Неопределенный интеграл1
.pdfЛЕКЦИЯ 14. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
14.1.Первообразная и неопределенный интеграл
ØПервообразная и ее связь с неопределенным интегралом
ØСвойства неопределенного интеграла
ØТеорема о существовании первообразной
ØТаблица неопределенных интегралов Первообразная и ее связь с неопределенным интегралом
Основная задача дифференциального исчисления: по данной функции f
найти ее производную f ′ |
( f → f ′). |
|
|
|
||
Многочисленные вопросы науки, экономики, техники приводят к поста- |
||||||
новке |
обратной задачи: |
отыскание функции |
f по |
ее производной |
||
f ′ ( f |
→ f ′). |
|
|
|
|
|
Определение. Пусть |
f : R →R |
и множество |
X D f |
не имеет изолиро- |
||
ванных точек. Функция |
F : R → R |
называется первообразной функции f на |
||||
множестве X , если X D f |
и x X |
|
|
F′(x)= f (x) .
Например, пусть f (x)= cos3x . Тогда первообразная имеет вид
F(x)= 13sin 3x , так как F¢(x)= 13 cos3x ×3 = cos3x .
В дальнейшем для всех функций этого параграфа считаем, что множество X является промежутком из D f , содержащим более одной точки.
Определение. Функция F(x) называется обобщенной первообразной для f (x) на X , если F(x) непрерывна на X и для x X \{Kn}, где Kn – множе-
ство, состоящее не более чем из n точек, имеем F′(x)= f (x).
1
Например, функция F(x)= x является обобщенной первообразной для
функции f (x)= sgn x , так как x непрерывна x R и x ′ = sgn x , x ¹ 0.
|
′ |
|
Замечание. Соотношение F (x)= f (x) определяет функцию F(x) неодно- |
||
значно. |
|
|
Пример. |
а)(cos2x)′ = −2sin 2x ; б) |
(− 2sin2 x)′ = −2sin 2x . Здесь |
f (x)= −2sin 2x |
и в случае а), и в случае б). Однако в случае а) первообразная |
равна cos2x , а в случае б) − 2sin2 x .
Справедлива
ТЕОРЕМА 1. Если F(x) – первообразная для функции f (x) на множест-
ве X , то все первообразные для функции |
f (x) имеют вид F(x)+ C , где C – |
|||||
произвольная постоянная. |
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Пусть F(x) |
– |
первообразная |
для |
f (x). |
Тогда |
|
′ |
|
′ |
′ |
|
|
|
C (F(x)+ C) |
|
|
то есть |
|||
F (x)= f (x). Для любой постоянной |
= F (x)+ 0 = f (x), |
|||||
F(x)+ C – также первообразная для f (x). |
|
|
|
|
|
|
Обратно, пусть наряду с данной первообразной F(x) |
функция F1(x) яв- |
|||||
|
|
|
|
′ |
′ |
|
ляется первообразной f (x). Тогда выполняются равенства F1(x)= F (x)= f (x),
откуда (F1(x)− F(x))′ = 0. По теореме Лагранжа о конечных приращениях раз-
ность этих двух первообразных F1(x)− F(x)= C , или
F1(x)= F(x)+ C .
Теорема доказана.
Определение. Множество всех первообразных для данной функции f (x)
на множестве X называется неопределенным интегралом этой функции и обо-
значается ò f (x)dx ( f – подынтегральная функция, x – переменная интегриро-
вания).
Таким образом, если F(x) первообразная для f (x) на X , то по теореме 1
2
ò f (x)dx = {F(x)+ C C R}.
Обычно используют более простую запись
ò f (x)dx = F(x) + C ,
не забывая, что это множество функций; при этом C называют произвольной постоянной.
ТЕОРЕМА 2 (о существовании первообразной). Если функция f (x) не-
прерывна на X , то она имеет на этом множестве первообразную.
