логар.уравн
.pdfООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10
Учебный центр «Резольвента»
Кандидат физико-математических наук, доцент
С. С. САМАРОВА
РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Учебно-методическое пособие для подготовки к ЕГЭ по математике
© С. С. Самарова, 2010 © ООО «Резольвента», 2010
Пример 1. Решить уравнение
log2 (x +1) + log2 x =1.
Решение.
log2 (x +1) + log2 x =1 log2 x (x +1) =1 x (x +1) = 2 x2 + x − 2 = 0
x1,2 = −1 ± 1 +8 = −1 ± 3 x1 = −2, x2 =1. 2 2
Поскольку под знаком логарифма не может быть отрицательного числа, то слу-
чай x1 = −2 должен быть отброшен.
Простая проверка показывает, что значение x2 =1 удовлетворяет исходному уравнению.
Ответ: 1.
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 1
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10
Пример 2. Решить уравнение
logx−1 9 = 2
Решение.
logx−1 9 = 2 (x −1)2 = 9 (x −1)1 = −3, (x −1)2 = 3.
Поскольку основание логарифмов не может быть отрицательным числом, то первый случай должен быть отброшен. Далее получаем:
x −1 = 3 x = 3 .
Простая проверка показывает, что число x = 3 является корнем исходного урав-
нения.
Ответ: 3.
Пример 3. Решить уравнение
log1 (x −3)+ log3 3x +1 = 0
3
Решение.
log1 (x −3)+ log3 3x +1 = 0 −log3 (x −3) + log3 3x +1 = 0
3 |
|
log3 3x +1 = log3 (x −3) 3x +1 = x −3 3x +1 = (x −3)2 |
|
3x +1 = x2 − 6x + 9 x2 −9x +8 = 0 x =1, x = 8. |
|
1 |
2 |
Число x1 =1 не входит в область определения уравнения, поскольку в этом слу-
чае число x −3 , стоящее под знаком логарифма, будет отрицательным.
|
Простая |
проверка |
показывает, что |
число x = 8 |
является корнем исходного |
||||||||||||||||||
уравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Ответ: 8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Решить уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Пример 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
logx 10 + logx4 100 = 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
log |
|
10 + log |
4 100 = 6 log |
|
10 + |
2 |
log |
|
10 = 6 log |
|
10 + |
1 |
log |
|
10 = 6 |
|||||||
|
x |
x |
|
x |
x |
|
x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 logx 10 = 6 logx 10 = 4 x4 =10 x1 = − 410, x2 = 410. 2
ООО«Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 2
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10
Поскольку основание логарифмов не может быть отрицательным числом, то первый случай должен быть отброшен.
Простая проверка показывает, что число x = 410 является корнем исходного уравнения.
Ответ: 410.
Пример 5. Решить уравнение
log4 (x +12)× logx 2 =1
Решение.
log4 (x +12)× logx 2 =1 log22 |
(x +12)× |
1 |
=1 |
1 |
× |
log2 |
(x +12) |
=1 |
|
|
log2 x |
2 |
log2 x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
log2 (x +12) = 2 logx (x +12)= 2 x2 = x +12 x2 - x -12 = 0 log2 x
(x - 4)(x + 3)= 0 x1 = -3, x2 = 4.
Поскольку основание логарифмов не может быть отрицательным числом, то
первый случай должен быть отброшен.
Простая проверка показывает, что число x = 4 является корнем исходного урав-
нения.
Ответ: 4.
Пример 6. Решить уравнение
log3 |
|
+ |
3 |
= logx |
1 |
|
. |
|
x |
||||||||
|
3 |
|||||||
|
2 |
|
|
Решение.
|
|
|
3 |
|
1 |
|
1 |
|
|
3 |
|
1 |
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
log3 |
x + |
|
= logx |
|
|
|
|
log3 |
x + |
|
= -logx 3 |
|
log3 |
x + |
|
= - |
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
2 |
2 |
log3 x |
|||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
log3 x + |
3 = - |
2 |
|
log3 x + 3 + |
2 |
|
|
= 0 |
|
(log3 x)2 + 3log3 x + 2 |
= 0 |
|
||||||||||||
log3 x |
log3 x |
|
|
|
log3 x |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(log |
3 |
x)2 + 3log |
3 |
x + 2 = 0, log |
3 |
x ¹ 0 (log |
3 |
x) |
= -2, (log |
3 |
x) |
= -1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x = 3−2 |
= |
1 |
, x = 3−1 |
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
9 |
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку область определения уравнения имеет вид:
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 3
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10
x > 0, x ¹ 1,
то оба найденных значения в неё входят, и, следовательно, являются корнями ис-
ходного уравнения.
