Теоремы
.docТеорема (об основных законах логики). Для любых формул A, B, C следующие формулы являются законами логики:
(1) A A закон тождества |
(2) (A A) A, (A A) A законы идемпотентности |
(3) (A B) (B A), (A B) (B A) законы коммутативности |
(4) ((A B) C) (A (B C)), ((A B) C) (A (B C)) законы ассоциативности |
(5) ((A B) C) ((A С) (B C)), ((A B) C) ((A С) (B C)) законы дистрибутивности |
(6) , законы де Моргана |
(7) A закон двойного отрицания |
(8) (A B) ( ) закон контрапозиции |
(9) (A B) ( ) закон противоположности |
(10) (A (A B)) A закон поглощения |
(11) (A (A B)) A закон ограничения |
(12) (A (B C)) (B (A C)) закон перестановки посылок |
(13) (A B) (A ) A, (A B) (A ) А законы склеивания по B |
(14) (A ( B)) (A B) (A ( B)) (A B) законы удаления |
(15) ((A B) (B C)) (A C) закон силлогизма |
(16) (A B) A, (A B) B законы удаления конъюнкции |
(17) A (A B), B (A B) законы введения дизъюнкции |
(18) ( B) ( ) A закон рассуждений от противного |
(19) (A B) (A C) (B C) C закон разбора случаев |
(20) (A B) (C ) (A C), общий закон резолюций |
(21) B (C ) C частный закон резолюций |
законы, выражающие одни логические связки через другие: (1) (A B) ( B), (A B) , (2) (A B) (A B) (B A), (A B) , (A B) , (A B) (A B) ( ), (A ) ( B), (3) (A B) , (A B) , A , (4) (A B) ( B), (A B) |
||
законы действий с тавтологиями и противоречиями: (1) (А 1) А, (A 1) 1, (2) (А 0) 0, (A 0) A, (3) (A ) 0, (A ) 1, (4) (A A) 1, (0 A) 1, (1 A) A, (A 0) , (A 1) 1, (5) (A A) 1, (A ) 0, (A 1) A, (A 0) , (6) 0, 1 |
Теорема (об основных законах логики). Для любых формул A, B, C следующие формулы являются законами логики:
(1) A A закон тождества |
(2) (A A) A, (A A) A законы идемпотентности |
(3) (A B) (B A), (A B) (B A) законы коммутативности |
(4) ((A B) C) (A (B C)), ((A B) C) (A (B C)) законы ассоциативности |
(5) ((A B) C) ((A С) (B C)), ((A B) C) ((A С) (B C)) законы дистрибутивности |
(6) законы де Моргана |
(7) A закон двойного отрицания |
(8) (A B) ( ) закон контрапозиции |
(9) (A B) ( ) закон противоположности |
(10) (A (A B)) A закон поглощения |
(11) (A (A B)) A закон ограничения |
(12) (A (B C)) (B (A C)) закон перестановки посылок |
(13) (A B) (A ) A, (A B) (A ) А законы склеивания по B |
(14) (A ( B)) (A B) (A ( B)) (A B) законы удаления |
(15) ((A B) (B C)) (A C) закон силлогизма |
(16) (A B) A, (A B) B законы удаления конъюнкции |
(17) A (A B), B (A B) законы введения дизъюнкции |
(18) ( B) ( ) A закон рассуждений от противного |
(19) (A B) (A C) (B C) C закон разбора случаев |
(20) (A B) (C ) (A C), общий закон резолюций |
(21) B (C ) C частный закон резолюций |
законы, выражающие одни логические связки через другие: (1) (A B) ( B), (A B) , (2) (A B) (A B) (B A), (A B) , (A B) , (A B) (A B) ( ), (A ) ( B), (3) (A B) , (A B) , A , (4) (A B) ( B), (A B) |
||
законы действий с тавтологиями и противоречиями: (1) (А 1) А, (A 1) 1, (2) (А 0) 0, (A 0) A, (3) (A ) 0, (A ) 1, (4) (A A) 1, (0 A) 1, (1 A) A, (A 0) , (A 1) 1, (5) (A A) 1, (A ) 0, (A 1) A, (A 0) , (6) 0, 1. |
Теорема (об основных равенствах множеств). Для любых множеств A, B, C справедливы свойства:
(1) A = A закон тождества |
(2) (A A) = A, (A A) = A законы идемпотентности |
(3) (A B) = (B A), (A B) (B A) законы коммутативности |
(4) ((A B) C) = (A (B C)), ((A B) C) = (A (B C)) законы ассоциативности |