Так как символ ò f (x)dx обычно трактуют как одну из первообразных
функции f , то наряду со словами «функция f обладает первообразной» упот-
ребляют фразу «существует интеграл ò f (x)dx ».
Доказательство будет приведено позже (см. )
Операция интегрирования функций не всегда приводит к функциям, ко- торые выражаются через элементарные. Например, следующие интегралы:
òe− x2 dx |
– интеграл Пуассона, ò |
dx |
– интегральный |
логарифм, ò |
sin x |
dx , |
||
ln x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
x |
||
ò |
cos x |
dx |
– интегральный синус и косинус, òcos x2dx , |
òsin x2dx – интегралы |
||||
|
||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
Френеля существуют, однако не выражаются через элементарные функции.
Свойства неопределенного интеграла
Свойства неопределенного интеграла базируются на свойствах дифферен- циала функции.
Напомним, что если u(x) – дифференцируемая в точке x функция, то про-
′ |
соответ- |
изведение u (x)dx является дифференциалом функции u(x) в точке x |
|
ственно приращению аргумента dx = x: |
|
′ |
|
u (x)dx = du(x) |
|
3
Для первообразной F(x) функции f (x) из соотношения F ′(x) = f (x), x X
имеем dF(x) = F′(x)dx = f (x)dx или f (x)dx = dF(x) – подведение функции f (x)
под дифференциал.
Сформулируем и докажем основные свойства неопределенного интеграла.
1.(ò f (x)dx)′ = f (x), d (ò f (x)dx)= f (x)dx .
2.ò F¢(x)dx = F(x) + C , òdF(x)= F(x)+ C ,
Здесь равенства d (ò f (x)dx)= f (x)dx и òdF(x)= F(x)+ C еще раз демон-
стрируют, что дифференцирование и интегрирование – действия взаимно об-
ратные. |
|
3. Пусть α R \ {0} и существует ò f (x)dx , тогда òa f (x)dx и |
|
òa f (x)dx =aò f (x)dx |
(14.1) |
т. е. постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интегра- ла.
4. Пусть существуют интегралы ò f (x)dx и ò g(x)dx , тогда существует
ò( f (x) + g(x))dx и
ò( f (x) + g(x))dx = ò f (x)dx + ò g(x)dx , |
(14.2) |
т. е. неопределенный интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций.
Из свойств 3 и 4 вытекает, что операция интегрирования – линейная опе- рация.
Докажем |
1. |
(ò f (x)dx)′ |
= (F(x)+ C)¢ = f (x)+ 0 = f (x). |
Так |
как |
′ |
то d(ò f (x)dx)= (ò |
′ |
|
|
|
u (x)dx = du(x), |
f (x)dx) dx = f (x)dx , т. е. дифференциал не- |
определенного интеграла равен подынтегральному выражению. Иначе, знаки дифференциала и интеграла взаимно уничтожаются, если знак «d » стоит перед
знаком « ò ».
4
Докажем 2. òdF(x)= òF¢(x)dx = ò f (x)dx =F(x)+ C , т. е. неопределенный интеграл от дифференциала какой-либо функции равен сумме этой функции и произвольного числа C . Иначе, если знак « ò » стоит рядом и перед знаком «d »,
то эти знаки тоже взаимно уничтожаются, причем к функции F(x) прибавляет-
ся произвольное число C . |
|
|
|
|
|
|
|||
Докажем |
3. |
По |
первому |
свойству |
неопределенного |
интеграла |
|||
(òa f (x)dx)′ |
= a f (x). |
По |
свойству |
производной правая |
часть |
равенства |
|||
(a ò f (x)dx)′ |
= a (ò |
f (x)dx)′ |
= a f (x). |
Таким |
образом, |
a ò |
f (x)dx |
и |
òa f (x)dx являются первообразными одной и той же функции α f (x). Следова-
тельно, левая и правая часть равенства в (14.1) отличаются друг от друга не бо- лее чем на некоторую постоянную величину.
