- •«Волгоградский государственный технический университет» Кафедра «Высшая математика» криволинейные интегралы
- •2. Криволинейный интеграл 2 рода
- •3. Примеры выполнения заданий Задание 1
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4
- •Задание 5
- •Задание 6
- •Задание 7
- •Задание 8
- •Задание 9
- •3. Примеры выполнения заданий Задание 1
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4
- •Задание 5
- •Задание 6
- •Задание 7
- •Задание 8
- •Задание 9
- •Криволинейные интегралы
- •400005, Волгоград, просп. Им. Ленина, 28.
- •400131, Волгоград, ул. Советская, 35.
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Волгоградский государственный технический университет» Кафедра «Высшая математика» криволинейные интегралы
Методические указания
Волгоград
2011
УДК 517.373(075)
Рецензент:
старший преподаватель кафедры «Прикладная математика» Н.И. Кольцова
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Волгоградского государственного технического университета
Криволинейные интегралы : метод. указания / сост. М.И.Андреева,
О.Е. Григорьева; ВолгГТУ. – Волгоград, 2011. – 26 с.
Методические указания являются руководством к выполнению индивидуальных заданий по теме « Криволинейные интегралы и их приложения к теории поля».
В первой части методических указаний содержится необходимый теоретический материал для выполнения индивидуальных заданий.
Во второй части рассмотрены примеры выполнения всех типов заданий, включенных в индивидуальные задания по теме, что способствует лучшей организации самостоятельной работы студентов и успешному усвоению темы.
Методические указания предназначены для студентов первого и второго курсов.
© Волгоградский государственный
технический университет, 2011
КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ 1 РОДА
Определение криволинейного интеграла 1 рода
Пусть АВ– дуга плоской или пространственной кусочно-гладкой кривойL,f(P) – заданная на этой дуге непрерывная функция,А0=А,А1,А2, …,Аn – 1,Аn=B– произвольное разбиение дугиАВиPi– произвольные точки на частичных дугахАi – 1Ai, длины которыхli(i= 1, 2, …,n). Тогда существует предел последовательности интегральных сумм
при nи maxli0, который не зависит ни от способа разбиения дугиАВточкамиAi, ни от выбора точекPiна частичных дугахАi – 1Ai(i= 1, 2, …,n). Этот предел называется криволинейным интегралом 1 рода от функцииf(P) по кривойLи обозначается
или .
Вычисление криволинейного интеграла 1 рода
Вычисление криволинейного интеграла 1 рода может быть сведено к вычислению определенного интеграла при разных способах задания кривой интегрирования.
Параметрическое задание кривой интегрирования
Если дуга АВплоской кривой задана параметрически уравнениямигдеx(t) иy(t) – непрерывно дифференцируемые функции параметраt, причемx(t1) =xA,x(t2) =xB, то
(1.1)
где - дифференциал длины дуги кривой.
Аналогичная формула имеет место в случае параметрического задания пространственной кривой L. Если дугаАВ кривой L задана уравнениями, иx(t),y(t),z(t) – непрерывно дифференцируемые функции параметраt, то
(1.2)
где - дифференциал длины дуги кривой.
Явное задание плоской кривой интегрирования
в декартовых координатах
Если дуга АВплоской кривойLзадана уравнениемгдеy(x) – непрерывно дифференцируемая функция, то
и формула для вычисления криволинейного интеграла имеет вид:
(1.3)
При задании дуги АВплоской кривойLв видеx =x(y),y[y1;y2], гдеx(y) – непрерывно дифференцируемая функция,
и криволинейный интеграл вычисляется по формуле
(1.4)
Задание кривой интегрирования полярным уравнением
Если плоская кривая Lзадана уравнением в полярной системе координатr=r(),[1;2], гдеr() – непрерывно дифференцируемая функция, то
и
(1.5)
Приложения криволинейного интеграла 1 рода
С помощью криволинейного интеграла 1 рода вычисляются: длина дуги кривой, площадь части цилиндрической поверхности, масса, статические моменты, моменты инерции и координаты центра тяжести материальной кривой с заданной линейной плотностью.
1. Длина lплоской или пространственной кривойL находится по формуле
(1.6)
2. Площадь части цилиндрической поверхности с параллельной оси OZобразующей и расположенной в плоскостиXOYнаправляющейL, заключенной между плоскостьюXOYи поверхностью, задаваемой уравнениемz=f(x;y) (f(P)0 приPL), равна
(1.7)
3. Масса mматериальной кривойLс линейной плотностью(P) определяется формулой
(1.8)
4. Статические моменты относительно осей OxиOyи координаты центра тяжести плоской материальной кривойL с линейной плотностью(x;y) соответственно равны:
(1.9)
(1.10)
5. Статические моменты относительно плоскостей Oxy,Oxz,Oyzи координаты центра тяжести пространственной материальной кривой с линейной плотностью(x;y;z) определяются по формулам:
(1.11)
(1.12)
6. Для плоской материальной кривой Lс линейной плотностью(x;y) моменты инерции относительно осейOx,Oyи начала координат соответственно равны:
(1.13)
7. Моменты инерции пространственной материальной кривой Lс линейной плотностью(x;y;z) относительно координатных плоскостей вычисляются по формулам
(1.14)
а моменты инерции относительно координатных осей равны:
(1.15)