(5) ((A B) C) = ((A С) (B C)), ((A B) C) = ((A С) (B C)) законы дистрибутивности |
(6) , законы де Моргана |
(7) = A закон двойного дополнения |
(8) (A B) ( ) |
(9) (A = B) ( = ) |
(10) (A (A B)) = A закон поглощения |
(11) (A (A B)) = A закон ограничения |
|
(13) (A B) (A ) = A, (A B) (A ) = А законы склеивания по B |
(14) (A ( B)) = (A B) (A ( B)) = (A B) законы удаления |
(15) ((A B) (B C)) (A C) |
(16) (A B) A, (A B) B |
(17) A (A B), B (A B) |
(18) (A B) (A ) = A |
законы действий с разностями множеств: (1) A \ (B \ C) = (A \ B) (A C), (A \ B) \ C = (A \ C) \ B = A \ (B C), (3) A = (A B) (A \ B), (A B) (A \ B) = , (4) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C), A \ (B C) = (A \ B) (A \ C), (6) (A B) \ C = (A \ C) (B \ C), (A B) \ C = (A \ C) (B \ C) |
||
законы действий с универсумом и пустым множеством: (1) (А U) = А, (A U) = U (2) (А ) = , (A ) = A, (3) (A ) = , (A ) = U (4) = , = U |
Теорема (об основных равенствах множеств). Для любых множеств A, B, C справедливы свойства:
(1) A = A закон тождества |
(2) (A A) = A, (A A) = A законы идемпотентности |
(3) (A B) = (B A), (A B) (B A) законы коммутативности |
(4) ((A B) C) = (A (B C)), ((A B) C) = (A (B C)) законы ассоциативности |
(5) ((A B) C) = ((A С) (B C)), ((A B) C) = ((A С) (B C)) законы дистрибутивности |
(6) , законы де Моргана |
(7) = A закон двойного дополнения |
(8) (A B) ( ) |
(9) (A = B) ( = ) |
(10) (A (A B)) = A закон поглощения |
(11) (A (A B)) = A закон ограничения |
|
(13) (A B) (A ) = A, (A B) (A ) = А законы склеивания по B |
(14) (A ( B)) = (A B) (A ( B)) = (A B) законы удаления |
(15) ((A B) (B C)) (A C) |
(16) (A B) A, (A B) B |
(17) A (A B), B (A B) |
(18) (A B) (A ) = A |
законы действий с разностями множеств: (1) A \ (B \ C) = (A \ B) (A C), (A \ B) \ C = (A \ C) \ B = A \ (B C), (3) A = (A B) (A \ B), (A B) (A \ B) = , (4) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C), A \ (B C) = (A \ B) (A \ C), (6) (A B) \ C = (A \ C) (B \ C), (A B) \ C = (A \ C) (B \ C) |
||
законы действий с универсумом и пустым множеством: (1) (А U = А, (A U = U (2) (А ) = , (A ) = A, (3) (A ) = , (A ) = U (6) = , = U |
Теорема (об основных равносильностях). Для любых формул A, B, C справедливы следующие равносильности:
(1) A A закон тождества |
(2) (A A) A, (A A) A законы идемпотентности |
(3) (A B) (B A), (A B) (B A) законы коммутативности |
(4) ((A B) C) (A (B C)), ((A B) C) (A (B C)) законы ассоциативности |
(5) ((A B) C) ((A С) (B C)), ((A B) C) ((A С) (B C)) законы дистрибутивности |
(6) законы де Моргана |
(7) A закон двойного отрицания |
(8) (A B) ( ) закон контрапозиции |
(9) (A B) ( ) закон противоположности |
(10) (A (A B)) A закон поглощения |
(11) (A (A B)) A закон ограничения |
(12) (A (B C)) (B (A C)) закон перестановки посылок |
(13) (A B) (A ) A, (A B) (A ) A законы склеивания по А |
(14) (A ( B)) (A B) (A ( B)) (A B) законы удаления |
(18) (( B) ( )) A закон рассуждений от противного |
законы, выражающие одни логические связки через другие: (1) (A B) ( B), (A B) , (2) (A B) (A B) (B A), (A B) , (A B) , (A B) (A B) ( ), (A ) ( B), (3) (A B) , (A B) , A , (4) (A B) ( B), (A B) |
||
законы действий с тавтологиями и противоречиями: (1) (А 1) А, (A 1) 1, (2) (А 0) 0, (A 0) A, (3) (A ) 0, (A ) 1, (4) (A A) 1, (0 A) 1, (1 A) A, (A 0) , (A 1) 1, (5) (A A) 1, (A ) 0, (A 1) A, (A 0) , (6) 0, 1. |