Свойство 4 доказывается аналогично свойству 3.
Замечание. В (14.1) и в (14.2) равенства при нахождении интегралов но- сят условный характер: левая часть равна правой части с точностью до произ- вольной постоянной величины.
Таблица неопределенных интегралов
Каждая формула дифференциального исчисления
F′(x)= f (x)
равносильна формуле интегрального исчисления
ò f (x)dx = F(x)+ C .
Составим таблицу наиболее важных, основных интегралов.
1. ò1× dx = x + C (x R ).
xα+1
2. ò xαdx = a +1 + C , α ¹1 (x (0,+ ∞)), в частности,
ò dxx = 2x + C , ò dxx2 = - 1x + C .
5
3. ò dx |
= ln |
|
x |
|
+ C (x Î R \{0}). |
|
|
||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. òa xdx = |
|
a x |
+ C , |
||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
ln a |
||
5. |
òsin x dx = - cos x |
||||||
7. |
ò |
dx |
|
= tg x + C |
|||
cos2 x |
|||||||
|
|
|
|
|
a > 0 , a ¹1 (x ÎR ), в частности, òexdx = ex + C .
+ C |
(x ÎR ). 6. òcos x dx = sin x + C (x ÎR ). |
|||
æ |
æ π |
+ kπ , (k +1)π + |
π |
öö |
ç x |
Îç |
2 |
÷÷ . |
|
è |
è 2 |
|
øø |
8. ò |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
= -ctg x + C |
(xÎ(kπ , (k +1)π )). |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï- arccos |
|
|
|
|
+ C, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
9. |
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
a |
( |
|
x |
|
< |
|
a |
|
, a ¹ 0). |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
í |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
- x |
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
+ C, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïarcsin |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
10. ò |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
= |
1 |
arctg |
x |
+ C , (x ÎR, a ¹ 0 ). |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
2 + x2 |
|
|
|
a |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
11. |
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ln |
x + |
|
|
x2 + a2 |
+ C , (x ÎR, |
a ¹ 0 ), «длинный» логарифм. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
+ a |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
12. |
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ln |
x + |
|
|
x2 - a2 |
+ C , ( |
|
x |
|
> |
|
a |
|
, |
a ¹ 0), «длинный» лога- |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
- a |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рифм. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x - a |
|
|
+ C , |
|
|
(x Î R \{- a, a}, |
a ¹ 0), «высокий» лога- |
||||||||||||||||||||||||||||||
13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
ln |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 - a2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рифм. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
x + a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
òsh x dx = ch x dx |
(x ¹ 0). 15. òch x dx = sh x dx |
(x ÎR ). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16. |
ò |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
= -cth x + C |
(x ¹ 0). 17. ò |
dx |
|
|
= th x + C (x ÎR ). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
sh |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch |
x |
|
|
Интегралы 1-17 принято называть табличными.
6
Нахождение неопределенного интеграла – интегрирование подынте- гральной функции f (x) – обратное действие для дифференцирования первооб-
разной. Поэтому легко проверить правильность каждой из формул. |
|
|
||||||||||||
Например, докажем справедливость равенства ò dx |
= ln |
|
x |
|
+ C . |
|
||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Если |
x > 0, |
то |
(ln |
|
x |
|
)¢ = (ln x)¢ = 1 , |
если |
x < 0 , |
то |
||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ln x )¢ = (ln(- x))¢ = -1x × (-1)= 1x .
Итак, (ln x )¢ = 1x , а значит, ò dxx = ln x + C (x ¹ 0).
Пример 1. Вычислить ç
òæ 5 +
è x
Воспользуемся свойством
31x - 3x ö÷ødx.
