Методические указания по математическому анализу (часть 2)
Пример 1 Дана функция двух переменных . Найти все частные производные первого и второго порядков.
Решение : Частные производные от функции нескольких переменных по одной из переменных находятся в предположении, что другие переменные являются постоянными величинами. Таким образом, функция нескольких переменных становится обычной функцией одной переменной, к которой применяются все известные правила дифференцирования функции одной переменной.
Требуется найти Положим
Находим производную функции по переменной :
Полагая , находим первую производную функции
по переменной y:
Теперь найдем производные второго порядка. Возьмем первую производную по , считая постоянным, продифференцируем еще раз по .
Получим . Если, считая x постоянным, мы продифференцируем ещё раз, но уже по y, то получим
.
Теперь возьмем первую производную по и считая x постоянным, продифференцируем еще раз по y. Мы получим
.
Если мы, взяв , и считая y постоянным, продифференцируем еще раз, но по переменной x получим
.
Обратим внимание, что ; это равенство справедливо при условии непрерывности данных производных.
Пример 2. Даны функции и точка М(1,02;2,05). С помощью полного дифференциала вычислить приближенное значение функции в точке М и оценить относительную погрешность.
Решение: Приближенное значение некоторой функции f(x,y) в точке (x,y) с помощью полного дифференциала находится по формуле (*)
,
где , значение функции f(x,y) в точке .
Точка подбирается таким образом, чтобы легко вычислялось; , приращение функции f(x,y) в точке по переменным x и y соответственно.
В качестве точки возьмем точку N(1,2), так как значение x и y в точке N целые и точка N близка к данной точке M.
Тогда
в точке
в точке
Вычислим точное значение
Итак, принимая вместо точного значения 3,9979 значение , мы допускаем абсолютную погрешность или относительную погрешность
Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в ограниченной замкнутой области D:
Решение: Точка являются точкой экстремума (максимума или минимума) функции z=f(x,y), если значение функции в этой точке соответственно больше или меньше значений, принимаемых ее в некоторой окрестности точки , то есть при всех x и y достаточно близких к и . Точка P, координаты которой обращают в нуль обе частные производные функции f(x,y) называются стационарной точкой этой функции.
-
Найдем стационарные точки функции z(x,y)
Стационарная точка y функции z одна. Это точка 0.
-
Входит ли точка (0,0) в область D? Построим эту область.
- - парабола с вершиной в точке (0,-4). Точки пересечения с осью x: , ,
- y=0 – ось x.
Точка (0,0) входит в область D. Установим, является ли стационарная точка 0 точкой экстремума. Это делается так: Пусть стационарная точка функции z=f(x,y). Вычислим в этой точке
. .
Если , то функция f(x,y) имеет в точке экстремум:
max-при A<0 и min при A>0.
Если , то точка не является точкой экстремума.
Если , то требуется дополнительное исследование.
Исследуем нашу функцию z по формулам.
3.
, точка (0,0) не является точкой экстремума.
4. Исследуем поведение функции на границе.
Так как Z не имеет ни max ни min, ее наибольшим и наименьшем значением является наибольшее и наименьшее из значений, принимаемых на границе.
Для того, чтобы найти наибольшее или наименьшее из значений, принимаемых на границе.
4а. Рассмотрим верхнюю границу y=1. На ней функция Z(x,1) превращается в
, в этой точке возможен экстремум. Знак производной меняется с – на +, то есть в точке - минимум z =-2.25
при
В точке
4б. Рассмотрим нижнюю границу
В точке производная меняет знак с - на +, следовательно, это точка минимума
В точке производная меняет знак с + на -, следовательно, это точка максимума . При функция z уже вычислялось. Видим, что от функция убывает до , затем возрастает до а затем убывает до .
То есть наименьшее значение для всей границы , а наибольшее
Ответ: Наибольшее значение функции z в замкнутой области D , наименьшее .
Пример 4. Даны функция трех переменных , вектор и точка .
