- •1 Дифференциальные уравнения первого порядка
- •1.1 Основные понятия и определения
- •1.2 Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными
- •1.3 Упражнения
- •1.4 Однородные уравнения
- •1.5 Упражнения
- •1.7 Упражнения
- •2 Дифференциальные уравнения высших порядков
- •2.1 Основные понятия и определения
- •2.2 Уравнения, допускающие понижение порядка
- •2.3 Упражнения
- •2.4 Линейные однородные уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами
- •2.5 Упражнения
- •2.6 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •2.7 Упражнения
- •2.8 Линейные неоднородные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами и специальной правой частью
- •2.9 Упражнения
- •3 Индивидуальные задания
ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра «Высшая математика»
В Ы С Ш А Я М А Т Е М А Т И К А
Методические указания к практическим занятиям по теме «Дифференциальные уравнения»
для студентов всех специальностей дневной и заочной форм обучения
Могилев 2010
2
УДК 517
ББК 22.1я73 В 93
Рекомендовано к опубликованию учебно-методическим управлением
ГУ ВПО «Белорусско-Российский университет»
Одобрено кафедрой «Высшая математика» «25» февраля 2010 г., протокол№5
Составители: Е. Г. Галуза; М. Н. Зубова; Н. М. Карпович; В. В. Пугин
Рецензент канд. техн. наук, доц. Д. М. Макаревич
В методических указаниях изложен материал по теме «Дифференциальные уравнения», который могут использовать студенты всех специальностей как дневной, так и заочной форм обучения при самостоятельной работе, а также преподаватели для проведения практических занятий.
Учебное издание
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Ответственный за выпуск |
Л. В. Плетнёв |
Технический редактор |
А. Т. Червинская |
Компьютерная верстка |
Н. П. Полевничая |
Подписано в печать 15.10.2010 . Формат 60×84/16. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Печать трафаретная. Усл.-печ. л. 2,09 . Уч.-изд. л. 2,0 . Тираж 165 экз. Заказ № 727.
Издатель и полиграфическое исполнение Государственное учреждение высшего профессионального образования
«Белорусско-Российский университет» ЛИ № 02330/375 от 29.06.2004 г. 212000, г. Могилев, пр. Мира, 43
© ГУ ВПО «Белорусско-Российский университет», 2010
3
1 Дифференциальные уравнения первого порядка
1.1 Основные понятия и определения
Дифференциальным уравнением (ДУ) называется соотношение, свя-
зывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные или дифференциалы.
ДУ называется обыкновенным (ОДУ), если неизвестная функция, входящая в уравнение, зависит только от одной независимой переменной.
Порядком ДУ называется порядок входящей в уравнение старшей производной (или дифференциала) неизвестной функции.
ОДУ первого порядка в общем виде записывают равенством |
|
F x; y; y 0. |
(1.1) |
Уравнение (1.1), разрешенное относительно производной, называют |
|
ДУ в нормальной форме. Его записывают в виде |
|
y f x, y , |
(1.2) |
где функция f x, y задана в некоторой области D плоскости xOy . |
|
Уравнение |
|
M x, y dx N x, y dy 0 |
(1.3) |
называется дифференциальным уравнением первого порядка в дифференциальной форме.
Решением уравнения (частным решением) (1.1) ((1.2)) или (1.3) назы-
вается функция |
|
y x , |
(1.4) |
определенная на некотором промежутке действительной оси и дифференцируемая на этом промежутке, подстановка которой в это уравнение обращает его в тождество.
Решение ДУ, заданное неявно соотношением
x, y 0 , |
(1.5) |
называется интегралом этого уравнения.
График решения ДУ называется интегральной кривой ДУ. Решение (1.4) ((1.5)) дифференциального уравнения (1.1) ((1.2)) или
(1.3), удовлетворяющее условию y x0 y0 , называется частным реше-
нием (или частным интегралом) ДУ, удовлетворяющим начальному условию.