Ответ: 1 ; 1 .
9 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решить уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Пример 7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
log6 x2 - logx |
1 |
= 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
log6 x2 - logx |
1 |
= 3 2log6 x + logx 6 = 3 2log6 x + |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
= 3 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
log |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2log |
6 x + |
|
1 |
- 3 |
= 0 |
2(log6 x)2 - 3log6 |
x +1 |
= 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
log6 x |
|
|
|
|
|
|
log6 x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
3 ± |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2(log |
|
x)2 |
- 3log |
|
x +1 = 0, log |
|
x ¹ 0 (log |
|
x) |
|
|
|
9 - 8 |
|||||||||||||||||||||||||
6 |
6 |
6 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(log |
|
x) |
= |
3 ±1 |
(log |
|
x) = |
1 |
, (log |
|
x) |
=1 x = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
6 |
6 |
6 |
|
|
6, x = 6. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1,2 |
4 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверка показывает, что оба найденных значения являются корнями исходно-
го уравнения.
Ответ: 6; 6.
Пример 8. Решить уравнение
lg (19 + 2 ×10x )=1 - x .
Решение.
lg (19 + 2 ×10x )=1 - x Û 19 + 2 ×10x =101−x Û 19 + 2 ×10x = |
10 |
|
Û |
|||||||||
10x |
||||||||||||
|
= -19 ± |
|
|
|
|
= -19 ± 21 Û |
||||||
Û 2 ×(10x )2 +19 ×10x -10 = 0 Û (10x ) |
361 + 80 |
|||||||||||
1,2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Û (10x ) = -10, (10x ) |
= |
2 |
|
= |
1 |
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
2 |
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение
10x = -10
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 4
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
решений не имеет.
Решением уравнения
10x = 1
2
|
|
1 |
|
|
|
является число |
x = lg |
|
|
= -lg 2. |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
Ответ: −lg 2.
Пример 9. Решить уравнение
log7 (9x - 25)= 3 log2 7
Решение.
resolventa@list.ru, (495) 509-28-10
+ log7 (3x + 5).
log7 (9x - 25)= |
3 |
|
+ log7 (3x + 5)Û log7 (9x |
- 25)= 3log7 2 + log7 (3x + 5)Û |
|||||||||||
log |
2 |
7 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Û log7 (9x - 25)= log7 8 + log7 (3x + 5) |
Û log7 |
(9x - 25) |
= log7 8 ×(3x + 5) Û |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
= |
8 ± |
|
|
= |
|||||||
Û 9x - 25 = 8 ×(3x + 5)Û (3x )2 - 8 ×3x - 65 = |
0 Û (3x ) |
64 + 260 |
|||||||||||||
|
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
= |
8 ±18 |
Û |
(3x ) |
= -5, (3x ) =13. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение
3x = -5
решений не имеет.
Решением уравнения
3x =13
является число x = log3 13.
Ответ: log3 13.