Найти: 1) Grad u в точке M0;
2) производную в точке M0 по направлению вектора ;
Решение:
1) Вектором градиентом функции трех переменных u(x,y,z) является вектор grad (или в случае двух переменных)
Найдем частные произведения функции u:
Из определения градиента следует, что эти частные производные являются проекциями вектора-градиента на оси координат. Вычислим значения частных производных в точке Mo.
Следовательно вектор-градиент в точке M0 имеет вид:
2) Производная по направлению вектора вычисляется по формуле , то есть равна скалярному произведению вектора градиента на единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором .
Так как , то его длина и, следовательно, единичный вектор, совпадающий по направлению с , , используя формулу скалярного произведения в координатной форме , получим
Итак производная функции u по направлению вектора равна .
Пример 5. Докажем сходимость ряда . Для этого ряда имеем , . Значит,
Так как , то ряд сходится.
Пример 6
Исследовать сходимость ряда (А):
Решение. Для ряда (А*), составленного из абсолютных величин рассматриваемого ряда, общий член . Применяем к ряду (А*) признак Даламбера:
.
Ряд (А) сходится абсолютно.
Пример 7. Определить область (абсолютной и условной) сходимости функционального ряда: .
Решение. При каждом значении имеем обычный числовой ряд. Применяем к нему признак Даламбера, как это делалось при исследовании абсолютной сходимости. Вводим величину:
.
Отыскиваем предел
.
Для тех значений , при которых , рассматриваемый ряд сходится абсолютно. Для значений , при которых , исследуемый ряд расходится, (общий член не стремится к нулю). Точки, для которых , подлежат специальному рассмотрению, так же как и точки, для которых нельзя было составить величину . В данном примере это точки . Сразу отметим, что при ряд состоит из одних нулей и, очевидно, является абсолютно сходящимся, а при ряд не определен. Решим неравенство .
Это неравенство равносильно следующему: . Но - расстояние от точки до точки , а - расстояние от точки до . Так как начало координат равноудалено от точек А и В, то неравенство |МА| < |МВ| выполняется, если точка М лежит на положительной полуоси, т.е. если . При имеем , и потому а поэтому ряд расходится.
При имеем , и потому эту точку рассматриваем отдельно. Получаем ряд: , который сходится условно.
Итак, областью сходимости ряда является числовой луч: [0; ). При: исследуемый ряд сходится условно, а в остальных точках луча: [0; ) - абсолютно.
Для отыскания области сходимости этого ряда можно было применить признак Коши (радикальный). В этом случае вводится последовательность и отыскивается предел (если он существует). Далее решается неравенство . На множестве, являющемся егo решением, ряд сходится абсолютно. Там, где , ряд расходится (общий член не стремится к нулю). Точки, в которых , требуют отдельного рассмотрения.
Пример 8. Найдем область сходимости ряда .
Решение. Применяем признак Даламбера. Имеем:
.
Далее
Если |, тогда .
Из выражения для следует, что и при и при | исследуемый ряд сходится абсолютно. Заметим, что при признак Даламбера не применим, но в этом случае ряд состоит из нулей и его абсолютная сходимость тривиальна.
Далее при , но в этих точках общий член ряда по абсолютной величине равен , и потому ряд расходится.
Итак, во всех точках числовой оси, кроме , рассматриваемый ряд сходится и притом абсолютно.
Пример 9..
Решение. Применим признак Даламбера .
Следовательно, и данный ряд сходится на всей числовой оси.
Пример 2.
Решение. Применим признак Коши .
Следовательно, и ряд сходится только в точке .
Пример 10. .
Решение. .
Следовательно, и ряд сходится на интервале . Исследуем сходимость ряда на концах интервала.
1). Пусть .
Получим числовой ряд . Этот ряд расходится.
2). Пусть .
Получим числовой ряд
Этот ряд также расходится.
Таким образом, степенной ряд сходится только внутри промежутка .