Численный параметр, принимающий произвольные значения из множества R, обозначим C . Функция y x,C , зависящая от x и постоян-
4
ной C , называется общим решением уравнения (1.1) ((1.2)) или (1.3) в некоторой области , если оно является решением этого уравнения (при любом значении постоянной C из некоторого множества) и если любое решение уравнения в области при наличии начальных данных x x0 ,
y y0 (начального условия y x0 y0 , или точки x0 , y0 ) может быть за-
писано в виде y x,C0 , где C0 C x0 , y0 .
Равенство x, y,C 0 , неявно задающее общее решение ДУ, назы-
вается общим интегралом ДУ в области .
Решение ДУ, которое не может быть получено из общего решения ни при каком значении C R, называют его особым решением.
Процесс нахождения решения ДУ называется интегрированием уравнения.
Основная задача интегрирования ДУ состоит в нахождении всех решений ДУ и изучении их свойств.
Другой очень важной задачей теории ДУ и её приложений является задача нахождения решений ДУ, удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям. Дополнительные условия называются начальными, если они относятся к одному значению аргумента, и граничными – в против-
ном случае. Задача отыскания решения y x ДУ y f x, y , удовлетворяющего начальному условию y x0 y0 , называется задачей Коши.
Известно из теоремы Коши, что если f x, y непрерывна в окрестно-
сти точки x0 , y0 D , |
то решение задачи Коши существует, а если и |
fy x, y непрерывна в |
окрестности точки x0 , y0 D , то такое решение |
задачи Коши будет единственным.
С точки зрения геометрии задать уравнение y f x, y – значит за-
дать поле направлений в области D (в каждой точке области D направление касательной к интегральной кривой ДУ). Найти решение этого уравнения ― значит найти кривую, касательная к которой в каждой её точке совпала бы с направлением поля в этой точке.
Пример 1. Проверить подстановкой, что функция |
|
y Cex |
(1.6) |
является решением ДУ |
|
y y 0 |
(1.7) |
при любом значении C . Найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию y 1 1.
5
Решение
Подставляя функцию (1.6) в уравнение (1.7), получаем при любом C y y Cex Cex 0, т. е. функция (1.6) является решением ДУ (1.7). Под-
ставив |
y 1, |
x 1 в |
решение |
y Cex , находим |
C C 1; 1 : |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 C e, |
C 1 |
e |
. |
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, |
y ex |
e |
, или y ex 1 |
― частное решение ДУ (1.6), |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
удовлетворяющее заданному начальному условию. |
|
|
|||||||||
Пример 2. Показать, что соотношение |
x2 xy y2 C |
является об- |
|||||||||
щим интегралом ДУ |
x 2 y y 2x y . |
|
|
|
|||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Продифференцируем данное соотношение по x : |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2x y xy 2 yy 0 |
C . |
|
|
|||
Откуда |
2x y x 2 y y . Получили |
данное |
дифференциальное |
||||||||
уравнение. |
Следовательно, |
x2 xy y2 |
C |
является |
общим интегралом |
||||||
ДУ x 2 y y 2x y . |
|
|
|
|
|
|
1.2 Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными
ДУ 1-го порядка с разделенными переменными – это ДУ в диффе-
ренциальной форме |
|
f x dx y dy 0 , |
(1.8) |
где при dx стоит функция, зависящая только от x , а при dy — функция, зависящая только от y y x .
Общий интеграл ДУ (1.8) записывается в виде
f x dx y dy C ,
где C – произвольная постоянная.
ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными – уравнение вида
|
|
|
|
|
|
|
f1 x 1 y dx f2 |
x 2 |
y dy 0 . |
(1.9) |
|
|
|
|
Если |
1 y f2 x 0 , |
то, разделив |
обе части уравнения (1.9) на |
|||||
1 y f2 x , |
получим |
уравнение |
с |
разделенными |
переменными |
||||||
|
f1 |
x |
2 |
y |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
dx |
|
|
dy 0 . |
|
|
|
|
|
f |
2 |
x |
|
y |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
6
Следовательно, общий интеграл последнего уравнения, а значит и уравнения (1.9), записывается в виде
|
f1 |
x |
2 |
y |
|
|||
|
|
|
|
dx |
|
|
dy C . |
(1.10) |
f |
2 |
x |
|
y |
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
||
Если же f2 x 0 |
при некотором x или 1 y 0 при некотором |
y , то уравнение (1.9), наряду с общим интегралом (1.10), имеет также решения x или y . Если эти решения не могут быть получены из
(1.10) при каком-то значении C , то они будут называться особыми решениями; в противном случае они представляют собой частные решения при некоторых значениях C .
