= |
0 1 |
2 , D= |
|
2 |
2 |
. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1 2 |
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 0 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знайти добутки AC, ACD, BD, BC, BCDA .
В задачах №№ 48-51 знайти всі матриці, комутативні з кожною із таких матриць:
|
1 |
2 |
|
|
1 1 |
|
|
|
|
1 |
|
0 |
0 |
|
1 |
2 |
||||
49. |
|
50. |
|
0 |
|
1 |
|
|
||||||||||||
48. |
1 |
. |
|
|
|
. |
|
|
|
0 . |
51. |
|
. |
|||||||
|
1 |
|
|
0 1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
4 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|||
52. Обчислити |
17 |
|
6 5 |
, використовуючи рівність |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
35 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
7 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
2 |
|
3 |
2 |
0 |
3 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
35 |
12 |
|
5 |
|
7 0 |
3 5 |
2 |
||||||||
|
В задачах №№ 53-56 знайти f(A): |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53. f(x)= x2 5x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54. |
|||||
, A= |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f(x)=2x2 |
3x 5, A= |
1 |
4 |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13
|
|
2 |
1 |
1 |
55. f(x)= x2 2x 1, A= |
|
3 |
1 |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
0 |
5 2
56. f(x)= x3 7x2 13x 5, A= 1 3
2 2
57. Довести, що матриця
x2 (a d )x ad bc 0 .
31 .1
a |
b |
задовольняє |
рівнянню |
А= |
|
||
c |
d |
|
|
58. Знайти всі матриці другого порядку, квадрат яких |
дорівнює |
нульовій матриці. |
|
59.Довести, що якщо для матриць А і В існують добутки АВ і ВА, причому АВ =ВА, то матриці А і В - квадратні і мають однаковий порядок.
60. Довести, що якщо А - діагональна матриця і всі елементи її головної діагоналі різні, то довільна матриця, комутативна з А, теж діагональна.
1.2. Детермінанти і їх властивості
Розглянемо квадратну матрицю 2-го порядку
a11 |
a12 |
|
А= |
|
|
a21 |
a22 |
Означення 1.3. Детермінантом другого порядку, складеним з елементів цієї матриці А, називається число, що дорівнює a11a22 a12a21 , яке позначається
|A|= a11 a12 a21 a22
Розглянемо квадратну матрицю 3-го порядку
a |
a |
a |
|
11 |
12 |
13 |
|
А= a21 |
a22 |
a23 |
. |
|
a32 |
a33 |
|
a31 |
|
Означення 1.4. Детермінантом 3-го порядку, складеним із елементів цієї матриці А, називається число, що дорівнює
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 |
a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33 , |
(1.2) |
яке позначається
14
a11 a12 a13 |A|= a21 a22 a23 .
a31 a32 a33
Вираз (1.2) складений за таким правилом (правилом трикутника): добуток елементів, розміщених вздовж головної діагоналі і два добутки елементів, що стоять у вершинах двох рівнобедрених трикутників із основами паралельними головній діагоналі і з вершинами в протилежному куті, беруться із знаком плюс. Три добутки, що складені за тим же правилом, але відносно побічної діагоналі, беруться із знаком мінус:
Властивості детермінантів 2-го і 3-го порядку. Властивість 1. Величина детермінанта не зміниться, якщо замінити
кожний його рядок стовпцем із тим же номером, тобто
a11 |
a12 |
a13 |
a11 |
a21 |
a31 |
a21 |
a22 |
a23 |
a12 |
a22 |
a32 . |
a31 |
a32 |
a33 |
a13 |
a23 |
a33 |
Властивість 2. Перестановка двох рядків (стовпців) детермінанта рівносильна множенню його на (-1).
Наприклад,
a11 |
a12 |
a13 |
a11 |
a12 |
a13 |
a21 |
a22 |
a23 |
a31 |
a32 |
a33 . |
a31 |
a32 |
a33 |
a21 |
a22 |
a23 |
Властивість 3. Детермінант, який має два однакових рядки (стовпці), дорівнює нулю.
Властивість 4. Множення всіх елементів одного стовпця (рядка) детермінанта на довільне число k рівносильне множенню детермінанта на це число.
Наприклад,
ka11 |
a12 |
a13 |
a11 |
a12 |
a13 |
ka21 |
a22 |
a23 |
k a21 |
a22 |
a23 . |
ka31 |
a32 |
a33 |
a31 |
a32 |
a33 |
Наслідок 1. Якщо всі елементи якогось рядка (стовпця) рівні нулю, то і детермінант дорівнює нулю.
15
Наслідок 2. Детермінант, в якому відповідні елементи двох рядків (стовпців) пропорційні, дорівнює нулю.
Властивість 5. Якщо кожний елемент i-го рядка (i-го стовпця, де i=1,2,3) є сума двох доданків, то детермінант дорівнює сумі двох детермінантів, у першого з яких i-й рядок (i-й стовпець) складається з перших доданків, а у другого - з других; інші елементи усіх трьох детермінантів однакові.
Наприклад,
a a |
a a |
a a |
a |
a |
a |
a |
a |
a |
|||
11 |
11 |
12 |
12 |
13 |
13 |
11 |
12 |
13 |
11 |
12 |
13 |
a21 |
|
|
a22 |
a23 |
|
a21 |
a22 |
a23 |
a21 |
a22 |
a23 . |
a31 |
|
|
a32 |
a33 |
|
a31 |
a32 |
a33 |
a31 |
a32 |
a33 |
Наслідок. Величина детермінанта не зміниться, якщо до елементів будь-якого рядка (стовпця) додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на один і той же множник.
Подальші властивості детермінантів зв'язані з поняттям мінора і алгебраїчного доповнення елементів детермінанта.
Означення 1.5. Мінором елемента aij називається детермінант, порядок якого на одиницю менший порядку даного детермінанта, утворений з даного детермінанта викреслюванням i-го рядка і j-го стовпця, на перетині яких розміщений елемент aij. Мінор елемента aij позначається через ij .
Означення 1.6. Алгебраїчним |
доповненням Аij |
елемента aij |
|||
називається добуток мінора ij |
на величину ( 1)i j , тобто |
|
|||
|
A =( 1)i j |
ij |
. |
|
|
|
ij |
|
|
|
Bластивість 6. Детермінант дорівнює сумі добутків елементів рядка (стовпця) на їхні алгебраїчні доповнення.
Наприклад,
a11 a12 a13
a21 a22 a23 =a11A11+a12A12+a13A13.
a31 a32 a33
Властивість 7. Сума добутків елементів довільного рядка (стовпця) на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю.
Наприклад. В детермінанті 3-го порядку
a11A21+a12A22+a13A23=0.
Зауваження 1.3. Розглянемо n цілих чисел 1, 2 , 3, ..., n. Їх можна розмістити в різному порядку. Всілякі розміщення цих чисел називаються перестановками. Перестановка (1, 2, 3, ..., n), в якій числа розміщені в порядку зростання, називається натуральною.
16