Пример 11 Найти частное решение дифференциального уравнения , при условии .
Решение: ;
─ уравнение с разделяющимися переменными.
Разделим обе части уравнения на xy, .
Интегрируя, получим: ; ;
; ─ общее решение.
y(1)=1; ln1+1-1=c; c=0; частное решение .
Пример 12 Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение: Обозначим , и проверим, являются ли эти функции однородными одной степени.
; , и однородные функции степени 1, данное уравнение является однородным.
Применим подстановку , ; ; разделим обе части уравнения на x, ; ; .
Получили уравнение с разделяющимися переменными.
;; ;
;
.
Вместо u, в полученное решение, подставим ;; ;
─ общее решение уравнения.
Пример 13 Найти общее решение уравнения .
Решение: ─ уравнение линейное.
Применим подстановку ;
; найдем v из уравнения ;
; ;; ; .
Функцию u найдём из уравнения
; ;; ; .
Искомую функцию y находим из равенства
─ общее решение.
Пример 14 Найти общее решение уравнения .
Решение: ─ уравнение Бернулли.
Разделим обе части уравнения на , .
Введём замену ; и подставим в данное уравнение . Получили линейное уравнение.
Введём замену ; ;
; ; ;; ; ; ;; ; ; ; ; .
; ;
─ общее решение.
Решение однородного линейного дифференциального уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами
линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка.
характеристическое уравнение.
Корни характеристического уравнения |
Вид решения |
1. k1, k2 – действительные различные корни |
|
2. k=k1=k2; k1, k2 – действительные равные корни |
|
3. k1, 2= k1, k2-комплексные корни |
Пример 15
;
Характеристическое уравнение ; k1=1, k2=2;
Общее решение
Пример 16
; ; ;
Общее решение
Пример 17
; ; ; ,
Общее решение ─ .
Решение неоднородного линейного уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
─ линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами p и g.
Общее решение неоднородного уравнения имеет вид
─ общее решение соответствующего однородного уравнения;
─ частное решение неоднородного дифференциального уравнения.
Для подбора частного решения по виду правой части f(x) и корней характеристического уравнения можно пользоваться следующей таблицей.
Рассмотрим только те случаи, в которых корни характеристического уравнения – действительные числа.
Правая часть уравнения f(x) |
Корни характеристическо-го уравнения |
Вид частного решения уравнения |
1. ─ действительное число ─ многочлен степени n>0 относительно x. |
а) ─ не является корнем характеристическо-го уравнения, т.е , |
|
б) ─ является корнем характеристическо-го уравнения =, |
||
в) ─ является двукратным корнем характеристичес-кого уравнения |
Пример 18
однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка.
Правая часть ─ многочлен 2-ой степени, .
Найдём общее решение соответствующего однородного уравнения.
характеристическое уравнение; ; ─ корни уравнения различные, общее решение соответствующего однородного уравнения ─
Найдём частное решение неоднородного дифференциального уравнения,
т. к. не является корнем характеристического уравнения, т. е. ,
, то вид частного решения ; ; . Найдём ; и подставим полученные выражения в исходное уравнение
; ;
Приравниваем коэффициенты при соответствующих степенях x в левой и правой частях уравнения
, решая систему, получим .
Тогда частное решение
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения имеет вид
.
Пример 19
; ; ; ,
; ; − многочлен нулевой степени, , ; корень характеристического уравнения, следовательно, частное решение будем искать в следующем виде: ;
; ;
; ; ; ; . Общее решение .
Пример 20
.
; ; ; ,
─ общее решение соответствующего однородного уравнения.
0, ─ двукратный корень характеристического уравнения
, n=0, , ;
; ;
; ; ; .
Общее решение ─ .
Пример 21 Исследовать ряд на сходимость а) б)
Решение: а) , ; ;
по признаку Даламбера ряд сходится;
б) , . По признаку Даламбера
< 1, ряд сходится.