|
|
К уравнению с разделенными переменными сводится уравнение вида |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
f x y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.11) |
||
|
|
Действительно, разделив (1.11) на y |
(предполагая y 0 ) и ум- |
||||||||||||||||||||||||
ножив на |
dx , |
получим уравнение |
с |
|
|
|
разделёнными |
переменными |
|||||||||||||||||||
|
|
dy |
f x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
dy |
Интегрируя |
последнее |
уравнение, |
|
|
получим |
общий |
интеграл |
|||||||||||||||||
|
|
|
f |
x dx C |
уравнения (1.11). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Пример 3. Найти общий интеграл и частное решение ДУ, удовлетво- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y 0 1. |
|
|||
ряющее начальному условию, если 1 e |
|
|
yy |
e |
, |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex |
|
|
|
|
||||
|
|
Разделяя переменные в ДУ, получим |
|
ydy |
|
|
dx . |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
1 ex |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Проинтегрировав, найдем общий интеграл y2 |
2 ln 1 ex C данно- |
||||||||||||||||||||||||
го уравнения на всей плоскости xOy . Так как 1 ex |
0 |
x , то особых |
|||||||||||||||||||||||||
решений уравнение не имеет. Полагая в общем интеграле x 0, |
y 1, на- |
||||||||||||||||||||||||||
ходим C 1 |
ln 2 ln |
e |
. Подставляя найденное значение C в общий ин- |
||||||||||||||||||||||||
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
теграл, получим для ДУ частный интеграл |
|
|
|
ln 1 ex ln |
или ча- |
||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||
стное решение y 2ln |
|
e ex |
e |
ДУ, |
удовлетворяющее начальному ус- |
||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
ловию y 0 1.
Пример 4. Найти общий интеграл уравнения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy2 y2 dx x2 x2 y dy 0 . |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
y2 x 1 dx x2 1 y dy 0 . |
||||||||||||||
|
|
|
|
Преобразуем левую часть уравнения: |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
Разделив уравнение на x2 y2 |
0 , имеем |
|
x 1 |
dx |
|
1 y |
dy 0. |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
y2 |
|||
|
|
|
|
Проинтегрировав, получим: |
|
x 1 |
dx |
1 y |
dy |
C , |
|||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
||||||||||||||||
ln |
|
x |
|
1 |
1 |
ln |
|
y |
|
C – общий интеграл данного ДУ. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 |
0 . Если же x2 y2 0 , то |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
Разделяя переменные, мы делим на |
|||||||||||||||||||
имеем x 0, y 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Непосредственной проверкой убеждаемся, что x 0 и y 0 являются решениями данного ДУ. Но они не получаются из общего интеграла ни
при каком значении C . Значит, |
x 0 |
|
и |
y 0―особые решения данного |
|||||||||||||
уравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пример 5. Найти общий интеграл ДУ и частное решение, удовлетво- |
||||||||||||||||
ряющее начальному условию, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
xydx 1 y2 |
1 x2 dy 0, |
|
y |
8 1. |
|||||||||
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Делим обе части уравнения на y |
|
1 x2 . Получим |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
1 |
y2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
y |
dy |
0 . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Интегрируя, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
dx |
1 y2 |
dy C |
, 1 x2 |
|
y2 |
ln |
|
y |
|
C – общий интеграл ДУ. |
||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|||||||||||||||
1 x |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Решим |
вопрос |
об |
особых |
решениях. |
Для этого рассмотрим |
|||||||||||
y |
1 x2 0 . |
Откуда y 0, |
1 x2 0 . Проверкой убеждаемся, что y 0 – |
решение данного уравнения, которое не получается из общего интеграла ни при каком значении C . Следовательно, y 0 ― особое решение данно-
го уравнения. Уравнение 1 x2 0 действительных корней не имеет.