линейности интеграла и формулой
ò xαdx = a +1 + C :
æ 5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
ö |
1 |
|
|
|
1 |
|
dx |
|
|
|
|
− |
1 |
|
1 |
|
dx |
|
1 |
|
|||||||||||
|
|
- 3 |
|
|
|
|
|
|
-ò3 |
|
|
|
|
|
- ò x3dx = |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
òç |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
x ÷ dx = 5ò |
|
|
|
|
dx |
+ |
|
|
ò |
|
|
|
xdx = 5ò x |
2dx + |
|
ò |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
3 |
x |
|
3 |
x |
|||||||||||||||||||||||||||
|
è x |
|
|
|
|
ø |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= 5× 2 x + |
ln x - |
|
|
|
+ C =10 x + |
ln x |
- |
x3 |
+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3 |
1 |
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 2. Вычислить ò |
|
|
|
dx |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x |
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Прибавляя и вычитая в числителе подынтегральной функции x2 , полу-
чим
ò |
|
dx |
|
=ò |
(1+ x2 - x2 )dx |
=ò |
dx |
- ò |
|
dx |
=ò x−2dx - ò |
dx |
= |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x2 (1+ x2 ) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
x4 + x2 |
|
|
|
x2 |
1+ x2 |
1+ x2 |
||||||||||
= |
|
x−2+1 |
|
− arctg x + C = − |
1 |
− arctg x + C . |
|
|
|
||||||||
|
− 2 +1 |
x |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
|
Пример 3. Вычислить ò |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
sin2 x cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Воспользуемся |
основным |
|
|
|
|
тригонометрическим |
|
тождеством |
|||||||||||||||||
sin2 x + cos2 x = 1 и применим формулы ò |
|
dx |
|
|
= tg x + C и ò |
dx |
|
= -ctg x + C : |
||||||||||||||||||
|
2 |
x |
2 |
x |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
sin |
|
|||||
ò |
1× dx |
= ò |
sin2 |
x + cos |
2 x |
dx |
= |
ò |
|
dx |
|
+ ò |
|
dx |
|
= tg x - ctg x + C . |
||||||||||
sin2 x cos2 x |
sin |
2 x cos2 |
x |
|
cos2 |
|
|
sin2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||
|
Упражнение. Вычислить ò |
2 + 3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x |
4 |
+ x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Указание. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Представить |
|
|
|
|
|
|
числитель |
в |
виде: |
|||||||||||||||
2 + 3x2 = 2 + 2x2 + x2 = 2(1+ x2 )+ x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14.2. Методы вычисления неопределенного интеграла
ØИнтегрирование заменой переменной или методом подстановки
ØИнтегрирование по частям
ØИнтегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен
Интегрирование заменой переменной или методом подстановки ТЕОРЕМА 1. Пусть функция ϕ :T → X определена и дифференцируема
на множестве T и X – множество ее значений, на котором определена функция
f (x) ("t ÎT j(t)Î X ). Тогда если F(x) – первообразная для |
f (x) на |
X , то |
|||
F(ϕ(t)) |
|
|
′ |
|
выпол- |
– первообразная для f (ϕ(t))ϕ (t) на T , то есть на множестве T |
|||||
няется равенство |
|
|
|||
|
ò f (x)dx |
|
′ |
|
(14.3) |
|
|
|
|||
|
|
x=ϕ(t ) = ò f (ϕ(t))ϕ (t)dt |
|
||
Доказательство. Пусть F(x) – одна из первообразных для |
f (x) на X , то |
||||
есть |
|
|
|
|
|
|
ò f (x)dx = F(x)+ C . |
|
|
По правилу дифференцирования сложной функции производная правой
части (14.3) равна Ft′(j(t)) = Fx′(j(t))×j′(t) = f (j(t))j′(t).