Пример 10. Решить уравнение
|
x -1 |
|
|
x - 2 |
|
||
1 + log7 |
|
|
= log 1 |
|
|
. |
|
|
|
||||||
|
3x - 6 |
|
|
|
7 |
|
|
7 |
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 5
ООО «Резольвента», |
|
www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, |
|
(495) 509-28-10 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x -1 |
|
|
|
|
x - 2 |
|
|
|
x -1 |
|
|
|
|
|
|
|
x - 2 |
|||||||||||||||||
|
1 + log7 |
|
|
|
|
= log 1 |
|
|
|
|
|
Û 1 + log7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= -log |
7 |
|
|
Û |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3x - |
6 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
3(x |
- 2) |
|
|
|
|
7 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x -1 |
|
|
|
|
= -log7 (x - 2)+ log7 7 Û log7 |
|
x -1 |
|
|
|
|
7 (x - 2)Û |
|||||||||||||||||||||||
Û 1 + log7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= -log |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
3(x - 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3(x |
- 2) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
x -1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
x -1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
x -1 |
|
3 |
|
|
|||||||||||||
|
Û log7 |
|
|
|
|
|
|
|
= log7 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3(x - 2) |
x - |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3(x - 2) |
|
|
|
x - 2 |
|
|
|
|
x - 2 x - |
|
x - 4 = 0 x = 4. x - 2
Проверка показывает, что число x = 4 является корнем исходного уравнения.
Ответ: 4.
Пример 11. Решить уравнение
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + log6 |
|
- |
|
|
|
= log |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
1 + log6 |
|
- |
|
|
|
= log 1 |
|
|
|
|
|
Û log |
6 6 + log |
6 |
|
|
- |
|
|
= -log |
6 |
|
|
|
|
|
Û |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
3 - x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
3 |
- x |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 - x |
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 - x |
|
|
|
|
|
3 - x |
|
|||||||||||||||||
Û log6 6 |
× |
|
|
- |
|
|
|
= log |
6 |
|
|
|
|
|
|
6 × |
|
|
- |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
2x |
-1 = |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
x +1 |
x + |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2x -1)(x +1)- (3 - x) = 0 |
2x2 - x + 2x -1 - 3 + x |
= 0 |
2x2 + 2x - 4 |
= 0 |
|||
|
|
||||||
x +1 |
|
x +1 |
|
x +1 |
|||
|
x2 + x - 2 |
= 0 (x + 2)(x -1) = 0 x = -2, x =1. |
|||||
|
|||||||
|
x +1 |
x +1 |
1 |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
В случае x = −2 выражения, стоящие под знаком логарифмов, становятся отри-
цательными, поэтому это значение должно быть отброшено.
Простая проверка показывает, что число x =1 является корнем исходного урав-
нения.
Ответ: 1.
Пример 12. Решить уравнение
2log4 x x3 = 5log2 x x .
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 6
ООО «Резольвента», |
www.resolventa.ru , |
resolventa@list.ru, |
(495) 509-28-10 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2log4 x x |
3 |
= 5log2 x x |
6log4 x x - 5log2 x x = 0 |
6log2 x |
- |
|
5log2 x |
= 0 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
log2 |
(4x) |
log2 (2x) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|||
|
|
log2 x × |
|
|
- |
|
|
= 0 |
log2 |
x = 0 |
|
|
|
- |
|
|
= 0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
log2 ( |
4x) |
log2 (2x) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
log2 (4x) |
|
|
log2 (2x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Решением уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
log2 x = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
является число x =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Остаётся решить второе уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
6 |
|
- |
|
5 |
|
= |
0 |
6 |
|
= |
5 |
|
|
6log2 (2x)= 5log2 (4x) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
log2 (4x) |
log2 |
(2x) |
|
log2 |
(4x) |
log2 |
(2x) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6(log2 2 + log2 x)= 5(log2 4 + log2 x) 6(1 + log2 x)= 5(2 + log2 x)
6 + 6log2 x =10 + 5log2 x log2 x = 4 x =16.
Проверка показывает, что оба найденных значения являются корнями исходно-
го уравнения.
Ответ: 1;16.
Пример 13. Решить уравнение
log x (5x) × log5 x = -2
Решение.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2log5 |
(5x) |
|
|
|
||
log |
|
(5x)× log5 x = -2 Û 2logx (5x)× log5 x = -2 Û |
|
× log5 |
x = -2 Û |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x |
log5 x |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× log5 x = -2 |
|
||||||||
|
|
Û |
|
2log5 5 + 2log5 x |
|
× log5 x = -2 Û |
2 + 2log5 x |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
log5 x |
log5 x |
|
|
|
|
Совершим теперь в полученном уравнении замену переменного
log5 x = y
и заметим, что выполняется неравенство
y < 0 .