8
Это означает, что F(ϕ(t)) – первообразная для f (ϕ(t))ϕ′(t). Следователь-
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
но, ò f (j(t))j (t)dt = F(j(t)) и равенство (14.3) доказано. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Формула (14.3) называется формулой замены переменной в неопределен- |
|||||||||||||||||||||||||
ном интеграле. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Пример 4. Найти ò |
|
|
dx |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Чтобы избавиться от иррациональности, выполним замену переменной |
|||||||||||||||||||||||||
t = |
|
|
. |
Тогда |
x = t2 , |
|
dx = 2tdt и |
наш интеграл примет вид |
||||||||||||||||||||
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||
ò |
|
dx |
= ò |
|
2tdt |
= 2ò |
dt |
|
|
t +1= u |
|
= 2ò du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
= |
t = u -1 |
|
= 2ln |
|
u |
|
+ C = 2ln |
|
t + 1 |
|
+ C = |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 + t |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x |
+ x |
|
t |
|
t + 1 |
|
|
dt = du |
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2ln(x +1)+ C .
|
|
|
|
|
Пример 5. Найти ò |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 - x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
Воспользуемся «обратной» подстановкой: |
1 |
= t , |
x = 1 |
, dx = - |
1 |
|
dt , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
t2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 - x2 = t2 -1. Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t × |
|
t |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ò |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
= |
|
|
t2 |
= |
|
t |
|
|
|
= ò |
|
|
|
|
|
= -sgn tò |
|
|
|
dt |
= -sgn xln |
1 |
+ |
|
|
1 |
-1 |
+ C . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x 1 - x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 t2 -1 |
|
|
|
t2 -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Пример 6. Найти ò |
|
1- x2 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Выполним тригонометрическую |
замену: |
x = sint , |
|
|
0 £ t £ π |
. Имеем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
1- x2 =1- sin2 t = cos2 t , dx = costdt . Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cost dt = òcos2 t dt = ò |
1+ cos2t |
dt = |
1 |
òdt + |
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ò |
|
|
1- x2 |
dx = ò |
|
cos2 t |
òcos2t dt = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
t + |
sin 2t + C = |
arcsin x + |
× 2x |
1 - x2 |
+ C , x (−1,1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9
Несколько иной подход к рассматриваемому методу замены переменной основан на теореме 2. Этот подход иногда называют «подведением под знак дифференциала».
|
|
|
|
|
|
ТЕОРЕМА 2. Если ϕ : T → X и |
T |
|
X |
ϕ−1 : X → T – взаимно обратные диф- |
|||
|
|
|
ϕ |
|
|
ференцированные функции и если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
t |
|
|
x |
ò f (ϕ(t))ϕ (t)dt = H (t)+ C , t T , то |
||
|
|
|||||
|
|
|
ϕ −1 |
|
|
ò f (x)dx = H (ϕ−1(x))+ C , x X . |
|
|
|
|
|
Иначе: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
ϕ(t )= x |
= ò f (x)dx. |
|
|
|
|
|||||
ò f (ϕ(t))ϕ (t)dt |
|
|
Доказательство следует из того, что в силу инвариантности формы дифферен- циала равенство dF(x) = F′(x)dx = f (x)dx остается справедливым и в случае,
когда x – промежуточный аргумент, то есть x = ϕ(t).
Заметим, что если ò f (x)dx = F(x)+ C , то
ax + b = t
ò f (ax + b)dx = adx = dt = 1a ò f (t)dt = 1a F(ax + b)+ C . dx = 1a dt
|
|
2x+1 |
|
= |
|
|
2x + 1 = t |
|
= |
|
|
1 |
t |
dt = |
1 |
|
t |
+ C = |
1 |
|
2x+1 |
+ C . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Пример 7. òe |
|
dx |
|
|
2dx = dt |
|
|
|
|
òe |
|
e |
|
|
e |
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
arctgt |
|
|
|
arctg t = x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример 8. ò |
e dt |
= |
|
|
dt |
= dx |
|
|
= òexdx = ex |
+ C = earctgt + C . |
|||||||||||||||
1 + t2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1+ t2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10