Врезультате уравнение
ООО«Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 7
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10
2 + 2log x × = -
log5 x
5 log5 x 2
примет вид:
2 + 2 y × y = -2 2 + 2 y × y2 = 4 2 y2 + 2 y - 4 = 0 y2 + y - 2 = 0
y |
y |
|
|
|
|
|||
|
-1 ± |
|
|
= |
-1 ± 3 |
y = -2, y |
|
|
y = |
1 + 8 |
|
=1. |
|||||
|
|
|
|
2 |
||||
1,2 |
2 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Всилу того, что y < 0 , второй случай должен быть отброшен.
Впервом случае получаем:
log5 x = -2 x = 1 . 25
Проверка показывает, что найденное значение удовлетворяет исходному урав-
нению.
Ответ: 1 . 25
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Решить уравнения:
1. |
log3 |
x + log3 |
|
2x + |
1 |
|
|
= -1 |
||||
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. |
log5 |
x + log5 |
|
|
+ |
4 |
= -1 |
|||||
x |
|
|
|
|||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
3.log2 x + log2 (x + 2)= 3
4.logx+1 4 = 2
5.logx−2 25 = 2
6.logx+2 16 = 2
7.2log9 (3x -1)= log3 x + 3
8.3log8 (x - 2) = log2 2x -1
ООО«Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 8
ООО «Резольвента», |
|
www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
||||
9. |
log 1 |
1 − |
|
+ log2 |
2 |
− |
|
|
|
|
|
= 0 |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||
10. |
logx 12 − logx3 27 = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
11. |
log2 x (1 − x)= 2 − log4 x |
|
1 |
|
||||||||||
2 |
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
12.logx 7 + logx4 49 = 3
13.2logx2 (4 + x)+ logx 2 = 2
14.log 3 x 2 − logx 18 = 2
15.2logx2 (3 + x) = 2 + logx 2
16. log1 |
|
1 |
|
− logx 5 |
=1 |
||
|
|
|
|
||||
|
2 |
||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
17. |
4log 1 |
|
x = 4 − logx 64 |
||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
||||||||
18. |
2logx |
|
|
+ log7 |
|
|
|
= −3 |
|||||||
7 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||||
19. |
−logx 64 − 6log8 |
|
|
|
= 7 |
||||||||||
|
x |
||||||||||||||
20. |
log |
|
x2 + 5 = log |
|
|
1 |
|
|
|||||||
9 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x 81 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
21. log2 x − logx 4 = 3 2
22. log3 (11 + 4 ×3−x )=1 + x
23. |
log2 |
(25x -16) |
= |
1 |
|
|
+ log2 (5x + 4) |
||||
log |
7 |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
24. |
log5 |
(14 + 24 ×5x )=1 - x |
|
||||||||
25. |
log5 |
(49x -1)- |
1 = |
|
1 |
|
+ log5 (7x +1) |
||||
|
|
|
|||||||||
log |
2 |
5 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26.log7 (13 + 2 × 7−x )=1 + x
27.lg (4x - 9)- lg 5 = lg (2x + 3)+ lg 2
ООО«Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 9
ООО «Резольвента», |
www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
25 (2x + 4) |
||||||
28. |
2log5 x - log5 |
x - |
|
= 2log |
|||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
(1 - x)-1 |
|
|
|||||||
29. |
log 1 |
|
- |
|
|
= lg |
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
30. |
log3 (x +1)+ log3 (x - 3)= |
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||
log5 3 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
31. |
1 + log |
|
4 - x |
= log5 (1 - x) |
|
|
|||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
32. |
log3 (-4 + x)= 2log3 4 + log1 (2 + x) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
33.log2 (x -1)+ log2 (4 - x) =1 + 3log8 (3x - 5)
34.3log3 x x = 2log9 x x2
35.1 + logx (3 - x) = log7 4 × logx 7
36.(log9 (7 - x)+1)× log3−x 3 =1
37.1 + logx (4 - x) = log5 3 × logx 5
38.(log4 (2x + 9)+1)× logx+2 2 =1
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 10